哈尔滨中考数学数学人教版九年级上册参考答案及习题解析

2020年11月18日发(作者：盛国胜)
《二次函数》单元复习答案及习题解析
武穴市思源实验学校 文武军

一．选择题.
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．
考点：
分析：
解答：
B．y=（x+2）（x﹣2）﹣x
2
C． D．
二次函数的定义．
整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
解：A、函数式整理为y=x﹣x，是二次函数，正确；
2
B、函数式整理为y=﹣4，不是二次函数，错误；
C、是正比例函数，错误；
D、是反比例函数，错误．
故选A．
点评： 本题考查二次函数的定义．

2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB< br>位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）

A． y= B．y=﹣ C．y=﹣ D． y=
考点： 根据实际问题列二次函数关系式．
2
分析： 抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，解析式符 合最简形式y=ax，把点A
或点B的坐标代入即可确定抛物线解析式．
2
解答： 解：依题意设抛物线解析式y=ax，
把B（5，﹣4）代入解析式，
得﹣4=a×5，
解得a=﹣
所以y=﹣
故选C．
点评：

，
x．
2
2
根据抛物线在坐标系的位置，合理地设抛物线解析式，是解答本题的关键．
2
3．二次函数y=kx+2x+1（k＜0）的图象可能是（ ）
A． B．C． D．


考点： 二次函数的图象．
分析： 由图象判定k＜0，可以判断抛物线对称轴的位置，抛物线与y轴的交点位
置，选择符合条件的选项．
2
解答： 解：因为二次函数y=kx+2x+1（k＜0）的图象开口向下，过点（0，1） ，对
称轴x=﹣＞0，
观察图象可知，符合上述条件的只有C．故选C．
2
点评： 应熟练掌握二次函数y=ax+bx+c的图象有关性质：开口方向、顶点坐标、
对称轴．

4.已知抛物线y=ax+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
2

A． ﹣2＜x＜2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞2 D． x＜﹣4或x＞2
考点： 二次函数的图象．
专题： 压轴题．
分析： 先根据 对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合
图形，求出y＞0时，x的取值范围 ．
解答： 解：因为抛物线过点（2，0），对称轴是x=﹣1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点（﹣4，0），
因为抛物线开口向下，y＞0时，图象在x轴的上方，
此时，﹣4＜x＜2．
故选B．
点评： 解答本题，利用二次函数的对称性，关键是判断图象与x轴的交点，根据开
口方向，形数结合，得出结论．

5抛物线y=x﹣4x﹣7的顶点坐标是（ ）
A． （2，﹣11） B．（﹣2，7） C．（2，11）
考点： 二次函数的性质．
分析： 直接根据顶点公式或配方法求解即可．
解答： 解：∵=2，=﹣11，
2
D． （2，﹣3）
∴顶点坐标为（2，﹣11）．
故选A．
点评： 主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．

6．若抛物线y=x﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A． 抛物线开口向上 B． 抛物线的对称轴是x=1
C． 当x=1时，y的最大值为4 D． 抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
考点： 二次函数的性质．
专题： 压轴题．
分析： 把（0，﹣3）代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的
交点坐标．
2
解答： 解：把（0，﹣3）代入y=x﹣2x+c中得c=﹣3，
22
抛物线为y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4=（x+1）（x﹣3），
所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，
当x=1时，y的最小值为﹣4，
与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；C错误．
故选C．
点评： 要求掌握抛物线的性质并对其中的a，b，c熟悉其相关运用．

7．如图，从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所
在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最 高点M离墙1m，离地面
的距离OB是（ ）
m，则水流落地点B离墙
2
A． 2m
考点：

B．3m
二次函数的应用．
C．4m D． 5m
分析： 由题意可以 知道M（1，），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线
的解析式，当y=0时就可以求出x的 值，这样就可以求出OB的值．
解答：
10=a+
a=﹣
，
．
（x﹣1）+
2
解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）+
2
，由 题意，得
∴抛物线的解析式为：y=﹣
当y=0时，
0=﹣（x﹣1）+
2
．
，
解得：x
1
=﹣1（舍去），x
2
=3．
OB=3m．
故选：B．
点评： 此题考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式 解
决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．

8．如图，有一 座抛物线拱桥，当水位在AB位置时，桥拱顶离水面2m，水面宽4m．若水
面下降1m，则水面宽CD 为（ ）

A． 5m B．6m C．m D． m
考点： 二次函数的应用．
2
分析： 设抛物线的解析式为y=ax将A点代入抛物线方程求得a，得 到抛物线解析
式，再把y=﹣3代入抛物线解析式求得x
0
进而得到答案．
2
解答： 解：设抛物线方程为y=ax，
2
将A（2，﹣2）代入y=ax，
解得：a=﹣，
∴y=﹣x，
代入B（x
0
，﹣3）得x
0
=，
∴水面宽CD为2，
故选D．
点评： 本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．
2

二．填空题.
9．函数与y
2
=x+2的图象及交点如图所示，则不等式x＜x+2的解集是 ﹣1＜x＜2 ．
2
考点：
分析：
2

二次函数与不等式（组）．
利用函数图象得出交点坐标，利用一次函数图象只有在二次函数图 象上方时，
解：利用图象得出函数与y
2
=x+2的图象交点坐标分别为：（﹣1，1 ）
不等式x＜x+2，进而得出答案．
解答：
和（2，4），
2
∴不等式x＜x+2的解集为：﹣1＜x＜2．
故答案为：﹣1＜x＜2．
点评： 此题主要考查了二次函数与不等式，利用数形结合得出不等式的解集是解题
关键．

10．如图是二次函数y=ax+bx+c的部分图象，由图象可知ax+bx+c＞0时x 的取值范围是
﹣1＜x＜5 ．
22

考点： 二次函数与不等式（组）．
分析： 根据二次函数的对称性求出函数图象与x轴的另一交点，再写出函 数图象在
x轴上方部分的x的取值范围即可．
解答： 解：由图可知，二次函数图象为直线x=2，
所以，函数图象与x轴的另一交点为（﹣1，0），
所以，ax+bx+c＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜5．
故答案为：﹣1＜x＜5．
点评： 本题考查了二次函数与不等式，此类题目一般都利用数形结合的思想求解，
本题求出函 数图象与x轴的另一个交点是解题的关键．

11．抛物线y=x﹣4x+3的顶点坐标和对称轴分别是 （4，﹣5），x=4 ．
考点：
分析：
二次函数的性质．
根据配方法，或者顶点坐标公式，可直接求出顶点坐标，对称轴．
2
2
解答： 解：∵y=x﹣4x+3=（x﹣4）﹣5，
22
∴顶点坐标为（4，﹣5），对称轴为x=4．
故答案为（4，﹣5），x=4．
点评： 主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．通常有两种方法：
（1）公式法：y=ax+bx+ c的顶点坐标为（
2
，
2
），对称轴是x=﹣；
（2）配方法：将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．

12．抛物线y=x﹣（m﹣3m+2）x+m﹣4的图象的对称轴是y轴，且顶点在原点， 则m的
值为 2 ．
考点： 二次函数的性质．
专题： 计算题．
分析：
2
222
根据二次函数对称轴直线x=﹣=0，得到m﹣3m+2= 0，再由顶点在原点
2
得到m﹣4=0，然后分别解两个一元二次方程，再得到它们的公共解即 可．
22
解答： 解：根据题意得m﹣3m+2=0且m﹣4=0，
22
解m﹣3m+2=0得m=1或2，解m﹣4=0得m=2或﹣2，
所以m的值为2．
故答案为：2．
2
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣
，

13．若抛物线y=ax+4x+a的顶点的纵坐标是3，则a= 4或﹣1 ．
考点： 二次函数的性质．
分析：
解答：
∴
直接利用二次函数顶点坐标公式得出
2
2
），对称轴直线x=﹣．
=3，进而求出即可．
解：∵抛物线y=ax+4x+a的顶点的纵坐标是3，
=3，
2
整理得出：a﹣3a﹣4=0，
解得：a
1
=4，a
2
=﹣1，
检验：当a=4或﹣1时，都是方程的根，
故答案为：4或﹣1．
点评： 此题主要考查了二次函数的性质，直接利用顶点公式求出是解题关键．

三．解答题.
14．如图，一块草地是长80 m，宽60 m的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的
2
小路，这时草坪面积为y m．求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．
分析： 把两条路进行平移，与长为80m的路移动到上方，长为6 0m的路移动左方，
那么草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，然后根据长方形的 面积公式即可
确定函数关系式，其中自变量的取值应根据原来长方形的长、宽确定．
解答： 解：依题意得把两条路分别进行平移，
长为80m的路移动到上方，长为60m的路移动左方，
∴草坪就变成了边长为（80﹣x）和（60﹣x）的长方形，
2
∴y=（80﹣x）（60﹣x）=x﹣140x+4800，
自变量的取值应大于等于0，但应小于60，即0＜x＜60．
2
故填空答案：y=（80﹣x）（60﹣x）=x﹣140x+4800（0＜x＜60）．
点评： 解决本题的关键是把两条路进行平移，使草坪的面积成为一长方形的面积．

15．已知正方形的面积为y（cm），周长为x（cm）．
（1）请写出y与x的函数关系式．
（2）判断y是否为x的二次函数．
考点： 根据实际问题列二次函数关系式；二次函数的定义．
分析： （1）根据正方形的周长为x（cm）， 即可得出边长，进而得出正方形的面积
为y与x之间的函数关系式；
（2）利用函数的定义判断得出即可．
解答： 解：（1）∵正方形的周长为x（cm），
∴正方形的边长为：xcm，
∴y与x的函数关系式为：y=x×x=x；
2
2

（2）利用二次函数的定义得出y是x的二次函数．
点评： 此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用正方形的性质得出是
解题关键．
16．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形
绿化 带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带
2
BC 边长为xm，绿化带的面积为ym，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值
范围．

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．
分析： 根据矩形的面积公式列出关于 二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的
实际意义来确定x的取值范围．
解答： 解：由题意得：y=x×=﹣x+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．
2
点评： 此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，注意在求自变量x的取值
范围时，要根据函数中自变量 所表示的实际意义来确定．

17．如图，二次函数y=ax+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
2
（3）当m取何值时，ax+bx+c=m有两个不相等的实数根．
2


考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
分析： （1）观察图象直接写出三点的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；
（2）将解析式配成顶点式即可解决问题；
（3）运用二次方程根的判别式列出不等式求解即可解决问题．
解答： 解：（1）由题意得：A、B、C三点的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣3）、（4，
5）；
2
设该二次函数的解析式为：y=ax+bx+c，
由题意得：
，
解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，
2
∴该抛物线解析式为：y=x﹣2x﹣3．
（2）由（1）知：y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x=1．
2
（3）由题意得：x﹣2x﹣3=m，
2
即x﹣2x﹣3﹣m=0①，
若该方程组有两个不相等的实数根，
2
则必有△=（﹣2）﹣4×1×（﹣3﹣m）＞0，
解得：m＞﹣4．
即当m＞﹣4时，ax+bx+c=m有两个不相等的实数根．
2
22

点评： 该命题以平面直角坐标系为载体，重点考查了二次函数的解析式的求法、二
次函数的性 质、二次函数与二次方程的联系等代数问题；对综合的分析问题解决问题的能力
提出了较高的要求．

18．已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），且经过点（1，﹣）．
（1）求这个抛物线的函数解析式，并作出这个函数的大致图象；
（2）当x在什么范围内时 ，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减
小？
考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．
专题： 计算题．
分析： （1）根据题意设出抛物线的顶点形式，把已知点代入求出a的值，确定出
解析式，画出函数图象即可；
（2）利用二次函数的增减性求出x的范围即可．
2
解答： 解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=a（x﹣2）﹣3，
把x=1，y=﹣代入得：﹣=a﹣3，即a=，
则抛物线解析式为y=x﹣2x﹣1；
（2）当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小．
2

点评： 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，熟
练掌握待定 系数法是解本题的关键．

19．如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1， 且正方形的边与坐标轴平行，
边DE落在x轴的正半轴上，边AG落在y轴的正半轴上，A、B两点在抛 物线y=
上．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）求抛物线y=x+bx+c的解析式；
x+bx+c上，求平移的距
2
2
x+bx+c
2
（3）将正方形CDEF沿x轴向右平移，使点F落在抛物线y=
离．

考点： 二次函数综合题．
专题： 压轴题．
分析： （1）由图中的三个小正方形的边长为1，根据图形可以知道B点的横坐标
为1，做那个坐标为3，从而 得出点B的坐标．
（2）根据图象求出点A的坐标，再把A、B的坐标代入解析式，根据待定系数法就 可以求
出b、c的值，从而求出抛物线的解析式．
（3）实际上就是当y=1时代入解析式就 可以求出平移后点F′的横坐标，就可以求出E′点的
坐标，此时OE′﹣3就是平移的距离．
解答： 解：（1）由图象，得B（1，3）．

（2）由题意，得A（0，2）
∴，解得：
，
∴，
． ∴抛物线的解析式为：

（3）当y=1时，
∴
x=
∴F′（
∴E′（
∴OE′=
或
解得：
（不符合题意应舍去），
，1），
，0），
，
． ∴平移的距离为：
点评： 本题是一道二次函数综合试题，考查了求点的坐标，用待定系数法求函数的
解析式，平移的运用等知识．

20.如图，已知二次函数y=﹣x+x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点 ，
其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点A的坐标为 （0，4） ，点C的坐标为 （8，0） ；
（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；
（3）线段AC上是 否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点
E的坐标；若不存在，请说明 理由．
2

考点： 二次函数综合题；点的坐标；二次函数的性质；抛物线与x轴的 交点；三角
形的面积；等腰三角形的判定．
分析： （1）抛物线的解析式中，令x=0即得 二次函数与y轴交点A的纵坐标，令
y=0即得二次函数与x轴交点的横坐标．
（2）根据（1）中点的坐标得出AB，BC，AC的长，进而利用勾股定理逆定理得出即可；
（3）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不确定，因
此要分成 三种情况讨论：
①CD=DE，由于OD=3，DA=DC=5，此时A点符合E点的要求，即此时A、E重合； ②CE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质知：E点横坐标为点D的横坐标加上CD的一
半，然 后将其代入直线AC的解析式中，即可得到点E的坐标；
③CD=CE，此时CE=5，过E作EG⊥ x轴于G，已求得CE、CA的长，即可通过相似三角
形（△CEG∽△CAO）所得比例线段求得EG 、CG的长，从而得到点E的坐标．
解答： 解：（1）在二次函数中令x=0得y=4，
∴点A的坐标为（0，4），
令y=0得：
2
，
即：x﹣6x﹣16=0，
∴x=﹣2和x=8，
∴点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）．
故答案为：A（0，4），C（8，0）；

（2）∵点A的坐标为（0，4），
∴AO=4，
∵点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0），
∴BO=2，CO=8，∴BC=10，
∴AC=
∴AB=
22
=4
=2
，
，
∴AB+AC=100，
2
∵BC=100，
222
∴AB+AC=BC，
∴△ABC是直角三角形；

（3）易得D（3，0），CD=5，
设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：
，
解得；
∴y=﹣x+4；
①当DE=DC时，
∵CD=5，
∴AD=5，
∵D（3，0），
∴OE=
∴E
1
（0，4）；
②当DE=EC时，可得出E点在C D的垂直平分线上，可得出E点横坐标为：3+=
进而将x=
可得E
2
（代入y=﹣x+4，得出y=，
，）；
，
=4，
③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，
则△CEG∽△CAO，
∴，
，
）；
，）、E
3
（8﹣2 ，）．
即EG=，CG=2
∴E
3
（8﹣2 ，
综上所述，符合条件的E 点共有三个：E
1
（0，4）、E
2
（

点评： 此题考查 了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、等腰三角形的构成条件、
图形面积的求法等知识，（3）题的 解题过程并不复杂，关键在于理解题意．