湖北文科数学最新巴比伦数学

2020年11月17日发(作者：魏氏)
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第二章：巴比伦数学
第一节 巴比伦数学产生的社会背景



巴比伦人是指曾居住在底格里斯河与幼发拉底河两河之间及其流域上
的 一些民族，他们创造了文化，也创造了具有本民族特色的数学．

大约在公元前1800年前， 在两河流域建立了巴比伦王国Babylonia)，首
都巴比伦(Babylon)是今日伊拉克的一 部分，位于巴格达南面约100公里．大
约在公元前4000年左右，苏默人(Sumerians)开 始在两河流域(古代称美索波
达米亚Mesopotamia)定居，大约在公元前3000年创造了自 己的文化．到了公
元前1700年左右，在汉穆拉比(Hammurabi)王统治期间国势强盛，文化 得到
了高度发展，以制定一部法典而垂名后世．

汉穆拉比把自己称为“苏默人和阿卡 德人的大王”，把一切权力集于一
身．汉穆拉比作为最高统治者，非常关心灌溉系统的发展，采取各种灌 溉措
施，制造抽水机，并在全国范围内划分土地，分配收获的粮食，修建谷仓储
存粮米，发展贸 易，向邻近国家输出农产品，同时也带来了高利贷的发展．所
有这些都是促使数学得以产生与发展的社会 因素．

促进巴比伦数学发展的另一个因素是货币交换制度的初步建立．开始
时，巴比 伦人把实物或者银器作为货币单位，国家征收税务、民间物资交换
都用规定的实物或银器进行支付．后来 ，采用银币代替了实物交换，这样就
需要进行各种单位换算，从而推进了数学的发展．

尽管巴比伦统治者频繁更替，而对数学知识的传播和使用，从远古时代
直到亚里山大时代却始终没有间 断．

古代巴比伦人是用祖传的泥板书记载数学内容的，然而，保存下来的泥
板书却没 有埃及纸草书那样多．可能是因为泥板书靠太阳或火烧烘干，遇到
风吹雨淋，难于保存原样．另外，巴比 伦人的书写字迹也阻碍了长篇论著的
编撰．

在巴比伦泥板书中，引人注目的是普林顿 322号．这是哥伦比亚大学普
林顿(G．A．Plimpton)收集馆的第322号收藏品．此泥板 书是在公元前1900
年至前1600年间用古巴比伦字体写的．

普林顿322号是 保存下来的一块残缺不全的泥板书，但仍然保存着大体
形状，只是左边掉下一块，靠右边中间部分也有一 个很深的洞，左上角也脱
落了一片，但可以清楚地看到，有三列比较完整的数字，不妨用现代符号(10
进位)表出，如图2.1．

经过对图表的认真分析，就会发现：两列中的对应数字( 除了4个例外)构成
一个边长为整数的直角三角形的斜边和一个直角边．


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现在人们把象(3，4，5)这样的，能组成直角三角形三条边 的一组正整
数称为毕氏三数(Pythagorean triple)．在这样一组数中，若除1以外 ，没有其
它因子，就称它为素毕氏三数．在普林顿泥板书之后的1000多年后，人们证
明了素 毕氏三数(a，b，c)能用下列参数式表示：

a=2αβ，b=α
2
-β
2
，c＝α
2
+β
2
．

其中α，β互素 ，奇偶相异，且α＞β．若α＝2，β=1，则得素毕氏三数a
＝4，b=3，c＝5．
我们若用普林顿泥板书上给出的斜边c和直角边b来确定那个边为整数
的直角三角形的另一边，则可 得到下列毕氏三数：

应该指出，上表中的毕氏三数，除第11行和第15行外，都是素毕氏三
数．为了便于讨论，我们又列出了这些毕氏三数的参数值．通过普林顿322
号泥板书，不难看 出，古巴比伦人早就知道素毕氏三数的一般参数表达式．

在书写古巴比伦数学简略历史时，我 们首先举出了普林顿322号泥板书，
作为在那样的社会背景之下，数学研究的重要结晶，使读者形成初 步印象，
以便进一步探索古巴比伦的数学内容．

第二节 巴比伦的数学



巴比伦人和埃及人一样，是首先对数学的萌芽作出贡献的民族，对其原
始数学内容的考证，大部分来自近百年来考古研究的结果．



一、记数法与进位制



一百多年前，人们发现巴比伦人是用楔 形文字(Cuneiform)来记数的．他
们是用头部呈三角形的木笔把字刻写在软泥板上，然后，用 火烧或晒干使它
坚如石，以便保存下来进行数学知识交流．由于字的形状象楔子，所以人们
称为 楔形文字．


他们用垂直的楔形来表示1，如．用末端二个横向楔形表示10，如． 用
记号表示35．用记号表示9，后来简化为．

以上可以看出，巴比伦人创建的数的体系与埃及、罗马数字颇为相似．但
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是，值得我们注意的是巴比伦人已经有了位值制的观念，通常为60进制．这
种认识的主要根据是地质学家劳夫特斯(W．K．Loftus)于1854年在森开莱(现
在的拉山 或拉莎)发掘出汉穆拉比时代的泥板书，上面记载着一串数字，前7
个是1，4，9，16，25，36 ，49，之后中断，而在应该是64的地方，看到的
却是1·4，其后接着写出1·21，再后是2·2 4，直到最后写的是58·1．这
个数列只有假定其为60进位时，才能很自然接续，即：

1·4＝60＋4＝64=8
2
，

1·21=60＋21＝81＝9
2
，

……………………

58·1=58×60＋1＝3481＝59
2
．

应该指出，巴比 伦人的位值制有时也不甚明确；因为完整的位值制记数
法，必须有表示零的记号，但在早期的泥板书上尚 没有发现零号．例如，
(5·6·3)可表示5×60
2
＋6×60＋3＝18363 ，也可表

下文来分析、确定．

古巴比伦的60进位法之产生年代是相当久 远的．但据有的材料记载，早
期的苏默人是不知道60进位制的．从他们所用的数学符号中可以看出，大 约
在公元前3000年以前，是用以下记号来记数的：

1，10，60的记号是用头 部是圆形的木笔刻成，而1和60的记号都是半圆
形，只是大小不一样，10的记号是圆形，600的记 号是10和

到了公元前2000年左右，开始使用楔形文字，以此又建立一套数的记号，不妨做如下比较：





通过如上二种数码的表示法之比较，不难看出，巴比伦采用60进制是很
自然的①．



二、算术运算



由于巴比伦从1到5 9的数码都是以1和10或更多一些数的记号为基本记
号结合而成的，因此，在此范围内的加减法不过是 加上或去掉某种记号罢了．

巴比伦人对整数的乘法，采取了“分乘相加”的方法．例如，某数 乘以
27，他们先乘20，再乘7，然后把结果相加，最后得出结果．他们还造出了
一些乘法表 ．(左边是巴比伦人的记号，右边用现代符号表示)

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巴比伦人在做整数除以整数时，采用了乘以倒数的方法，并且还造出了
倒数表．
巴比伦人研究了数的平方和开平方、立方和开立方的问题．当方根是整
数时，给出了准确的值．对于 其它方根，由于采用60进位制，只能是近似值．并
造出了简单的平方、平方根、立方、立方根表．巴比 伦人也曾给出了求a
2
＋
b型的方根近似公式：




数大．到了希腊时期，著名数学家阿基米德(Archi－medes)、海伦(Heron )创
造出了平方后比原数小的近似公式．



三、代



巴比伦人不但具有数系和数字运算的一些知识，他们也具有处理一般代
数问题的能力．

例如：在赛凯莱(Senkereh)出土的古巴比伦(汉穆拉比王朝时期)的原典
AO886 2，记载着下面的问题：(用现代语言叙述)

一块长方形土地面积加上长与宽之差为3.3① (即183)，而长与宽之和为
27，这块地的长、宽、面积各几何？

(1)古巴比伦人的解法：(按60进制计算)

27＋3.3=3.30

2＋27=29

29÷2＝14.30

14；30×14；30＝3.30；15

3.30；15-3.30＝0；15

0；15的平方根是0；30

14；30＋0；30=15 (长)

14；30-0；30=14

因为原来是将27加上2，现在应从14减2，则宽是14－2= 12

故得到，15×12＝3.0(面积)

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15-2＝13

3.0＋3＝3.

读者可以辨认，以上例题的解法是从6行到29行之间，是用楔形文字书
写的．

(2)如果用现代的列二元一次方程组的方法解，则很简便．

设长为x，宽为y，可列成如下方程组：

从AO8862原典的最后一行的结果看出 ，x＝15，y＝12是满足方程组(1)的解
的．

在前面解题时，实际上是用新的宽y'代替原宽y，即：

y'=y+2，y=y'-2．

使用如上这种代换方法，使问题简单化了．代换后，可得到新的二元一次方
程组：
< br>把方程组(2)的第1式加到方程组(1)的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地
写着)
27+3.3=3.30

2+27＝29

之后，继续解方 程组(2)．从上边的具体问题求解中，我们可以悟出解
方程组的一般方法，用现代符号表示，可谓：< br>
其解为：






巴比伦人 求解的各个步骤是符合解方程组的一般方法的，但是，他们没
有给出求解的一般公式．

在巴比伦人利用楔形文字撰写的原典中，也有解一元二次方程的例
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子．例如：

由两正方形并组成一个面积为1000，一正方形边为另一正方形边的

巴比伦人是按如下方法求解的：(用现代符号表示)

设两个正方形边长分别为x，y．



得到一个正整数解为：x＝30．

以上说明巴比伦人在汉穆拉比时代已经掌握了解二 元一次和一元二次
方程的方法，但仍然是用算术方法求解．巴比伦人对简单的三次和四次方程
也 求解过．例如在原典中有这样的题目：一个立方体，其体积为

长、宽、高分别为x、y、z，体积为V，实际上是求解方程组


解此方程组，涉及算立方根问题，巴比伦人用数表来求解(见算术运算部分
的数表)．



四、几何



在古巴比伦时期，常常把 几何问题化为代数问题来解决．在他们心目中，
几何似乎不占有重要位置．但是，在20世纪中叶布尔昂 (E．M．Buuins)博士
和鲁达(M．Rutten)撰写的《斯萨数学书》(Textes mathè matiques de Suse，
MèmoiresMission archèol en lran XXXIV，Paris，1961)中，指出了在斯萨出
土的古巴比伦的楔形文字原 典中，含有求正多边形和圆的面积的近似公式，
说明古巴比伦人对几何问题也有一定的兴趣．

例如，在拉尔萨(Larsa)出土的古巴比伦原典VAT8512中，有下面的问题
(用现代 符号和语言叙述)．

已知底边b＝30的三角形，由平行于底的直线把其分成两部分，即高分
别为h
1
、h
2
的梯形F
1
和三角形F
2
，且面积F
1
-F
2
＝S＝7.0 h
2
-h
1
=h＝20，求割线
长(x)．


由以上条件，可建立如下关系式：



由图2．3可知，比例式

h
2
∶h
1
=x∶(b-x)

(5)

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成立．

根据以上条件，可解出x，即：




由上可知，巴比伦 人建立的关于x，h
1
，h
2
的关系式是正确的．但是，
还没有理由 (证据)说明以上是一种纯粹代数的推演．数学史家尤伯尔
(P．Huber)对(4)式做了如下解释 (Isis Vol46，p104)：

如果在三角形一边加一个长为h
1
＋h
2
的长方形，拼成一个上、下底边长
分别为c和a＝c＋b的梯形，延长割线x， 把此梯形分成两部分，如图2．4其
面积差为：

(F
1
-F
2
)-c(h
2
-h
1
)＝s-ch．

的面积分成二等分z，并给出




(参考MKT I，p131)可得到(6)式的证明：

按照尤伯尔的解释，以上的解法思路是几何学的思想，而不是代数的．

巴比伦人很早 就知道毕达哥拉斯定理(勾股定理)，并能应用此定理解决
具体的、比较简单的问题，在古巴比伦的数学 原典中有记载，并使用了1500
年之久，直到赛莱乌科斯王朝时代(公元前310年以后)的著作中， 仍有记载．



巴比伦人也会求棱柱、圆柱、棱台、圆台的体积，他们用高 乘以两底面
积和的一半的方法进行计算．


五、数论



巴比伦人不仅在代数中的工作显得很出色，在算术中，也不断推广研究
范围，在《楔形文字的数学书》(Cuneiform Te－xtesmathématigues)中，也 记
载了一些关于初等数论的内容，有人认为，希腊的毕达哥拉斯学派继承和发
展了古巴比伦人的 工作．

巴比伦人能够求出简单的级数和．例如，可求出公比为2的等比级数的
和

1 ＋2＋4＋……＋2
9
＝2
9
＋(2
9
-1)＝2
10
-1．

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他们还给出了从1到10的整数平方和，似乎应用了下列公式：
巴比伦人的代数中，也含有一 些数论．他们求出了好几组毕达哥拉斯三
元数组，还求出了x
2
＋y
2
＝2z
2
的整数解．



第三节 巴比伦人对数学的应用及对数学发展的贡献


一、巴比伦人对数学的应用



尽管巴比伦人的数学知识是粗浅 的、有限的，但在他们的生产、生活中
的很多方面都应用了数学．

1．巴比伦人把数 学应用到商业方面．巴比伦位于古代贸易的通道上，
为便于商品交换、发展经济，他们用简单的算术和代 数知识测量长度和重量，
来兑换钱币和交换商品，计算单利和复利，计算税额以及分配粮食，划分土地和分配遗产等等．


2．把数学应用到兴修水利上．巴比伦人应用数学知识计 算挖运河、修
堤坝所需人数和工作日数，也把数学应用到测定谷仓和房屋的容积，计算修
筑时所 需用的砖数等．
3．把数学应用到天文研究方面．大约在亚述时代(公元前700年左右)开
始用数学解决天文学的实际问题．在公元前3世纪之后，用数学知识来计算
月球和行星的运动，并通过记 录的数据，确定太阳和月球的特定位置和亏蚀
时间．

也应该注意到，巴比伦人观察天 文现象，直接得出了作为以后三角学的
基础概念．当时巴比伦人观察在天空中运行的星体，看它们在夭空 中的位移
情况．他们把天空看作半球面，因此测量不是在平面上，而必须是在球面上
进行的．鉴 于此，巴比伦人较早考察的是球面三角的概念，而不是平面三角
的概念．

也应该指出 ，在古巴比伦时期，当产生各种科学领域基本概念的同时，
假科学也获得了发展．这种假科学与天文学、 数学都有密切的关系，它们阻
碍了数学的发展．这种假科学主要指星相术和数的神秘论．
星相术认为单个人的生活和整个人类社会，都依赖于天空中的行星相互
间的排列．即行星在人的生活 中有“影响”，并且把它们崇拜为神．由此，
他们作出了进一步的结论，由行星在天空中的相互排列，在 一个人出生时就
能够预言他将来的命运如何．这种星相术又从巴比伦传播到其他民族，阻碍
了科 学的发展．


巴比伦人也曾把“数”神秘化．例如，当巴比伦人崇拜三个天体(太阳 、
月亮、金星)时，数码3便被看作“幸福的”．更晚一些时间，当已经崇拜7
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个天体时，数7就被当作“幸福的”．实际上，许多民族都赋予数3和7以神
秘的意义．总之，星相术和数的神秘化，阻碍了人类的正确认识的发展．


二、古巴比伦人对数学发展的贡献



巴比伦人从远古时代开始 ，已经积累了一定的数学知识，并能应用于解
决实际问题．从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和 经验所得，没有
综合结论和证明，但是，也要充分认识他们对数学所做出的贡献．

1 ．在算术方面，他们对整数和分数有了较系统的写法，在记数中，已
经有了位值制的观念，从而把算术推 进到一定的高度，并用之于解决许多实
际问题，特别是天文方面的问题．

2．在代数 方面，巴比伦人用特殊的名称和记号来表示未知量，采用了
少数几个运算记号，解出了含有一个或较多个 未知量的几种形式的方程，特
别是解出了二次方程，这些都是代数的开端．巴比伦人能够求解的方程类型
可简略归纳如下：

ax＝b，x
2
＝a，x
2
+ ax＝b，x
2
-ax＝b，x
3
=a，x
2
(x+1)＝ a．

在解决实际问题中，他们能够通过算术运算方法解二元一次方程组，例
如以下几 种类型：

3．在几何方面，巴比伦人认识到了关于平行线间的比例关系和初步的
毕达 哥拉斯定理，会求出简单几何图形的面积和体积，并建立了在特定情况
下的底面是正方形的棱台体积公式




4．在天文学方面，他们已有一系列长期观察记录，并且已 经发现了许
多准确性很高的天文学周期．他们计算月球和行星的运动，给出天体在不同
时期所处 位置的数表，并计算天文历书等．

综上，可以看出巴比伦人对初等数学的几个方面都有一定 贡献．但是，
他们对圆面积度量时，常取π＝3，计算结果不如古埃及人精确．


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