数学悟空201x版八年级数学下册第一章三角形的证明1.1等腰三角形第1课时一课一练基础闯关新版北师大版

2020年11月18日发(作者：余秋里)
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等腰三角形
一课一练·基础闯关
题组全等三角形在证明中的应用 < br>1.(xx·黑龙江中考)如图,BC∥EF,AC∥DF,添加一个条件________,使得△AB C≌△DEF.

【解析】∵BC∥EF,∴∠ABC=∠E,∵AC∥DF,
∴∠A=∠EDF,
∵在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF,

同理,BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF.
答案:AB=DE(或BC=EF或AC=DF或AD=BE,答案不唯一)
【变式训练】如 图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条
件仍不能判定△ABE≌△ACD ( )

A.∠B=∠C
=CE




=AE
=CD
【解析】选D.∵A B=AC,∠A为公共角,添加∠B=∠C,利用ASA即可证明△ABE≌△ACD;
若添加AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;
若添加BD=CE,等量关系可得AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;
若添加BE=CD,因为SSA,不能证明△ABE≌△ACD,所以D选项不能作为添加的条件. < br>2.(xx·启东市月考)如图,△ABC≌△DCB,若AC=7,BE=5,则DE的长为_____ ___.
精品
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【解析】∵△ABC≌△DCB,
∴DB=AC=7,∴DE=BD-BE=7-5=2.
答案:2
3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△ABO≌△ADO.下列结论:
①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC.
其中所有正确结论的序号是________.
世纪金榜导学号10164000
【解析】∵△ABO≌△ADO,
∴∠AOB=∠AOD=90°,AB=AD,∠BAO=∠DAO,
∴AC⊥BD,故①正确;
在△ABC和△ADC中,

∴△ABC≌△ADC(SAS),故③正确.
∴BC=DC,故②正确.
DA与DC关系不确定.
答案:①②③
4.(xx·黄冈中考)已知:如图,∠B AC=∠DAM,AB=AN,AD=AM,求证:∠B=∠ANM.

【证明】∵∠BAC=∠DAM,∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠DAM=∠DAC+∠NAM,
∴∠BAD=∠NAM,
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在△BAD和△NAM中,

∴△BAD≌△NAM(SAS),
∴∠B=∠ANM.
5.(xx· 常州中考)如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE=∠ACD=
90°,∠BAC= ∠D,BC=CE.

(1)求证:AC=CD.
(2)若AC=AE,求∠DEC的度数.
【解析】(1)∵∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠BCA=∠ECD.
在△BCA和△ECD中,

∴△BCA≌△ECD,∴AC=CD.
(2)∵AC=AE,∴∠AEC=∠ACE.
又∵∠ACD=90°,AC=CD,
∴△ACD是等腰直角三角形,∴∠DAC=45°,
∴∠AEC=(180°-∠DAC)=(180°-45°),
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世纪金榜导学号10164001


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∴∠DEC=180°-∠AEC=180°-(180°-45°)=112.5°.
【归纳整合】说明三角形全等的三类条件
1.直接条件:即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角.
2.隐含条件:即已知没有给出,但通过读图很容易得到的条件,如公共边、公共角、对顶角等. 3.间接条件:即已知中所给条件不是三角形的对应边和对应角,需要进一步推理,此类条件的推理证明在书 写
过程中要置于前面.
题组等腰三角形性质的应用
1.(xx·包头中考)若等腰 三角形的周长为10cm,其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为 ( )

A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
【解析】选A.若2cm为 等腰三角形的腰长,则底边长为10-2-2=6(cm),2+2<6,不符合三角形的三边关系;
若2cm为等腰三角形的底边,则腰长为(10-2)÷2=4(cm),此时三角形的三边长分别为2cm,4 cm,4cm,符合三角形
的三边关系;故选A..
2.如图所示,点D是△ABC的边AC上一点(不含端点),AD=BD,则下列结论正确的是 ( )
>BC



=BC
D.∠A=∠ABC C.∠A>∠ABC
【解析】选A.∵AD=BD,∴∠A=∠ABD,
∴∠ABC>∠A,所以C选项和D选项错误;
根据在三角形中大角对大边,
∴AC>BC,所以A选项正确;B选项错误.
3.(xx·滨州中考)如图,在△ABC中 ,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为 ( )
世纪金榜导学号10164002
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A.40° B.36° C.30° D.25°
【解析】选B.∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵CD=DA,
∴∠C=∠DAC,
∵BA=BD,
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B,
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°,
∴5∠B=180°,
∴∠B=36°.
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹 角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为________.
【解析】分两种情况讨论:①若∠A<90°,如图1所示:

∵BD⊥AC,∴∠A+∠ABD=90°,
∵∠ABD=48°,
∴∠A=90°-48°=42°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=(180°-42°)=69°.
②若∠A>90°,如图2所示:
同①可得:∠DAB=90°-48°=42°,
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∴∠BAC=180°-42°=138°,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°-138°)=21°;
综上所述:等腰三角形底角的度数为69°或21°.
答案:69°或21°
5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.
求证:∠CBE=∠BAD.
世纪金榜导学号10164003
【证明】∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴∠CAD=∠BAD,∠ADC=90°,
∴∠CAD+∠C=90°,
∵BE⊥AC,
∴∠CBE+∠C=90°,
∴∠CAD=∠CBE,
∴∠CBE=∠BAD.

(xx·烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图所示 ,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF
的长度相等,则∠C的度数为 ( )

A.48° B.40° C.30° D.24°
【解析】选D.∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAF=48°.
∵CF=EF,∴∠C=∠E.
∵∠C+∠E=∠DFE=48°,∴∠C=24°.
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【母题变式】
[变式一](xx·建湖县期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD∥B C,若∠BAD=110°,则∠BCA的大小为 ( )

A.30° B.40° C.50° D.70°
【解析】选D.∵AD∥BC,∠BAD=110°,
∴∠B=180°-∠BAD=70°,
∵AB=AC,∴∠BCA=∠B=70°.
[变式二]
(xx·高密市月考)如图,AE∥BD,C是BD上的点,且AB=BC,
∠ACD=110°,则∠EAB度数为 ( )
A.70° B.55°
C.40° D.35°
【解析】选C.∵∠ACD=110°,∴∠BCA=70°,
∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA=70°,
∵AE∥BC,∴∠EAC=∠ACD=110°,
∴∠EAB=110°-70°=40°.
[变式三]如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC,求证:∠C=2∠D.

【证明】∵AB=AC=AD,
∴∠C=∠ABC,∠D=∠ABD,
∴∠ABC=∠CBD+∠D,
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∵AD∥BC,
∴∠CBD=∠D,
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D,
又∵∠C=∠ABC,∴∠C=2∠D.
[变式四](xx·长春一模)如图1,AB∥CD ,点E在BC上,且CD=CE,若∠B=36°,则∠D的大小为________度.

图1
【解析】∵AB∥CD,∠B=36°,∴∠C=∠B=36°,
又∵点E在BC上,且CD=CE,∴∠D=∠CED,
∴在△CED中,∠C+∠D+∠CED=180°,
∴36°+2∠D=180°,∴∠D=72°.
答案:72
[变式五](xx· 宁波一模)如图2,直线
l
1
∥
l
2
,以直线
l< br>1
上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线
l
1
,
l
2
于
点B,C,连接AC,BC.若∠ABC=67°,则∠1=
( )

图2

A.23° B.46° C.67° D.78°
【解析】选B.根据题意得:AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=67°,
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∵直线
l
1
∥
l
2
,
∴∠2=∠ABC=67°,
∵∠1+∠ACB+∠2=180°,
∴∠1=180°-∠2-∠ACB=180°-67°-67°=46°.
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