初中数学计划2016北京高考数学试卷及答案

2020年11月17日发(作者：童大林)
2016北京高考数学试卷及答案


【篇一：2016年北京理数高考试题(含答案)】

ass=txt>数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分．考试时长12 0分钟．考生务必将答案答在
答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一
并交回．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小 题5分，共40分．在每小题列出的四个
选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）已知集合a=

（a）

（c）

（2）若x,y满足 ，则2x+y的最大值为 b=，则 （b） （d）

（a）0 （b）3

（c）4 （d）5

（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值
为

（a）1

（b）2

（c）3

（d）4

（4）设a,b是向量，则“iai=ibi”是“ia+bi=ia-bi”的

（a） 充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件

（c） 充分必要条件（d）既不充分也不必要条件

（5）已知x,yr,且xyo，则

（a）

-（b）

（c） (-0 （d）lnx+lny

(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（a）

（b）

（c）

（d）1

(7)将函数

若 p′位于函数图像上的点p（的图像上，则 ，t ）向左平移s（s﹥
0） 个单位长度得到点p′.

（a）t= ，s的最小值为 （b）t= ，s的最小值为

（c）t= ，s的最小值为 （d）t= ，s的最小值为

（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是
三个空盒.每次从袋中 任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如
果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒 .重复上
述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则

（a）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

（b）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

（c）乙盒中红球不多于丙盒中红球

（d）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）设ar，若复数（1+i ）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，
则a=_______________。

（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作
答）

与圆交于a，b两点， （11）在极坐标系中，直线则

（12）已知=____________________. 为等差数列，为其前n项和，
若 ，，则.

（13）双曲线

的渐近线为正方形oabc的边oa，oc所 在的直线，点b为该双曲线
的焦点。若正方形oabc的边长为2，则a=_____________ __.

（14）设函数

①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；

②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_________________。

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步
骤或证明过程）

（15）（本小题13分）

在?abc

中，a?c?b

（i）求?b 的大小

（ii

cosa?cosc 的最大值

（16）（本小题13分）a、b、c三个班共有100名学生，为调查
他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时
间，数据如下表（单位：小时）；
333

（i） 试估计c班的学生人数；

（ii） 从a班和c班抽出的学生中，各随机选取一人，a班选出的
人记为甲，c班选出的人记为乙，假设所有学 生的锻炼时间相对独立，
求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（iii ）再从a、b、c三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻
炼时间分别是7，9，8.25（单位： 小时），这3个新数据与表格中
的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为

和的大小，（结论不要求证明）

，试判断

（17）（本小题14分）

如图，在四棱锥p-abcd中，平面pad? 平面abcd，
pa?pd,pa=pd,ab?

,

（i）求证：pd?平面pab;

（ii）求直线pb与平面pcd所成角的正弦值；

（ii i）在棱pa上是否存在点m，使得bmll平面pcd?若存在，求

（18）（本小题13分） am 的值；若不存在，说明理由。 ap

设函数f(x)=xeea?x +bx，曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程
为y=(e-1)x+4，

（i）求a,b的值；

(i i) 求f(x)的单调区间。

（19）（本小题14分）

x2y2已知椭圆c：2?2?1 （ab0

，a（a,0）,b(0,b)，o（0，0），△oab的面积为ab1.

（i）求椭圆c的方程；

(i i)设p的椭圆c上一点，直线pa与y轴交于点m，直线pb与x
轴交于点n。

求证：lanl? lbml为定值。

（20）（本小题13分）

设数列a：a1 ，a2 ,?an (n≥2)。如果对小于n(2≤n≤n)的每个正整数
k都有ak ＜an ，则称n是数列a的一个“g时刻”。记“g（a）是数
列a 的所有“g时刻”组成的集合。

（i）对数列a：-2，2，-1，1，3，写出g（a）的所有元素；

(i i)证明：若数列a中存在an使得ana1，则g（a）? ? ；

(i i i）证明：若数列a满足an-an?1 ≤1（n=2,3, ?,n）,则g（a）的
元素个数不小于an -a1。

2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）c （2）c （3）b （4）d

（5）c （6）a （7）a （8）b

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）?1（10）60

（11)2 （12）6

（13）2 （14）2(??,?1)

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

a2?c2?b22ac2解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得
cosb?. ??2ac2ac2

又因为0??b??，所以?b?

（Ⅱ）由（Ⅰ）知?a??c??4. 3?. 4

3?2cosa?cosc?2cosa?cos(?a) 4

?2cosa?

因为0??a?2222?cosa?sina?cosa?sina?cos(a?), 222243??，所
以当?a?时，2cosa?cosc取得最大值1. 44

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自c班的学生有8名 .
根据分层抽样方法，c班的学生人数估计为100?8?40. 20

（Ⅱ）设事件ai为“甲是现有样本中a班的第i个人”，i?1,2,???,5，

事件cj为“乙是现有样本中c班的第j个人”，j?1,2,???,8， 11，
i?1,2,???,5；p(cj)?，j?1,2,???,8. 58

111p(aicj)?p(ai)p(cj)??,i?1,2,???,5,j?1,2,???,8. 5840

设事件e为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知， 由题
意可知，p(ai)?

e?a1c1?a1c2?a2c1?a2c2?a2c3?a3c1?a3c2?a3c3?

a4c1?a4c2?a4c3?a5c1?a5c2?a5c3?a5c4

因此


p(e)?p(a1c1)?p(a1c2)?p(a2c1)?p(a2c 2)?p(a2c3)?p(a3c1)?p(a3c
2)?p(a3c3)

?p (a4c1)?p(a4c2)?p(a4c3)?p(a5c1)?p(a5c2)?p(a5c3)?p(a 5c4)?
15?13?408（Ⅲ）?1??0.

【篇二：2016年北京理科数学高考试题及答案】


ass=txt>数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分．考试时长12 0分钟．考生务必将答案答在
答题卡上，在试卷上作答无效．考试结

束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个
选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合a= ?? ?? 2 ，
b= ?1，0，1，2，3 ，则?? ??=

（2）若x,y满足 ??+??≤3,则2x+y的最大值为

??≥0,

（a）0 （b）3 （c）4 （d）5

（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值
为

（a）1 （b）2

（c）3 （d）4

（4）设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a?b|”的

（a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件 （c）充分必要条
件 （d）既不充分也不必要条件

（5）已知x,y∈r,且xy0，则

（a）

1??

?1

??

0

（b）sin???sin??0

（c）(112

???(2

??0

（d）ln??+ln??0

（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（a）61

（b）

312

1

正（主）视

侧（左）视

（c） （d）1

俯视图

（7）将函数??=sin(2??﹣图象上的点p(, t)向左平移s（s﹥0）个
单位长度得到点p′.

若p′位于函数??=sin2??的图象上，则 （a）??=2s的最小值为6
（c）??=，s的最小值为

2

3

1

1

（b）??=（d）??=

，s2 s2

的最小值为6 的最小值为

（8）袋中装有偶数个球，其中红 球、黑球各占一半.甲、乙、丙是
三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，

将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙
盒，否则就放入丙盒.重复上述过 程，直到袋中所有球都被放入盒中，
则

（a）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（b）乙盒中红球与丙盒中黑球
一样多 （c）乙盒中红球不多于丙盒中红球（d）乙盒中黑球与丙盒
中红球一样多

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）设a∈r，若复数(1+i)(a+ i)在复平面内对应的点位于实轴上，
则a=_______________. （10）在(1?2 ??)6的展开式中，??2的系
数为__________________.（用数字作答）

（11）在极坐标系中，直线??cos??? ??sin???1=0与
圆??=2cos??交于??,??两点， 则 ???? =____________________.

（12）已知 ???? 为等差数列， ????为其前n项和，
若??1=6，??3+??5=0，则??6=_____________ _. （13）双曲线

??2??2

?

??2??2

=1 (??0,??0)的渐近线为正方形oabc的边oa，oc所在的直线，点
b

为该双曲线的焦点. 若正方形oabc的边长为2，则
a=_______________. ??3?3??， ??≤??,（14）设函数?? ?? =

?2??， ????.

①若a=0，则??(??)的最大值为____________________；

②若??(??)无最大值，则实数a的取值范围是_________________.

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤
或证明过程） （15）（本小题13分） 在△abc
中，??3+??3=??3+ . （Ⅰ）求∠??的大小;

（Ⅱ）求 cos??+cos??的最大值.

（16）（本小题13分）

a, b, c三个班共有100名学生，为调查他 们的体育锻炼情况，通过
分层抽样获得了部分学生一周的锻

（Ⅰ）试估计c班的学生人数；

（Ⅱ）从a班和c班抽出的学生中，各随机选取一 人，a班选出的
人记为甲，c班选出的人记为乙，假设

所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时
间长的概率； （Ⅲ）再从a, b, c三个班中各随机抽取一名学生，他
们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），

这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记??1，表格
中数据的平均数记为??0，试判断 ??0和??1的大小.（结论不要求
证明）

（17）（本小题14分）

如图，在四棱锥???????????中，平面???????平
面????????，? ???⊥????，????=????,????⊥????,????=1,
????=2,??? ?=????=

（Ⅰ）求证：????⊥平面pab;

（Ⅱ）求直线pb与平面pcd所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱pa上是否存在点m，使得bm∥平面pcd?若存在，

求????.

（18）（本小题13分）

设函数?? ?? =??e?????+????， 曲线??=??(??)在点(2,??(2))处
的切线方程为??=(e?1)??+4. （Ⅰ）求??,??的值；

（Ⅱ）求??(??)的单调区间.

（19）（本小题14分）

??2

??2

????

d

已知椭圆c：??2+??2=1(????0)的离心率为2?? ??,0 ,??
0,?? ,??(0,0)，△??????的面积为1.

（Ⅰ）求椭圆c的方程；

（Ⅱ）设p的椭圆c上一点，直线pa与y轴交于点m，直线pb与
x轴交于点n.

求证：|????|?|????|为定值.

（20）（本小题13分）

设数列a：??1,??2,?,????(??≥2).如果 对小于n(2≤n≤n)的每个正
整数k都有????????，则称n是数列a的一个“g时刻”.记 “g(a)是
数列a的所有“g时刻”组成的集合. （Ⅰ）对数列a：-2，2，-1，1，
3，写出g(a)的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列a中存在????使
得??????1，则??(??)≠?;

（Ⅲ）证明：若数列a满足??????????1≤1（n=2,3, …,n）,则
g(a)的元素个数不小于???????1.

2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）c （2）c
（3）b （4）d （5）c （6）a （7）a （8）b 二、填空题（共6
小题，每小题5分，共30分） （9）?1（10）60 （11)2（12）6

（13）2（14）2(??,?1) 三、解答题（共6小题，共80分） （15）
（共13分）

解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得cosb?a2?c2?b22ac?2ac2ac?2

2

.

又因为0??b??，所以?b??

4

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知?a??c?

3?

4

. cosa?cosc?2cosa?cos(

3?

4

?a)

?2cosa?

因为0??a?

2222?cosa?sina?cosa?sina?cos(a?), 22224

3??

，所以当?a?时，2cosa?cosc取得最大值1. 44

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自c班的 学生有8名.
根据分层抽样方法，c班的学生人数估计为100?

8

20

?40. （Ⅱ）设事件ai为“甲是现有样本中a班的第i个人”，
i?1,2,???,5， 事件cj为“乙是现有样本中c班的第j个人”，
j?1,2,???,8，

由题意可知，p(a1i)?

5，i?1,2,???,5；p(c1

j)?8，j?1,2,???,8. p(a111

icj)?p(ai)p(cj)5?8?40

,i?1,2,???,5,j?1,2,???,8.

设事件e为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，

e?a1c1?a1c2?a2c1?a2c2?a2c3?a3c1?a3c2?a3c3?
a4c1?a4c2?a4c3?a5c1?a5c2?a5c3?a5c4

因此


p(e)?p(a1c1)?p(a1c2)?p(a2c1)?p(a2c 2)?p(a2c3)?p(a3c1)?p(a3c
2)?p(a3c3)

?p (a4c1)?p(a4c2)?p(a4c3)?p(a5c1)?p(a5c2)?p(a5c3)?p(a 5c4)?
15?

1340?8

（?1??0.

（17）（共14分） 解：（Ⅰ）因为平面pad?平面abcd，ab?ad，
所以ab?平面pad. 所以ab?pd. 又因为pa?pd， 所以pd?平面
pab.

（Ⅱ）取ad的中点o，连结po,co.

因为pa?pd，所以po?ad.

又因为po?平面pad，平面pad?平面abcd， 所以po?平面abcd.

因为co?平面abcd，所以po?co. 因为ac?cd，所以co?ad.

如图建立空间直角坐标系o?xyz.由题意得，

a(0,1,0),b(1,1,0),c(2,0,0),d(0,?1,0),p(0,0,1).

Ⅲ）

【篇三：2016北京卷高考数学(文)答案下载_2016高考
答案抢先版】


ass=txt>数学（文）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考 试时长120分钟。考生务必将答案答在
答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡 一
并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择 题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四
个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合a?{x|2?x?4},b?{x|x?3或x5}，则a?b?

（a）{x|2x5} （b）{x|x4或x5} （c）{x|2x3} （d）{x|x2或x5}

（2）复数1?2i= 2?i

（a）i（b）1+i（c）?i（d）1?i

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（a）8

（b）9

（c）27

（d）36

（4）下列函数中，在区间(?1,1)上为减函数的是

（a）y?1

1?x （b）y?cosx（c）y?ln(x?1) （d）y?2?x

（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为

（a）1 （b）2（c （d）（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2
人，则甲被选中的概率为

（a）1289（b）（c）（d） 5 5 2525

（7）已知a（2 ，5），b（4，1）.若点p（x，y）在线段ab上，
则2x?y的最大值为

（a）?1 （b）3（c）7 （d）8

（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两 个单项比赛分成预赛
和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛

成绩，其中有三个数据模糊.

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定 跳远
决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则

（a）2号学生进入30秒跳绳决赛（b）5号学生进入30秒跳绳决
赛

（c）8号学生进入30秒跳绳决赛（d）9号学生进入30秒跳绳决
赛

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知向量ab?，则a与b夹角的大小为_________.

（10）函数f(x)?x(x?2)的最大值为_________. x?1

（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为
___________.

x2y2

(12) 已知双曲线2?2?1（a＞0，b＞0）的一条渐近线 为2x+y=0，
一个焦点为,0），则a=_______；ab

b=_____________.

(13)在△abc中，?a?2?b，a，则=_________. 3c

(14)某网 店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种
商品，第二天售出13种商品，第三天售出1 8种商品；前两天都售
出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；

②这三天售出的商品最少有_______种.

三、解答题（小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证
明过程）

（15）（本小题13分）

已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3， b3=9，a1=b1，
a14=b4.

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.

（16）（本小题13分）

（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.

（17）（本小题13分）

某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的 部
分按4元立方米收费，超出w立方米的部分按10元立方米收费，
从该市随机调查了1000 0位居民，获得了他们某月的用水量数据，
整理得到如下频率分布直方图：

（i）如 果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月
的用水价格为4元立方米，w至少定为多少 ？

（ii）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3
时，估计 该市居民该月的人均水费.

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥p-abcd中，pc⊥平面abcd，ab∥dc,dc?ac

（i）求证：dc?平面pac；

（ii）求证：平面pab?平面pac；

(iii)设点e为ab的中点，在棱pb上是否存在点f，使得pa?平面
cef?说明

理由.

（19）（本小题14分）

x2y2

已知椭圆c：2?2?1过点a（2,0），b（0,1）两点. ab

（i）求椭圆c的方程及离心率；

（ii）设p为第三象限内一点且在椭圆c上，直线pa 与y轴交于点
m，直线pb与x轴交于点n，求证：四边形abnm的面积为定值.

（20）（本小题13分）

设函数f?x??x3?ax2?bx?c.

（i）求曲线y?f?x?.在点?0,f?0??处的切线方程；

（ii）设a?b?4，若函数f?x?有三个不同零点，求c的取值范围；
（iii）求证：a2?3b＞0是f?x?.有三个不同零点的必要而不充分条
件.