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安徽高考数学答案人教版八年级上册数学教案全套(附教学计划)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-18 13:11
tags:数学教学高中

王二小的电影-怎样用易经算命

2020年11月18日发(作者:钱君羽)

人教版八年级上册数学教案全套

2020——2021学年八年级上册数学教学计划
一、 指导思想
在教学中努力推进九年义务教育,落实新课改,体现新理念,培养创新精神
通过数学课的教学 ,使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技
术所必需的数学基本知识和基本技能;努力 培养学生的运算能力、逻辑思维能力,
以及分析问题和解决问题的能力。
二、学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期,学生基础的好坏,直接影响到将来是
否能升学。学生通过上学 期的学习,计算能力、数学阅读理解能力、数学实践探
究能力得到了发展与提高,对图形及图形间数量关 系有了初步的认识,合情推理
能力与逻辑推理能力得到了进一步的发展,通过上学期的学习,绝大部分学 生能
够认真对待每次作业并及时纠正作业中的错误,在课堂上能专心致志的进行学习
与思考,课 堂整体表现较为活跃。本学期将继续促进学生自主学习,创设情境让
学生参与活动,进行探索与发现,以 自身的体验获取知识与技能;努力实现基础
性与生活性的统一,发展学生的创新和实践能力;进一步激发 学生对数学的兴趣
和爱好。在教学中注重通过各种教学手段帮助学生理解概念,操作运算,扩展思
路。要在本期获得理想成绩,老师和学生都要付出努力,课堂上要充分发挥学生
是学的主体性,教师是 教的主导作用,优化方法,培养能力,关注学困生,查漏
补缺。
三、教材分析
第十一章 《三角形 》:本章主要学习与三角形有关的线段、角及多边形的
内角和等内容。本 章重点:三角形有关线段、角及多边形的内角和的性质与应用。
本章难点:正确理解三角形的高、中线及 角平分线的性质并能作图,及三角形内
角和的证明与多边形内角和的探究。
第十二章 《全等 三角形》:本章主要学习全等三角形的性质与判定方法,学
习应用全等三角形的性质与判定解决实际问题 的思维方式。教学重点:全等三角
形性质与判定方法及其应用;掌握综合法证明的格式。教学难点:领会 证明的分

1

析思路、学会运用综合法证明的格式。
第十三章 《轴对称》:本章主要学习轴对称及其基本性质,同时利用轴对称
变换,探究等腰三角形和正三角形的性 质。教学重点:轴对称的性质与应用,等
腰三角形、正三角形的性质与判定。教学难点:轴对称性质的应 用。
第十四章 《整式的乘法和因式分解》:本章主要学习整式的乘除运算和乘法
公式,学习对多项式进行因式分解 ,教学重点:整式的乘除运算以及因式分解。
教学难点:对多项式进行因式分解及其思路。
第十五章 《分式 》:本章主要学习分式及其基本性质,分式的约分、通分,
分式的基本运算 ,分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。教
学重点:运用分式的基本性质进行约分和 通分;分式的基本运算;解分式方程。
教学难点:分式的约分和通分;分式的混合运算;解分式方程及分 式方程的实际
应用。
四、提高学科教育质量的主要措施:
1、认真做好教学六认真 工作。把教学六认真作为提高成绩的主要方法,认
真研读新课程标准,钻研新教材,根据新课程标准,扩 充教材内容,认真上课,
批改作业,认真辅导,认真制作测试试卷,也让学生学会认真学习。
2、加强教学技能, 面向全体学生。由于学生在知识、技能方面的发展和兴
趣、特长等不尽相 同,所以要因材施教。在组织教学时,应从大多数学生的实际
出发,并兼顾学习有困难的和学有余力的学 生,对学习有困难的学生,要特别予
以关心,及时采取有效措施,激发他们学习数学的兴趣,指导他们改 进学习方法。
3、在教学过程中要引导学生积极归纳解题规律,引导学生做到一题多解,
多解 归一,注重培养学生透过现象看本质,发展学生举一反三的能力,发展学生
的发散思维,让学生处于一种 思如泉涌的状态,提高学生素质。
4、培养学生良好的学习习惯,陶行知说:教育就是培养习惯,有助 于学生
稳步提高学习成绩,发展学生的非智力因素,弥补智力上的不足。
这些习惯包括①认真 做作业的习惯包括作业前清理好桌面,作业后认真检查;
②预习的习惯;③认真看批改后的作业并及时更 正的习惯;④认真做好课前准备
的习惯;⑤在书上作精要笔记的习惯;⑥妥善保管书籍资料和学习用品的 习惯;⑦
认真阅读数学教材的习惯。

2

5、开展分层教学, 布置作业设置A、B、C三类分层布置分别适合于差、中、
好三类学生,课堂上的提问照顾好好、中、差 三类学生,使他们都等到发展。
6、进行个别辅导,优生提升能力,扎实打牢基础知识,对差生,一些 关键
知识,辅导差生过关,为差生以后的发展铺平道路。



1.1 与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
【教学目标】
1.理解三角形的概念,认识三角形的顶点、边、角,会数三角形的个数.(重
点)
2.能利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形.(重点)
3.三角形在实际生活中的应用.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
出示金字塔、战机、大桥等图片,让学生感受生活中的三角形,体会生活中
处处有数学.
教师利用多媒体演示三角形的形成过程,让学生观察.
问:你能不能给三角形下一个完整的定义?

二、合作探究
探究点一:三角形的概念
图中的锐角三角形有( )
A.2个
B.3个

3

C.4个
D.5个
解析: (1)以A为顶点的锐角三角形有△ABC、△ADC共2个;(2)以E为顶
点的锐角三角形有△ED C共1个.所以图中锐角三角形的个数有2+1=3(个).故
选B.
方法总结:数三角形的 个数,可以按照数线段条数的方法,如果一条线段上
n(n-1)n(n-1)
有n个点,那么 就有条线段,也可以与线段外的一点组成个
22
三角形.
探究点二:三角形的三边关系
【类型一】 判定三条线段能否组成三角形
以下列各组线段为边,能组成三角形的是( )
A.2cm,3cm,5cm
B.5cm,6cm,10cm
C.1cm,1cm,3cm
D.3cm,4cm,9cm
解析:选项A中2+3=5,不能组成三角形,故此选项错误; 选项B中5+6
>10,能组成三角形,故此选项正确;选项C中1+1<3,不能组成三角形,故此选项错误;选项D中3+4<9,不能组成三角形,故此选项错误.故选B.
方法总结:判定三 条线段能否组成三角形,只要判定两条较短的线段长度之
和大于第三条线段的长度即可.
【类型二】 判断三角形边的取值范围
一个三角形的三边长分别为4,7,x,那么x的取值范围是( )
A.3<x<11 B.4<x<7
C.-3<x<11 D.x>3
解析:∵三角形的三边长分别为4,7 ,x,∴7-4<x<7+4,即3<x<11.
故选A.
方法总结:判断三角形边的取值范 围要同时运用两边之和大于第三边,两边
之差小于第三边.有时还要结合不等式的知识进行解决.

4

【类型三】 等腰三角形的三边关系
已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9,求这个三角形的周长.
解析:先根据等腰三角形 两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况,再根
据两边和大于第三边来判断能否构成三角形,从而求解 .
解:根据题意可知等腰三角形的三边可能是4,4,9或4,9,9,∵4+4<
9,故4 ,4,9不能构成三角形,应舍去;4+9>9,故4,9,9能构成三角形,
∴它的周长是4+9+9 =22.
方法总结:在求三角形的边长时,要注意利用三角形的三边关系验证所求出
的边长能 否组成三角形.
【类型四】 三角形三边关系与绝对值的综合
若a,b,c是△ABC的三边长,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-
b|.
解析:根据三角形三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,
来判定绝对值里的式 子的正负,然后去绝对值符号进行计算即可.
解:根据三角形的三边关系,两边之和大于第三边,得a -b-c<0,b-c
-a<0,c+a-b>0.∴|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b |=b+c-a+c+a-b
+c+a-b=3c+a-b.
方法总结:绝对值的化简首先要 判断绝对值符号里面的式子的正负,然后根
据绝对值的性质将绝对值的符号去掉,最后进行化简.此类问 题就是根据三角形
的三边关系,判断绝对值符号里面式子的正负,然后进行化简.
三、板书设计
三角形的边
1.三角形的概念:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.
2.三角形的三边关系:
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
【教学反思】
本节课让学生经历一个 探究解决问题的过程,抓住“任意的三条线段能不能
围成一个三角形”引发学生探究的欲望,围绕这个问 题让学生自己动手操作,发

5

现有的能围成,有的不能围成,由学生自 己找出原因,为什么能?为什么不能?
初步感知三条边之间的关系,重点研究“能围成三角形的三条边之 间到底有什么
关系”.通过观察、验证、再操作,最终发现三角形任意两边之和大于第三边这
一 结论.这样教学符合学生的认知特点,既提高了学生学习的兴趣,又增强了学
生的动手能力.


11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
【教学目标】
1.掌握三角形的高、中线和角平分线的定义,并能够对其进行简单的应
用.(重点)
2.能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线.(难点)
【教学过程】
一、情境导入

这里有一块三角形的蛋糕,如果兄弟两个想要平分的话,你该怎么办 呢?本
节我们一起来解决这个问题.
二、合作探究
探究点一:三角形的高
【类型一】 三角形高的画法
画△ABC的边AB上的高,下列画法中,正确的是( )


解析:三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线,顶点和垂足间的线段.根

6

据概念可知.
解:过点C作边AB的垂线段,即画AB边上的高CD,所以画法正确的是D.
故选D. 方法总结:三角形任意一边上的高必须满足:(1)过该边所对的顶点;(2)
垂足必须在该边或在 该边的延长线上.
【类型二】 根据三角形的面积求高


如图所示,在 △ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D,且AD=4,
若点P在边AC上移动,则 BP的最小值为________.
解析:根据垂线段最短,可知当BP⊥AC时,BP有最小值.由 △ABC的面积
1124
公式可知AD·BC=BP·AC,解得BP=.
225< br>方法总结:解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高,这
种解题方法通常称为 “面积法”.
探究点二:三角形的中线
【类型一】 应用三角形的中线求线段的长
在△ABC中,AC=5cm,AD是△ABC的中线,若△ABD的周长比△ADC的
周长大2cm ,则BA=________.

解析:如图,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∴ △ABD的周长-△ADC的
周长=(BA+BD+AD)-(AC+AD+CD)=BA-AC,∴B A-5=2,∴BA=7cm.
方法总结:通过本题要理解三角形的中线的定义,解决问题的关键是将 △ABD
与△ADC的周长之差转化为边长的差.
【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题

7


如图,在△ABC中, E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设
△ABC,△ADF和△BEF的面积分别为 S
△ABC
,S
△ADF
和S
△BEF
,且S
△A BC
=12,则S
△ADF
-S
△BEF
=________. < br>111
解析:∵点D是AC的中点,∴AD=AC.∵S
△ABC
=12,∴S
△ABD
=S
△ABC
=×12
222
11
=6. ∵EC=2BE,S
△ABC
=12,∴S
△ABE
=S
△ABC< br>=×12=4.∵S
△ABD
-S
△ABE
=(S
△ADF< br>+S

33
ABF
)-(S
△ABF
+S
△ BEF
)=S
△ADF
-S
△BEF
,即S
△ADF
-S
△BEF
=S
△ABD
-S
△ABE
=6-4=2. 故答案为
2.
方法总结:三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分;高相等时,面积的比等于底边的比;底相等时,面积的比等于高的比.

探究点三:三角形的角平分线


如图,已知:AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60 °,
∠BCE=40°,求∠ADB的度数.
解析:根据AD是△ABC的角平分线,∠BA C=60°,得出∠BAD=30°,再
利用CE是△ABC的高,∠BCE=40°,得出∠B的度数 ,进而得出∠ADB的度数.
解:∵AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°,∴∠DAC=∠ BAD=30°.∵CE
是△ABC的高,∠BCE=40°,∴∠B=50°,∴∠ADB=180° -∠B-∠BAD=180°
-50°-30°=100°.
方法总结:通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法,同时此类问

8

题往往和三角形的高综合考查.
三、板书设计
三角形的高、中线与角平分线
1.三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,顶点 和垂足间的
线段叫做三角形的高.
2.三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三
角形的中线. 3.三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连
接这个角的顶点与交点的 线段叫做三角形的角平分线.
【教学反思】
本节课由实际问题“平分三角形蛋糕”引入,让 学生意识到数学与实际生活
的密切联系,明确数学来源于实践应用于实践,进而学习用数学方法解决实际 问
题.然后从画图入手,分三种情况:即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,
培养学生形成 分类讨论思想,同时,可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的
形象,然后结合这些具体形象叙述它们 的定义以及表示方法,最后通过例题进一
步巩固.


11.1.3 三角形的稳定性
【教学目标】
1.通过观察、感悟三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性.(重点)
2.三角形的稳定性在生活、生产中的实际应用.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
一天数学小博士听到三角形和四边形在一起争论“有稳定性好还是没有稳
定性好?”先听它们是怎么说的.
三角形:“具有稳定性的我最好,因为我牢固,不易变形,所以我 最受欢迎,
不像你四边形,你没有坚定的立场!”
四边形:“灵活性强,可伸可缩,我的这些优点比起你三角形那呆板、简单、

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一成不变的形式不知有多优越!”
三角形:“我广泛应用于人类的生产生活中,如 三角尺、钢架桥、起重机、
屋顶的钢架,我的用途大!”
四边形:“我的用途广,像活动衣架、缩放尺、活动铁门等,人类的生活因
为我而丰富多彩!”
假如你是数学小博士,你会如何来调解它们的争论?
二、合作探究
探究点:三角形的稳定性
【类型一】 三角形稳定性的应用
要使四边形木架(用4 根木条钉成)不变形,至少需要加钉1根木条固定,
要使五边形木架不变形,至少需要加2根木条固定, 要使六边形木架不变形,至
少需要加3根木条固定,…,那么要使一个n边形木架不变形,至少需要几根 木
条固定?
解析:由于多边形(三边以上的)不具有稳定性,将其转化为三角形后木架的形状就不变了.根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般
规律.
解 :过n边形的一个顶点可以作(n-3)条对角线,把多边形分成(n-2)个三
角形,所以,要使一个 n边形木架不变形,至少需要(n-3)根木条固定.
方法总结:将多边形转化为三角形时,所需要的 木条根数,可从具体到一般
去发现规律,然后验证求解.

【类型二】 四边形的不稳定性
大家经常看到有些学校、小区的大门都使用了伸缩门,它常常做成四边
形的 形状,你知道这是为什么吗?

解析:从四边形特性的角度考虑.
解:伸缩门做成四边形的形状,是利用四边形易变形这一特性.
方法总结:四边形具有不稳定性,容易变形,我们生活中的很多实例都利用

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了这一性质,注意在日常生活中积累这方面的经验.
三、板书设计
三角形的稳定性
1.三角形具有稳定性
2.四边形没有稳定性
3.三角形的稳定性的应用
4.四边形的不稳定性的应用
【教学反思】
在教学三角形的稳定性时,利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含
义,进而用三角形的稳定性解 释“为什么不易变形”,再回归生活,运用三角形
的稳定性解释如何解决生活中的问题.学生清楚地认识 到“不易变形”是三角形
的稳定性的一个表现,一种应用,而不是将三角形的稳定性与“不易变形”划等
号.这样的教学既使得学生对稳定性有了正确清楚的认识,也为以后进一步学习
三角形的稳定性 和“全等三角形”的判定方法奠定了认知的基础.


11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
【教学目标】
1.理解三角形内角和定理及其证明方法.(难点)
2.能用三角形的内角和定理解决一些简单问题.(重点)
【教学过程】
一、情境导入
多媒体展示:(三兄弟之争)在一个直角三角形村庄里,住着三个内角,平时< br>它们非常团结,有一天,老三不高兴了,对老大说:“凭什么你的度数最大,我
也要和你一样大! ”老大说:“这是不可能的,否则我们这个家就要被拆散,围
不起来了!”“为什么呢?”老二、老三纳 闷起来……
同学们,你们知道其中的道理吗?
二、合作探究

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探究点一:三角形的内角和
【类型一】 求三角形内角的度数


已知,如图,D是△ABC中BC边延长线上一点,DF⊥AB交AB于F,交
AC 于E,若∠A=46°,∠D=50°.求∠ACB的度数.
解析:在Rt△DFB中,根据三角形内 角和定理,求得∠B的度数,再在△ABC
中求∠ACB的度数即可.
解:在△DFB中,∵ DF⊥AB,∴∠DFB=90°.∵∠D=50°,∠DFB+∠D+
∠B=180°,∴∠B=40 °.在△ABC中,∵∠A=46°,∠B=40°,∴∠ACB=
180°-∠A-∠B=94°.
方法总结:求三角形的内角,必然和三角形内角和定理有关,解决问题时要
根据图形特点,在不 同的三角形中,灵活运用三角形内角和定理求解.
【类型二】 判断三角形的形状
一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,这个三角形一定是
( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法判定
解析:设这 个三角形的三个内角的度数分别是x,2x,3x,根据三角形的内
角和为180°,得x+2x+3x =180°,解得x=30°,∴这个三角形的三个内角
的度数分别是30°,60°,90°,即这个 三角形是直角三角形.故选A.
方法总结:在解决有关比例问题时,通常先设比例系数,然后列方程求解.
【类型三】 三角形的内角与角平分线、高的综合运用

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在△ABC中,∠A=∠B=∠AC B,CD是△ABC的高,CE是∠ACB的角
23

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平分线,求∠DCE的度数.
解析:根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB,利用三角形 的内角和求出∠A,
再求出∠ACB,∠ACD,最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DC E的度
数.
11
解:∵∠A=∠B=∠ACB,设∠A=x,∴∠B=2x,∠AC B=3x.∵∠A+∠B
23
+∠ACB=180°,∴x+2x+3x=180°,解得x= 30°,∴∠A=30°,∠ACB=
90°.∵CD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∴∠AC D=180°-90°-30°=60°.
1
∵CE是∠ACB的角平分线,∴∠ACE=×9 0°=45°,∴∠DCE=∠ACD-∠ACE
2
=60°-45°=15°.
方 法总结:本题是常见的几何计算题,解题的关键是利用三角形的内角和定
理和角平分线的性质,找出角与 角之间的关系并结合图形解答.
探究点二:直角三角形的性质
【类型一】 直角三角形性质的运用

如图,CE⊥AF,垂足为E,CE与BF相交于点D,∠F=40 °,∠C=30°,
求∠EDF、∠DBC的度数.
解析:根据直角三角形两锐角互余列式计 算即可求出∠EDF,再根据三角形
的内角和定理求出∠C+∠DBC=∠F+∠DEF,然后求解即可 .
解:∵CE⊥AF,∴∠DEF=90°,∴∠EDF=90°-∠F=90°-40°=50°.
由三角形的内角和定理得∠C+∠DBC+∠CDB=∠F+∠DEF+∠EDF,∴30°+
∠DBC=40°+90°,∴∠DBC=100°.
方法总结:本题主要利用了直角三角形两锐角互 余的性质和三角形的内角和
定理,熟记性质并准确识图是解题的关键.
三、板书设计
三角形的内角
1.三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°

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2.三角形内角和定理的证明
3.直角三角形的性质:直角三角形两锐角互余
【教学反思】
本节课通过一段对话 设置疑问,巧设悬念,激发起学生获取知识的求知欲,
充分调动学生学习的积极性,使学生由被动接受知 识转为主动学习,从而提高学
习效率.然后让学生自主探究,在教学过程中充分发挥学生的主动性,让学 生提
出猜想.在教学中,教师通过必要的提示指明了学生思考问题的方向,在学生提
出验证三角 形内角和的不同方法时,教师注意让学生上台演示自己的操作活动和
说明自己的想法,这样更有助于学生 接受三角形的内角和是180°这一结论.


11.2.2 三角形的外角
【教学目标】 【教学过程】
1.掌握三角形外角的定义和三角形内角和定理的两个推论.(重点)
2.能运用三角形内角 和定理的两个推论进行相关的几何计算和证明,并体
会几何图形中的不等关系.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
足球比赛中的数学知识
在绿茵场上,某球员 在A处受到阻挡需要传球,请帮助他做出选择,应传给
在B处的球员还是C处的球员,使其射门不易射偏 .(不考虑其他因素)
请同学们帮助他做出选择.

二、合作探究
探究点:三角形的外角
【类型一】 应用三角形的外角求角的度数
如图所示,P为 △ABC内一点,∠BPC=150°,∠ABP=20°,∠ACP=
30°,求∠A的度数.

14


解析:延长BP交AC于E或连接AP并延长,构造三 角形的外角,再利用外
角的性质即可求出∠A的度数.
解:延长BP交AC于点E,则∠BP C,∠PEC分别为△PCE,△ABE的外角,
∴∠BPC=∠PEC+∠PCE,∠PEC=∠AB E+∠A,∴∠PEC=∠BPC-∠PCE=150°
-30°=120°.∴∠A=∠PEC-∠A BE=120°-20°=100°.
方法总结:利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的
度数的方法.
【类型二】 用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内
角和
已知:如图为一五角星,求证:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

解析 :根据三角形外角性质得出∠EFG=∠B+∠D,∠EGF=∠A+∠C,根据
三角形内角和定理得出 ∠E+∠EGF+∠EFG=180°,代入即可得证.
证明:∵∠EFG、∠EGF分别是△BDF 、△ACG的外角,∴∠EFG=∠B+∠D,
∠EGF=∠A+∠C.又∵在△EFG中,∠E+∠E GF+∠EFG=180°,∴∠A+∠B+
∠C+∠D+∠E=180°.
方法总结:解决 此类问题的关键是根据图形的特点,利用三角形外角的性质
将分散的角集中到某个三角形中,利用三角形 内角和进行解决.
【类型三】 三角形外角的性质和角平分线的综合应用
如图①,∠ACD 是△ABC的外角,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且BE、
CE交于点E.

(1)如果∠A=60°,∠ABC=50°,求∠E的度数;

15

(2)猜想:∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可);
(3)如图②,点E是△ABC 两外角平分线BE、CE的交点,探索∠E与∠A之
间的数量关系,并说明理由.
解析:先计 算特殊角的情况,再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合
三角形的角平分线概念解决.

解:(1)根据外角的性质得∠ACD=∠A+∠ABC=60°+50°=110°,∵BE
11
平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠1=∠ACD=55°,∠2=∠ABC=25°.∵∠E
22
+∠2=∠1,∴∠E=∠1-∠2=30°;
1
(2)猜想:∠E=∠A;
2
11
(3)∵BE、CE是两外角 的平分线,∴∠2=∠CBD,∠4=∠BCF,而∠CBD
22
11
=∠A+∠AC B,∠BCF=∠A+∠ABC,∴∠2=(∠A+∠ACB),∠4=(∠A+
22
11∠ABC).∵∠E+∠2+∠4=180°,∴∠E+(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC)=
22
11
180°,即∠E+∠A+(∠A+∠ACB+∠ABC)=180°.∵∠A+∠ ACB+∠ABC=
22
1
180°,∴∠E+∠A=90°.
2
1
方法总结:对于本题发现的结论要予以重视:图①中,∠E=∠A;图②中,
2
1< br>∠E=90°-∠A.
2

三、板书设计

16

三角形的外角
1.三角形外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角.
2.三角形外角的性质:三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和;三角
形的一个外角大于与 它不相邻的任何一个内角.
【教学反思】
本节的知识内容很突出,要让学生了解三角形的外 角及其性质,所以在教学
过程中,应让学生自主探索,利用多种方法进行研究.同时要关注学生的合作交
流,开阔学生的思路,让学生在经历整个探索过程的同时,体会数学的严谨性,
培养学生的逻辑 思维和解决问题的能力.
在教学设计上,关注学生自主学习、合作交流的过程,让学生体会数学知识< br>应用的灵活性,感受数学基础的重要性,在获得数学活动经验的同时,提高学生
的探究、发现和创 新能力.


11.3 多边形及其内角和
11.3.1 多边形
【教学目标】
1.掌握多边形的定义及其有关概念,理解正多边形及其相关概念.(重点)
2.正确区分凹多边形和凸多边形.(重点)
3.理解多边形的对角线的概念,探索一个多边形能画几条对角线.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
利用多媒体展示生活、建筑方面等的图片(包含一个或多个明显的多边形).

问题:请学生观察图片,在图中能找出哪些多边形?
长方形、正方形、平行四边形 等都是四边形,还有边数很多的图形,它们在
日常生活、工农业生产中都有应用,引出本节课课题:多边 形.
二、合作探究

17

探究点一:多边形的概念
【类型一】 多边形及其概念
下列图形不是凸多边形的是( )

解析 :根据凸多边形的概念,如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的
同旁,该多边形即是凸多边形,否 则即是凹多边形.由此可得选项D的图形不是
凸多边形.故选D.
方法总结:多边形可分为凸 多边形和凹多边形,辨别凸多边形可有两种方法:
(1)画多边形任何一边所在的直线,整个多边形都在 此直线的同一侧;(2)每个内
角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形.
【类型二】 确定多边形的边数
若一个多边形截去一个角后,变成十五边形,则原来的多边形的边数可
能为( )
A.14或15或16 B.15或16
C.14或16 D.15或16或17 解析:一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不
变或减少了一条,则多边 形的边数是14,15或16.故选A.
方法总结:一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加 了一条,也可
能不变或减少了一条,解决此类问题可以亲自动手画一下.
探究点二:多边形的对角线
【类型一】 确定多边形的对角线的条数
从四边形的一 个顶点出发可画________条对角线,从五边形的一个顶点
出发可画________条对角线, 从六边形的一个顶点出发可画________条对角线,
请猜想从七边形的一个顶点出发有_____ ___条对角线,从n边形的一个顶点出发
有________条对角线,从而推导出n边形共有___ _____条对角线.
解析:根据n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线.从n个顶点出发
引出n(n-3)条对角线,而每条重复一次,可得答案.
解:从四边形的一个顶点出发可画1条对角线,从五边形的一个顶点出发可

18

画2条对角线,从六边形的一个顶点出发可画3条对角线,从七边形的一个顶点
出发 有4条对角线,从n边形的一个顶点出发有(n-3)条对角线,从而推导出n
n(n-3)
边 形共有条对角线.
2
方法总结:(1)多边形有n条边,则经过多边形的一个顶点的对角线有 (n-
3)条;(2)多边形有n条边,对角线的条数为
n(n-3)
.
2
【类型二】 根据对角线条数确定多边形的边数
从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线,则它的边数是
( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析:设这个多边形是n边形.依题意,得n-3=5,解 得n=8.故这个多
边形的边数是8.故选C.
【类型三】 根据分成三角形的个数,确定多边形的边数
连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三
角形,则原多边形是( )
A.五边形 B.六边形
C.七边形 D.八边形
解析:设原多边形是n边形,则n-2=6,解得n=8.故选D.
方法总结:从n边形的一 个顶点出发可引出(n-3)条对角线,这(n-3)条对
角线把n边形分成(n-2)个三角形.
探究点三:正多边形的有关概念
下列图形中,是正多边形的是( )
A.等腰三角形
B.长方形
C.正方形
D.五边都相等的五边形 解析:根据正多边形的定义:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正
多边形进行解答.正方形 四个角相等,四条边都相等,故选C.

19

方法总结:解答此类问题 的关键是要搞清楚正多边形的定义,各个角相等、
各条边相等的多边形是正多边形,这两个条件缺一不可 .
三、板书设计
多边形
1.定义:在同一平面内,由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组
成的封闭图形.
2.相关概念:顶点、边、内角、对角线.
3.多边形的对角线:n边形从一个顶点出发的对 角线条数为(n-3)条;n
n(n-3)
边形共有对角线条(n≥3).
2
4.正多边形:如果多边形的各边都相等,各内角也都相等,那么就称为正
多边形.
【教学反思】
本节课采取的是合作探究的教学方式,在小组活动中,每个学生都能发挥自己的作用,都有表达和倾听的机会,每个人的价值作用都能显现出来.在这个过
程中,学生得到了锻 炼,明白了和他人怎样合作,取长补短.在教学设计时要从
学生的角度出发,设计出合理的,具有可操作 性的探究步骤,充分估计探究中的
不确定因素和障碍点,并在教学过程中加强组织引导和巡视力度.


11.3.2 多边形的内角和
【教学目标】
1.理解多边形内角和公式的推导过程,并掌握多边形的内角和与外角和公
式.(重点)
2.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
多媒体演示:清晨,小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步.

20


提出问题:
(1)小明是沿着几边形的广场在跑步?
(2)你知道这个多边形的各部分的名称吗?
(3)你会求这个多边形的内角和吗?
导入:小明每从一条小路转到下一条小路时,身体总要转过一个角,你知道
是哪些角吗?
你知道它们的和吗?就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂.
二、合作探究
探究点一:多边形的内角和
【类型一】 利用内角和求边数
一个多边形的内角和为540°,则它是( )
A.四边形 B.五边形
C.六边形 D.七边形
解析:熟记多边形的内角和公式(n-2)·180°.设它是n 边形,根据题意得
(n-2)·180=540,解得n=5.故选B.
方法总结:熟记多边形的内角和公式是解题的关键.
【类型二】 求多边形的内角和
一个多边形的内角和为1800°,截去一个角后,得到的多边形的内角
和为( )
A.1620° B.1800°
C.1980° D.以上答案都有可能
解 析:1800÷180=10,∴原多边形边数为10+2=12.∵一个多边形截去一
个内角后,边数 可能减1,可能不变,也可能加1,∴新多边形的边数可能是11,
12,13,∴新多边形的内角和可 能是1620°,1800°,1980°.故选D.
方法总结:一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能

21

加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键.
【类型三】 复杂图形中的角度计算
如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=( )
A.450° B.540°
C.630° D.720°

解析: 如图,∵∠3+∠4=∠8+∠9,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6
+∠7=∠1+∠2+∠8 +∠9+∠5+∠6+∠7=五边形的内角和=540°,故选
B.
方法总结:本题考查了灵 活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关
系.根据图形特点,将问题转化为熟知的问题,体现了转化 思想的优越性.
【类型四】 利用方程和不等式确定多边形的边数
一个同学在进行多边形的 内角和计算时,求得内角和为1125°,当他
发现错了以后,重新检查,发现少算了一个内角,问这个 内角是多少度?他求的
是几边形的内角和?
解析:本题首先由题意找出不等关系列出不等式, 进而求出这一内角的取值
范围;然后可确定这一内角的度数,进一步得出这个多边形的边数.
解:设此多边形的内角和为x,则有1125°<x<1125°+180°,即180°
×6+45° <x<180°×7+45°,因为x为多边形的内角和,所以它是180°的
倍数,所以x=180° ×7=1260°.所以7+2=9,1260°-1125°=135°.因此,
漏加的这个内角是1 35°,这个多边形是九边形.
方法总结:解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数.
探究点二:多边形的外角和
【类型一】 已知各相等外角的度数,求多边形的边数
正多边形的一个外角等于36°,则该多边形是正( )
A.八边形 B.九边形
C.十边形 D.十一边形
解析:正多边形的边数为360°÷36°=10,则这个多边形是正十边形.故

22

选C.
方法总结:如果已知正多边形的一个外角,求边数可直接利用外角和除以这
个角即可.
【类型二】 多边形内角和与外角和的综合运用
一个多边形的内角和与外角和的和为540°,则它是( )
A.五边形 B.四边形
C.三角形 D.不能确定
解析:设这个多边形的边数为n,则依题意可得(n-2)×1 80°+360°=
540°,解得n=3,∴这个多边形是三角形.故选C.
方法总结:熟 练掌握多边形的内角和定理及外角和定理,解题的关键是由已
知等量关系列出方程从而解决问题.
三、板书设计
多边形的内角和与外角和
1.性质:多边形的内角和等于(n-2)·180°;多边形的外角和等于360°.
2.多边形的边数与内角和、外角和的关系:
(1)n边形的内角和等于(n-2)·180 °(n≥3,n是正整数),可见多边形内
角和与边数n有关,每增加1条边,内角和增加180°.
(2)多边形的外角和等于360°,与边数的多少无关.3.正n边形:正n边形
(n-2) ·180°360°
的内角的度数为,外角的度数为.
nn
【教学反思】
本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和,再探究多边形的内角和,
然后采用完全开放的探究 ,每步探究先让学生尝试,把学生推到主动位置,放手
让学生自己学习,教学过程主要靠学生自己去完成 ,尽可能做到让学生在“活动”
中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新.要 充分体
现学生学习的自主性:规律让学生自主发现,方法让学生自主寻找,思路让学生
自主探究 ,问题让学生自主解决.



23

12.1 全等三角形
【教学目标】
1.了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素.(重点)
2.理解并掌握全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等.(重
点)
3.能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
在我们的周围,经常可以看到形状、大小完全相同的图形,这类图形在几何学中具有特殊的意义.观察下列图案,指出这些图案中形状与大小相同的图形.

你能再举出一些例子吗?
二、合作探究
探究点一:全等形和全等三角形的概念及对应元素
【类型一】 全等形的认识
2013年第十二届全运会在辽宁举行,下图中的图形是全运会的会徽,
其中是全等形的是( )

A.(1)(2) B.(2)(3)
C.(1)(3) D.(1)(4)
解析:根据能够完全重合的两个图形是全等形进行判断.由此可以判断选项
D是正确的. 方法总结:判断两个图形是不是全等形,可以通过平移、翻折、旋转等方法,
将两个图形叠合起来观 察,看其是否能完全重合,有时还可以借助网格背景来观
察比较.
【类型二】 全等三角形的对应元素

24

如图,若△BOD≌△COE,∠B=∠ C,指出这两个全等三角形的对应边;
若△ADO≌△AEO,指出这两个三角形的对应角.

解析:结合图形进行分析,分别写出对应边与对应角即可.
解:△BOD与△COE的对应边 为:BO与CO,OD与OE,BD与CE;△ADO与△AEO
的对应角为:∠DAO与∠EAO,∠ ADO与∠AEO,∠AOD与∠AOE.
方法总结:找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形 ,另外记全等三
角形时,对应顶点要写在对应的位置上,这样就可以比较容易地写出对应角和对
应边了.
探究点二:全等三角形的性质
【类型一】 应用全等三角形的性质求三角形的角或边
如图,△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°, BF=4,EF=7,求∠DEF
的度数和CF的长.

解析:根据全等三角形对应边、对应角相等求∠DEF的度数和CF的长.
解:∵△ABC≌ △DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,∴∠DEF=
∠B=50°,BC=E F=7,∴CF=BC-BF=7-4=3.
方法总结:本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的 度数和线段的长,
解决问题的关键是准确识别图形.
【类型二】 全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用
如图,△ABC≌△ADE,∠CAD=10°,∠B= ∠D=25°,∠EAB=120°,
求∠ACB的度数.


25

解析:根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=
2∠CAB+10°=120°,即∠CAB=55°.然后在△ACB中利用三角形内角和定理
来求 ∠ACB的度数.
解:∵△ABC≌△ADE,∴∠CAB=∠EAD.∵∠EAB=120°,∠C AD=10°,∴
∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=2∠CAB+10°=120°,∴∠C AB=55°.∵∠B
=∠D=25°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠B=180°-55°- 25°=100°,即
∠ACB的度数是100°.
方法总结:本题将三角形内角和与全等三 角形的性质综合考查,解答问题时
要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来.
三、板书设计
全等三角形
1.全等形与全等三角形的概念:能够完全重合的两个图 形叫做全等形;能
够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2.全等三角形的性质:全等三角形的对应角、对应边相等.
【教学反思】
首先 展示全等形的图片,激发学生兴趣,从图中总结全等形和全等三角形的
概念.最后总结全等三角形的性质 ,通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符
号语言推理.通过实例熟悉运用全等三角形的性质解决一些 简单的实际问题.


12.2 三角形全等的判定
第1课时 “边边边”
【教学目标】
1.了解三角形的稳定性,会应用“边边边”判定两个三角形全等.(重点)
2.经历探索“ 边边边”判定全等三角形的过程,体会利用操作、归纳获得
数学结论的过程.(重点)
3.在复杂的图形中进行三角形全等条件的分析和探索.(难点)
【教学过程】
一、情境导入

26

问题提出:一块三角形的玻璃损坏后,只 剩下如图①所示的残片,你对图中
的残片作哪些测量,就可以割取符合规格的三角形玻璃,与同伴交流.
学生活动:观察,思考,回答教师的问题.
方法如下:可以将图①的玻璃碎片放在一块纸板上 ,然后用直尺和铅笔或水
笔画出一块完整的三角形.如图②,剪下模板就可去割玻璃了.
< br>如果△ABC≌△A′B′C′,那么它们的对应边相等,对应角相等.反之,如
果△ABC与△ A′B′C′满足三条边对应相等,三个角对应相等,即AB=A′B′,
BC=B′C′,CA=C′ A′,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′这六个条件,
就能保证△ABC≌△A′B′C′. 从刚才的实践我们可以发现:只要两个三角形三
条对应边相等,就可以保证这两块三角形全等.这种说法 对吗?
二、合作探究
探究点:三角形全等的判定方法——“边边边”
【类型一】 利用“SSS”判定两个三角形全等
如图,AB=DE,AC=DF,点E、C在直线BF上,且BE =CF.求证:
△ABC≌△DEF.


解析:已知△ABC与△DEF 有两边对应相等,通过BE=CF可得BC=EF,即
可判定△ABC≌△DEF.
证明:∵ BE=CF,∴BE+EC=EC+CF,即BC=EF.在△ABC和△DEF中,∵
?
BC =EF,
?
AB=DE,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
?
A C=DF,
方法总结:判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,
然后再 根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.

27

【类型二】 “SSS”与全等三角形的性质结合进行证明或计算
如图所示,△ABC是一个 风筝架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D
的支架,求证:AD⊥BC.

解析:要证AD⊥BC,根据垂直定义,需证∠1=∠2,∠1=∠2可由
△ABD≌△ACD证得.
?
AB=AC,
证明:∵D是BC的中点,∴BD=CD.在△ABD和△ACD中, ∵
?
BD=CD,
∴△
?
AD=AD,
ABD≌△ACD( SSS),∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).∵∠1+∠2=180°,
∴∠1=∠2=90 °,∴AD⊥BC(垂直定义).
方法总结:将垂直关系转化为证两角相等,利用全等三角形证明两角 相等是
全等三角形的间接应用.
【类型三】 利用“边边边”进行尺规作图
已知: 如图,线段a、b、c.求作:△ABC,使得BC=a,AC=b,AB=c.(保
留作图痕迹,不写 作法)

解析:首先画AB=c,再以B为圆心,a为半径画弧,以A为圆心,b为半
径画弧,两弧交于一点C,连接BC,AC,即可得到△ABC.

解:如图所示,△ABC就是所求的三角形.
方法总结:关键是掌握基本作图的方法,结合几 何图形的基本性质把复杂作
图拆解成基本作图,逐步操作.
【类型四】 利用“SSS”解决探究性问题
如图,AD=CB,E、F是AC上两动点,且有DE=BF.
(1)若E、F运动至图①所示的位置,且有AF=CE,求证:△ADE≌△CBF.

28

(2)若E、F运动至图②所示的位置,仍有AF=CE,那么△ADE≌△ CBF还成
立吗?为什么?
(3)若E、F不重合,AD和CB平行吗?说明理由.

解析:(1)因为AF=CE,可推出AE=CF,所以可利用SSS来证明三角形全等;< br>(2)同样利用三边来证明三角形全等;(3)因为全等,所以对应角相等,可推出
AD∥CB.
解:(1)∵AF=CE,∴AF+EF=CE+EF,∴AE=CF.在△ADE和△CBF中,∵< br>?
AD=CB,
?
DE=BF,
∴△ADE≌△CBF.
?
AE=CF,
(2)成立.∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF.在△A DE和△CBF中,
?
AD=CB,

?
DE=BF,

?
AE=CF,
∴△ADE≌△CBF.
(3)平行.∵△ADE≌△CBF,∴∠A=∠C,∴AD∥BC.
方法总结:解决本题要明确无论E、F如何运动,总有两个三角形全等,这
个在图形中要分清.
三、板书设计
边边边
1.三边分别相等的两个三角形全等.简记为“边边边”或“SSS”.
2.“边边边”判定方法可用几何语言表示为:

?
AB=AB,
在△ABC和△ABC中,∵
?
BC=BC,
∴△ABC≌△ABC(SSS). < br>?
AC=AC,
1
1
1
1
1
1
11 1111

29

【教学反思】
本节课从操作探究活动入手, 有效地激发了学生的学习积极性和探究热情,
提高了课堂的教学效率,促进了学生对新知识的理解和掌握 .从课堂教学的情况
来看,学生对“边边边”掌握较好,达到了教学的预期目的.存在的问题是少数学生在辅助线的构造上感到困难,不知道如何添加合理的辅助线,还需要在今后
的教学中进一步加强 巩固和训练.


第2课时 “边角边”
【教学目标】
1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”.(重点)
2.能运用“边角边”判定方法解决有关问题.(重点)
3.“边角边”判定方法的探究以及适合“边角边”判定方法的条件的寻
找.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了,他想画一个与 原来完全一样的三角
形,他该怎么办?请你帮助小伟想一个办法,并说明你的理由.
想一想: 要画一个三角形与小伟画的三角形全等,需要几个与边或角的大小
有关的条件?只知道一个条件(一角或 一边)行吗?两个条件呢?三个条件呢?
让我们一起来探索三角形全等的条件吧!

二、合作探究
探究点一:应用“边角边”判定两三角形全等
【类型一】 利用“SAS”判定三角形全等
如图,A、D、F、B在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且A E∥BC.求证:
△AEF≌△BCD.

30


解 析:由AE∥BC,根据平行线的性质,可得∠A=∠B,由AD=BF可得AF
=BD,又AE=BC ,根据SAS,即可证得△AEF≌△BCD.
证明:∵AE∥BC,∴∠A=∠B.∵AD=BF, ∴AF=BD.在△AEF和△BCD中,
?
AE=BC,

?
∠A =∠B,

?
AF=BD,
∴△AEF≌△BCD(SAS).
方法总结:判定两个三角形全等时,若有两边一角对应相等时,角必须是两
边的夹角.
【类型二】 “边边角”不能证明三角形全等
下列条件中,不能证明△ABC≌△DEF的是( )

A.AB=DE,∠B=∠E,BC=EF
B.AB=DE,∠A=∠D,AC=DF
C.BC=EF,∠B=∠E,AC=DF
D.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF 解析:要判断能不能使△ABC≌△DEF,应看所给出的条件是不是两边和这两
边的夹角,只有选 项C的条件不符合,故选C.
方法总结:判断三角形全等时,注意两边与其中一边的对角相等的两个三 角
形不一定全等.解题时要根据已知条件的位置来考虑,只具备SSA时是不能判定
三角形全等 的.
探究点二:全等三角形判定与性质的综合运用
【类型一】 利用全等三角形进行证明或计算
已知:如图,BC∥EF,BC=BE,AB=FB,∠1=∠2,若 ∠1=45°,求
∠C的度数.

31


解析:利用 已知条件易证∠ABC=∠FBE,再根据全等三角形的判定方法可证
明△ABC≌△FBE,由全等三 角形的性质即可得到∠C=∠BEF.再根据平行,可得
出∠BEF的度数,从而可知∠C的度数. < br>?
BC=BE,
解:∵∠1=∠2,∴∠ABC=∠FBE.在△ABC和△FBE中, ∵
?
∠ABC=∠FBE,
?
AB=FB,
∴△ABC≌△FBE( SAS),∴∠C=∠BEF.又∵BC∥EF,∴∠C=∠BEF=∠1=45°.
方法总结:全等三角形是证明线段和角相等的重要工具.
【类型二】 全等三角形与其他图形的综合
如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.求证: (1)AE=CG;
(2)AE⊥CG.

解析:(1)因为已知条件中有两个正方 形,所以AD=CD,DE=DG,它们的夹
角都是∠ADG加上直角,可得夹角相等,所以△ADE和 △CDG全等;(2)再利用互
余关系可以证明AE⊥CG.
证明:(1)∵四边形ABCD 、DEFG都是正方形,∴AD=CD,GD=ED.∵∠CDG
=90°+∠ADG,∠ADE=90 °+∠ADG,∴∠CDG=∠ADE.在△ADE和△CDG中,
?
AD=CD,

?
∠ADE=∠CDG,
∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG;
?
DE=GD,
(2)设AE与DG相交于M,AE与CG相交于N,在△GMN和△DME 中,由(1)得
∠CGD=∠AED,又∵∠GMN=∠DME,∠DEM+∠DME=90°,∴∠C GD+∠GMN=90°,
∴∠GNM=90°,∴AE⊥CG.
三、板书设计
边角边

32

1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简记为“边角边”或“SAS”.
2.“边角边”判定方法可用几何语言表示为:

?
AB=AB,
在△ABC和△ABC中,∵
?
∠B=∠B,
∴△ABC≌△ABC(SAS). < br>?
BC=BC,
11
111
1
111
11
3 .“SSA”不能判定两个三角形全等.
【教学反思】
本节课从操作探究入 手,具有较强的操作性和直观性,有利于学生从直观上
积累感性认识,从而有效地激发了学生的学习积极 性和探究热情,提高了课堂的
教学效率,促进了学生对新知识的理解和掌握.


第3课时 “角边角”“角角边”
【教学目标】
1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”,“角角边”.(重点)
2.能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题.(重点)
3.“角边角”和“角角 边”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的
条件的寻找.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
如图所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带哪块去?
学生活动:学生先自主探究出答案,然后再与同学进行交流.
教师点拨:显然仅仅带①或②是 无法配成完全一样的玻璃的,而仅仅带③则
可以,为什么呢?本节课我们继续研究三角形全等的判定方法 .

33


二、合作探究
探究点一:应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等
【类型一】 应用“ASA”判定两个三角形全等
如图,AD∥BC,BE∥DF,AE=CF,求证:△ADF≌△CBE.

解析 :根据平行线的性质可得∠A=∠C,∠DFE=∠BEC,再根据等式的性质
可得AF=CE,然后利 用ASA可证明△ADF≌△CBE.
证明:∵AD∥BC,BE∥DF,∴∠A=∠C,∠DFE= ∠BEC.∵AE=CF,∴AE+
?
∠A=∠C,
EF=CF+EF,即AF=CE .在△ADF和△CBE中,∵
?
AF=CE,
∴△ADF≌△
?
∠ DFA=∠BEC,
CBE(ASA).
方法总结:在“ASA”中,包含“边”和“角”两 种元素,是两角夹一边而
不是两角及一角的对边对应相等,应用时要注意区分;在“ASA”中,“边” 必须
是“两角的夹边”.
【类型二】 应用“AAS”判定两个三角形全等
如图, 在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于与BE交于F,若BF
=AC,求证:△ADC≌△B DF.

解析:先证明∠ADC=∠BDF,∠DAC=∠DBF,再由BF=AC,根据A AS即可
得出两三角形全等.
证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BDF=∠ BEA=90°.∵∠AFE=∠BFD,
∠DAC+∠AEF+∠AFE=180°,∠BDF+∠B FD+∠DBF=180°,∴∠DAC=∠DBF.

34

?
∠DAC=∠DBF,
在△ADC和△BDF中,∵
?
∠ADC=∠BDF,
∴△ADC≌△BDF(AAS).
?
AC=BF,
方法总结:在“AAS”中,“边”是“其中一个角的对边”.
【类型三】 灵活选用不同的方法证明三角形全等
如图,已知AB=AE,∠BAD=∠CA E,要使△ABC≌△AED,还需添加一
个条件,这个条件可以是______________.

解析:由∠BAD=∠CAE得到∠BAC=∠EAD,加上AB=AE,所以当添加∠C< br>=∠D时,根据“AAS”可判断△ABC≌△AED;当添加∠B=∠E时,根据“ASA”
可 判断△ABC≌△AED;当添加AC=AD时,根据“SAS”可判断△ABC≌△AED.
方法总 结:判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS.注意:
AAA、SSA不能 判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,
若有两边一角对应相等时,角必须是两 边的夹角.
探究点二:运用全等三角形解决有关问题
已知:在△ABC中,∠BAC=90 °,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线
m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.求证:(1) △BDA≌△AEC;(2)DE=BD+CE.

解析:(1)由垂直的关系可以得到一对 直角相等,利用同角的余角相等得到
一对角相等,再由AB=AC,利用AAS即可得证;(2)由△B DA≌△AEC,可得BD
=AE,AD=EC,根据DE=DA+AE等量代换即可得证.
证明:(1)∵BD⊥m,CE⊥m,∴∠ADB=∠CEA=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°.
∵AB⊥AC,∴∠BAD+∠CAE=90°,∴∠ABD=∠CAE.在△BDA和△AEC中,∵
?
∠ADB=∠CEA=90°,

?
∠ABD=∠CAE,
?< br>AB=AC,
∴△BDA≌△AEC(AAS);

35

(2)∵△BDA≌△AEC,∴BD=AE,AD=CE,∴DE=DA+AE=BD+CE. 方法总结:利用全等三角形可以解决线段之间的关系,比如线段的相等关系、
和差关系等,解决问题 的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转
化.
三、板书设计
“角边角”“角角边”
1.角边角:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为“角边角”
或“ASA”. < br>2.角角边:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简
记为“角角边”或“ AAS”.
3.三角形全等是证明线段相等或角相等的常用方法.
【教学反思】
本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方
法.在寻找判定方法证明 两个三角形全等的条件时,可先把容易找到的条件列出
来,然后再根据判定方法去寻找所缺少的条件.从 课堂教学的情况来看,学生对
“角边角”掌握较好,达到了教学的预期目的.存在的问题是少数学生在方 法
“AAS”和“ASA”的选择上混淆不清,还需要在今后的教学中进一步加强巩固和
训练.


第4课时 “斜边、直角边”
【教学目标】
1.理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”.(重点)
2.经历探究“斜边 、直角边”判定方法的过程,能运用“斜边、直角边”
判定方法解决有关问题.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这 两个直角三角形是否
全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.

36

(1)你能帮他想个办法吗?
(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的 直角边和斜边,发现它们分别对应
相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”,你相信他的结论吗 ?

二、合作探究
探究点一:应用“斜边、直角边”判定三角形全等
如 图,已知∠A=∠D=90°,E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,
且AB=CD,BE=CF .求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.

解析:由题意可得△ABF与△DCE都为直角三 角形,由BE=CF可得BF=CE,
然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等.
证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.∵∠A=∠D=90°,∴△
?
BF=CE,
ABF与△DCE都为直角三角形.在Rt△ABF和Rt△DCE中,∵< br>?

?
AB=CD,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL). 方法总结:利用“HL”判定三角形全等,首先要判定这两个三角形是直角三
角形,然后找出对应的 斜边和直角边相等即可.
探究点二:“斜边、直角边”判定三角形全等的运用
【类型一】 利用“HL”判定线段相等
如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD =AF,
AC=AE.求证:BC=BE.

解析:根据“HL”证Rt△ADC≌ Rt△AFE,得CD=EF,再根据“HL”证Rt△
ABD≌Rt△ABF,得BD=BF,最后证 明BC=BE.

37

证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和 △ABE的高,且AD=AF,AC=AE,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD=EF. ∵AD=AF,AB=AB,∴Rt△ABD≌Rt△
ABF(HL).∴BD=BF.∴BD-CD= BF-EF.即BC=BE.
方法总结:证明线段相等可通过证明三角形全等解决,作为“HL”公理 就是
直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住
“直角”这 个隐含的已知条件.
【类型二】 利用“HL”判定角相等或线段平行
如图,AB⊥BC,AD⊥DC,AB=AD,求证:∠1=∠2.

解析:要证角相等,可先证明全等.即证Rt△ABC≌Rt△ADC,进而得出角
相等. < br>证明:∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°,∴△ABC与△ACD为直角三
?< br>AB=AD,
角形.在Rt△ABC和Rt△ADC中,∵
?
∴Rt△ABC≌ Rt△ADC(HL),∴∠1
AC=AC,
?
=∠2.
方法总结:证明角相等可通过证明三角形全等解决.
【类型三】 利用“HL”解决动点问题
如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线
段PQ =AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P
点运动到AC上什么位 置时△ABC才能和△APQ全等?

解析:本题要分情况讨论:(1)Rt△APQ≌Rt △CBA,此时AP=BC=5cm,可
据此求出P点的位置.(2)Rt△QAP≌Rt△BCA,此 时AP=AC,P、C重合.
解:根据三角形全等的判定方法HL可知:(1)当P运动到AP=BC时,∵∠C

38

?
AP=BC,
=∠QAP=90°.在Rt△ABC与R t△QPA中,∵
?
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),
?
PQ=AB ,
∴AP=BC=5cm;(2)当P运动到与C点重合时,AP=AC.在Rt△ABC与Rt△QP A
?
AP=AC,
中,∵
?
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL) ,∴AP=AC=10cm,∴当AP=5cm或
?
PQ=AB,
10cm时,△AB C才能和△APQ全等.
方法总结:判定三角形全等的关键是找对应边和对应角,由于本题没有说明< br>全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解.
【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等
如图,CD⊥AB于D点,BE⊥AC于E点,B E,CD交于O点,且AO平分
∠BAC.求证:OB=OC.

解析:已知BE⊥ AC,CD⊥AB可推出∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°,
由AO平分∠BAC可知 ∠1=∠2,然后根据AAS证得△AOD≌△AOE,根据ASA证
得△BOD≌△COE,即可证得 OB=OC.
证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90 °.∵AO平
?
∠ADC=∠AEB,
分∠BAC,∴∠1=∠2.在△AOD和△A OE中,∵
?
∠1=∠2,

?
OA=OA,
?
∠ BDC=∠CEB,
∴△AOD≌△AOE(AAS).∴OD=OE.在△BOD和△COE中,∵< br>?
OD=OE,
?
∠BOD=∠COE,
∴△BOD≌△COE(AS A).∴OB=OC.

方法总结:判定直角三角形全等的方法除“HL”外,还有:SSS 、SAS、ASA、
AAS.
三、板书设计
“斜边、直角边”

39

1.斜边、直角边:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简< br>记为“斜边、直角边”或“HL”.
2.方法归纳:
(1)证明两个直角三角形全等 的常用方法是“HL”,除此之外,还可以选用
“SAS”“ASA”“AAS”以及“SSS”.
(2)寻找未知的等边或等角时,常考虑转移到其他三角形中,利用三角形全
等来进行证明.
【教学反思】
本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式 来进行.在
探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时,要让学生进行合作交
流. 在寻找未知的等边或等角时,常考虑将其转移到其他三角形中,利用三角形
全等来进行证明.此外,还要 注重通过适量的练习巩固所学的新知识.


12.3 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
【教学目标】
1.经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理.(重
点)
2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
问题:在S区有一个集贸市场P,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P点建两条路,一条到公路,一条到铁路.
问题1:怎样修建道路最短?
问题2:往哪条路走更近呢?


40

二、合作探究
探究点一:角平分线的作法
如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分 别交AB,
1
AC于E,F两点,再分别以E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于 点
2
P,作射线AP,交CD于点M.若∠ACD=120°,求∠MAB的度数.

解析:根据AB∥CD,∠ACD=120°,得出∠CAB=60°,再根据AM是∠CAB
的平分线,即可得出∠MAB的度数.
解:∵AB∥CD,∴∠ACD+∠CAB=180°,又∵∠ ACD=120°,∴∠CAB=60°,
1
由作法知,AM是∠CAB的平分线,∴∠MAB =∠CAB=30°.
2
方法总结:通过本题要掌握角平分线的作图步骤,根据作图明确AM 是∠BAC
的角平分线是解题的关键.
探究点二:角平分线的性质
【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等
如图:在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,D E⊥AB于E,F
在AC上,BD=DF.求证:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB.

解析:(1)根据角平分线的性质,可得点D到AB的距离等于点D到AC的距
离, 即CD=DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EDB,得CF=EB;(2)利用角平分线的性质
证明△ ADC和△ADE全等得到AC=AE,然后通过线段之间的相互转化进行证明.
证明:(1)∵AD 是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC.∵在Rt△
?
DF=BD,< br>DCF和Rt△DEB中,∵
?
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB ;
?
DC=DE,

41

(2)∵AD是∠BAC的 平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴CD=DE.在△ADC与△ADE
?
CD=DE,中,∵
?

AD=AD,
?
∴△ADC≌△ADE(HL),∴ AC=AE,∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF
+2EB.
方法总 结:角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据,在运用时一定
要注意是两条“垂线段”相等.
【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用
如图,AD是△ABC的角平分线,D E⊥AB,垂足为E,S
△ABC
=7,DE=2,
AB=4,则AC的长是( )

A.6 B.5 C.4 D.3
解析:过点D作DF⊥AC于F,∵AD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DF=
11
DE=2,∴S
△ABC
=×4×2+AC×2=7,解得AC=3.故选D.
22
方法总结:利用角平分线的性质作 辅助线构造三角形的高,再利用三角形面
积公式求出线段的长度是常用的方法.
【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合
如图所示,D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点.DE⊥A C,DF⊥CG,
垂足分别为E,F.求证:CE=CF.

解析:由角平分线的性 质可得DE=DF,再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△
CDF全等,根据全等三角形对应边相等 证明即可.
证明:∵CD是∠ACG的平分线,DE⊥AC,DF⊥CG,∴DE=DF.在Rt△C DE和
?
CD=CD,
Rt△CDF中,∵
?
∴Rt△CDE≌Rt △CDF(HL),∴CE=CF.
DE=DF,
?

42
< br>方法总结:全等三角形的判定离不开边,而角平分线的性质是判定线段相等
的主要依据,可作为判 定三角形全等的条件.
三、板书设计
角平分线的性质
1.角平分线的作法;
2.角平分线的性质;
3.角平分线性质的应用.
【教学反思】 【教学过程】
本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学
生对 角以及角平分线的性质的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因
而本节课的教学效果较好,学 生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不
足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题,需要 在今后的教学与作业中进一
步的加强巩固和训练.


第2课时 角平分线的判定
【教学目标】
1.掌握角平分线的判定定理.(重点)
2.会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题.(难点)
【教学过程】
一、情境导入

中新网和田2015年2月25日电,新疆考古团队近日在斯皮尔古 城及周边发
现迄今为止最早的园林之城.如图,某考古队为进行研究,寻找一座古城遗址.根
据 资料记载,该城在森林附近,到两条河岸的距离相等,到古塔的距离是3000m.
根据这些资料,考古 队很快找到了这座古城的遗址.你能运用学过的知识在图中
合理地标出古城遗址的位置吗?请你试一试. (比例尺为1∶100000)
二、合作探究

43

探究点一:角平分线的判定定理
【类型一】 角平分线的判定


如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,
求证:AD是∠ BAC的平分线.
解析:先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等,得出DE=DF,再由角平分线的 判
定可知AD是∠BAC的平分线.
证明:∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F ,∴∠BED=∠CFD,∴△BDE
?
BE=CF,
与△CDF是直角三角形.在R t△BDE和Rt△CDF中,∵
?

?
BD=CD,
∴Rt△BD E≌Rt△CDF,∴DE=DF,∴AD是∠BAC的平分线.
方法总结:证明一条射线是角平分线 的方法有两种:一是利用三角形全等证
明两角相等;二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.
【类型二】 角平分线性质和判定的综合


如图所示,△ABC中,AB =AC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
垂足分别是E、F,下面给出四个结论, ①AD平分∠EDF;②AE=AF;③AD上的
点到B、C两点的距离相等;④到AE、AF距离相等 的点,到DE、DF的距离也相
等.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:由AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC可得DE=DF,由此易 得△ADE≌△ADF,
故∠ADE=∠ADF,即①AD平分∠EDF正确;②AE=AF正确;角平 分线上的点到
角的两边的距离相等,故③正确;∴④到AE、AF距离相等的点,到DE、DF的距离也相等正确;①②③④都正确.故选D.

44

方法总结:运用 角平分线的性质或判定时,可以省去证明三角形全等的过程,
可以直接得到线段或角相等.
【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题
如图,已知:△ABC的∠ABC和∠ACB的 外角平分线交于点D.求证:AD
是∠BAC的平分线.

解析:分别过点D作DE 、DF、DG垂直于AB、BC、AC,垂足分别为E、F、G,
然后利用角平分线上的点到角两边的距 离相等可知DE=DG,再利用到角两边距
离相等的点在角平分线上证明.
证明:分别过D作 DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC,垂足分别为E、F、G,
∵BD平分∠CBE,DE⊥BE ,DF⊥BC,∴DE=DF.同理DG=DF,∴DE=DG,∴点D
在∠EAG的平分线上,∴AD 是∠BAC的平分线.
方法总结:在遇到角平分线的问题时,往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段,利用角平分线的判定或性质解决问题.
探究点二:三角形的内角平分线
【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数
在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O 到△ABC三边的距离相等.若
∠A=40°,则∠BOC的度数为( )

A.110°
B.120°
C.130°
D.140°
解析 :由已知,O到三角形三边的距离相等,所以O是内心,即三条角平分
1
线的交点,AO,BO ,CO都是角平分线,所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC,∠BCO=
2

45

1
∠ACO=∠ACB,∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°,∠O BC+∠OCB=70°,
2
∠BOC=180°-70°=110°,故选A.
方 法总结:由已知,O到三角形三边的距离相等,得O是内心,再利用三角
形内角和定理即可求出∠BOC 的度数.
【类型二】 三角形内角平分线的应用
已知:如图,直线l
1
, l
2
,l
3
表示三条相互交叉的公路,现要建一个塔
台,若要求它到 三条公路的距离都相等,试问:
(1)可选择的地点有几处?
(2)你能画出塔台的位置吗?

解析:(1)根据角平分线的性质得出符合条件的 点有4处.(2)作出相交组成
的角的平分线,平分线的交点就是所求的点.
解:(1)可选择的地点有4处,如图:

P
1
、P
2< br>、P
3
、P
4
,共4处.
(2)能,如图,根据角平分线的 性质的作三条直线相交的角的平分线,平分
线的交点就是所求的点.
方法总结:三角形内角平 分线的交点到三角形三边的距离相等,反过来,到
三角形三边距离相等的点,即为三角形内角平分线的交 点,这一结论在以后的学
习中经常遇到.
三、板书设计
1.角平分线的判定定理.
2.三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.
【教学反思】

46

本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证,从而引 导学生在
自主探究的基础上,通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理,
这样 有效地提高了课堂的教学效果,促进了学生对新知识的理解和掌握.不足之
处是少数学生在应用角平分线 的性质定理和逆定理解题时,容易忽视“角平分线
上的点到角两边的距离相等”这一条件,需要在今后的 教学和作业中加强巩固和
训练.


13.1 轴对称
13.1.1 轴对称
【教学目标】
1.在生活实例中认识轴对称图形.(重点)
2.分析轴对称图形,理解轴对称的概念.(重点)
3.通过丰富的生活实例认识轴对称,能够识别简单的轴对称图形及其对称
轴.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
请同学们认真观看动画片,听故事,思考最后的问题.
(配合动画讲故事)故事:在小河边的花丛中,有一只美丽的蝴蝶正在采花
蜜.忽然,来了一只 蜻蜓在它面前飞来飞去,蝴蝶生气地说:“谁在跟我捣乱?”
蜻蜓笑嘻嘻地说:“你怎么连一家人都不认 识了,我是来找你玩的.”这时蝴蝶
更生气了,说道:“你是蜻蜓,我是蝴蝶,我们怎么可能是一家呢? ”于是,蜻
蜓就落在了旁边的一片叶子上,说:“这你就不知道了吧,不仅蜻蜓、蝴蝶是一
家, 有些树叶,还有我们身边的很多物体都和我们是一家呢.”(播放动画)

思考问题:为什么蜻蜓、蝴蝶、树叶是一家?
二、合作探究
探究点一:轴对称图形

47

【类型一】 轴对称图形的识别
下列体育运动标志中,从图案看不是轴对称图形的有( )

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析:根据轴对称图形的概念可得(1)(2)(4)都不是轴对 称图形,只有(3)
是轴对称图形.故选B.
方法总结:要确定一个图形是否是轴对称图形要 根据定义进行判断,关键是
寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
【类型二】 判断对称轴的条数
下列轴对称图形中,恰好有两条对称轴的是( )
A.正方形 B.等腰三角形
C.长方形 D.圆
解析:A.正方形有四条对称轴;B.等腰三角形有 一条对称轴;C.长方形有两
条对称轴;D.圆有无数条对称轴.故选C.
方法总结:判断对 称轴的条数,仍然是根据定义进行判断,判断轴对称图形
的关键是寻找对称轴,注意不要遗漏.
探究点二:轴对称及轴对称图形的性质
【类型一】 应用轴对称的性质求角度
< br>如图,一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD,其中∠BAD=
150°,∠B=4 0°,则∠BCD的度数是( )
A.130° B.150° C.40° D.65°
解析:∵这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD,其中∠BAD=
150°,∠B =40°,∴∠D=40°,∴∠BCD=360°-150°-40°-40°=130°.
故选A.
方法总结:轴对称其实就是一种全等变换,所以轴对称往往和三角形的内角

48

和、外角的性质综合考查.
【类型二】 利用轴对称的性质求阴影部分的面积
如图,正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为( )

A.4cm
2

B.8cm
2

C.12cm
D.16cm
2

解析:根据正方形的轴对称性可得,阴影部分的面积等于正 方形ABCD面积
1
的一半,∵正方形ABCD的边长为4cm,∴S
阴影
= ×4
2
=8(cm)
2
.故选B.
2
方法总结:正方形是 轴对称图形,根据图形判断出阴影部分的面积等于正方
形面积的一半是解题的关键.
【类型三】 用轴对称的性质证明线段之间的关系
7
如图,O为△ABC内部一点, OB=,P、R为O分别以直线AB、BC为对
2
称轴的对称点.
(1)请指出当∠ ABC是什么角度时,会使得PR的长度等于7?并完整说明PR
的长度为何在此时等于7的理由. < br>(2)承(1)小题,请判断当∠ABC不是你指出的角度时,PR的长度小于7还是
大于7?并 完整说明你判断的理由.
解析:(1)连接PB、RB,根据轴对称的性质可得PB=OB,RB=O B,然后判断
出点P、B、R三点共线时PR=7,再根据平角的定义求解;(2)根据三角形的任意两边之和大于第三边解答.
2

解:(1)如图,∠ABC=90°时,PR=7.证明如下:连接PB、RB,∵P、R为

49

77
O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点,∴PB=OB=, RB=OB=.∵∠ABC=
22
90°,∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠A BC=90°,∴点P、B、R三点共线,
7
∴PR=2×=7;
2
(2) PR的长度小于7,理由如下:∠ABC≠90°,则点P、B、R三点不在同一
7
直线上,∴ PB+BR>PR,∵PB+BR=2OB=2×=7,∴PR<7.
2
方法总结:利用轴对 称的性质可以将线段进行转化,然后结合三角形的任意
两边之和大于第三边的性质予以解答,总之熟记各 性质是解题的关键.
【类型四】 轴对称在折叠问题中的应用
如图,将长方形纸片先沿虚线 AB向右对折,接着将对折后的纸片沿虚
线CD向下对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,那么 打开后的展开图
是( )

解析:∵第三个图形是三角形,∴将第三个图形展开, 可得,即可排除答
案A.∵再展开可知两个短边正对着,∴选择答案D,排除B与C.故选D.
方法总结:对于此类问题,要充分发挥空间想象能力,或亲自动手操作答案
即可呈现.
三、板书设计
轴对称图形
1.轴对称图形的定义;
2.对称轴;
3.轴对称图形的设计方法.
【教学反思】

50

这节课充分利用多媒体教学,给学生以直观指导,主动向学生质疑,促使学
生思考与发现,形成认识, 独立获取知识和技能.另外,借助多媒体教学给学生
创设宽松的学习氛围,使学生在学习中始终保持兴奋 、愉悦、渴求思索的心理状
态,有利于学生主体性的发挥和创新能力的培养.


13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
【教学目标】
1.掌握线段垂直平分线的性质.(重点)
2.探索并总结出线段垂直平分线的性质,能运用其性质解答简单的问题.(难
点)
【教学过程】
一、情境导入

如图所示,有一块三角形田地,AB=AC =10m,作AB的垂直平分线ED交AC
于D,交AB于E,量得△BDC的周长为17m,你能帮测 量人员计算BC的长吗?
二、合作探究
探究点一:线段垂直平分线的性质
【类型一】 应用线段垂直平分线的性质求线段的长
如图,在△ABC中,AB=AC=20 cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC
于D,若△DBC的周长为35cm,则BC的长为( )

A.5cm
B.10cm

51

C.15cm
D.17.5cm
解析:∵△DBC的周长=BC+BD+CD=3 5cm,又∵DE垂直平分AB,∴AD=
BD,故BC+AD+CD=35cm.∵AC=AD+DC =20cm,∴BC=35-20=15cm.故选C.
方法总结:利用线段垂直平分线的性质,可以 实现线段之间的相互转化,从
而求出未知线段的长.
【类型二】 线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合运用


如图,在四边形ABCD中,A D∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE
⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.
解析:(1)根据AD∥BC可知∠A DC=∠ECF,再根据E是CD的中点可求出
△ADE≌△FCE,根据全等三角形的性质即可解答. (2)根据线段垂直平分线的性
质判断出AB=BF即可.
证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ ADC=∠ECF.∵E是CD的中点,∴DE=EC.又∵∠AED
=∠CEF,∴△ADE≌△FC E,∴FC=AD.
(2)∵△ADE≌△FCE,∴AE=EF,AD=CF.∵BE⊥AE,∴B E是线段AF的垂直
平分线,∴AB=BF=BC+CF.∵AD=CF,∴AB=BC+AD. 方法总结:此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段垂直平
分线上的点到线段两个端 点的距离相等,利用它可以证明线段相等.
【类型三】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用
如图,在四边形ADBC中,AB与CD互相垂直平分,垂足为点O.

(1)找出图中相等的线段;
(2)OE,OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段,试说明它们的大小有什么关

52

系.
解析:(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段; (2)由条件可证明△AOC≌△AOD,可得AO平分∠DAC,根据角平分线的性质
可得OE= OF.
解:(1)∵AB、CD互相垂直平分,∴OC=OD,AO=OB,且AC=BC=AD=BD; < br>?
AC=AD,
(2)OE=OF,理由如下:在△AOC和△AOD中,∵
?
OC=OD,
∴△AOC≌△
?
AO=AO,
AOD(SSS),∴ ∠CAO=∠DAO.又∵OE⊥AC,OF⊥AD,∴OE=OF.
方法总结:本题是线段垂直平分 线的性质和角平分线的性质的综合,掌握它
们的适用条件和表示方法是解题的关键.
探究点二:线段垂直平分线的判定


如图所示,在△ABC中,AD平分 ∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
试说明AD与EF的关系.
解析:先利用 角平分线的性质得出DE=DF,再证△AED≌△AFD,易证AD垂
直平分EF.
解:A D垂直平分EF.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠EAD=∠FAD,
?
∠DAE=∠DAF,
DE=DF.在△ADE和△ADF中,∵
?
∠AED=∠AF D,
∴△ADE≌△ADF,∴AE=AF,
?
AD=AD,
∴A、D均在线 段EF的垂直平分线上,即直线AD垂直平分线段EF.
方法总结:当一条直线上有两点都在同一线段 的垂直平分线上时,这条直线
就是该线段的垂直平分线,解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化 .三、
板书设计
线段的垂直平分线
1.线段的垂直平分线的作法.

53


2.线段的垂直平分线性质定理和逆定理.
3.三角形三边的垂直平分线交于一点.
【教学反思】
本节课由于采用了直观操 作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学
生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因 此本节课的教学效果较好,
学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对线 段
垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻,还需在今后的教学和作业中进一步进
行巩固和提高 .


第2课时 线段的垂直平分线的有关作图
【教学目标】
1.作出轴对称图形的对称轴,即线段垂直平分线的尺规作图.(重点)
2.依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴.(重点)
【教学过程】
一、情境导入
有时我们感觉两个平面图形成轴对称,如何验证呢?不折叠图形,你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗?
二、合作探究
探究点一:作线段的垂直平分线
【类型一】 作某条线段的垂直平分线
如图,点A和点B关于某条直线成轴对称,你能作出这 条直线吗?(注:
作一对对应点的对称轴就是作线段AB的垂直平分线)

解析:本题其实就是作线段AB的垂直平分线,根据线段垂直平分线的作法
作出即可.
1
解:作法:(1)分别以点A、B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相
2

54

交于E、F两点;
(2)作直线EF,EF即为所求的直线.同样 ,对于轴对称图形,只要找到任意
一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称 轴.

方法总结:要熟练掌握线段垂直平分线的作法,作出的图形中的作图痕迹要
保留.
【类型二】 垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合
如图,已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P,使PA =PB.(保留作图痕迹,
不要求写出作法);
(2)在(1)中所作的图中,若AM=PN,BN=PM,求证:∠MAP=∠NPB.

解析:(1)利用线段垂直平分线的作法作出即可;(2)利用全等三角形的判定
方法以及利用 其性质得出即可.
解:(1)如图所示:

?
AM=PN,
(2 )在△AMP和△BNP中,∵
?
PM=BN,
∴△AMP≌△PNB(SSS),∴ ∠MAP=
?
AP=BP,
∠NPB.
方法总结:解决此类问题首先要正确作出图形,然后运用相关的知识解决其
他问题.
【类型三】 垂直平分线作法的应用
如图,某地由于居民增多,要在公路l边增加一个公共汽车站,A,B

55

是路边两个新建小区,这个公共汽车站C建在什么位置,能使两个小区到车站的
路程 一样长(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写画法)?

解析:作线段AB的垂直平分线, 由垂直平分线的定理可知,垂直平分线上
的点到A,B的距离相等.
解:连接AB,作AB的垂直平分线交直线l于O,交AB于E.

∵EO是线段A B的垂直平分线,∴点O到A,B的距离相等,∴这个公共汽
车站C应建在O点处,才能使到两个小区的 路程一样长.
方法总结:对于作图题首先要理解题意,弄清问题中对所作图形的要求,结
合对 应几何图形的性质和基本作图的方法作图.
【类型四】 线段垂直平分线与角平分线作法的综合运用


如图,某地有两所大学和两条交叉的公路.图中点M,N表示大学,OA,
OB表示公路,现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相同,到
两条公路的距离也相同 ,你能确定出仓库P应该建在什么位置吗?请在图中画出
你的设计.(尺规作图,不写作法,保留作图痕 迹)

解析:到两条公路的距离相等,在这两条公路的夹角的平分线上;到两所大
学 的距离相等,在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上,所画两条直线的

56

交点即为所求的位置.
解:如图,点P为所求.
方法总结:通过本题要熟练地掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作
法.
探究点二:对称轴的画法
【类型一】 画出已知图形的对称轴
画出下列轴对称图形的所有对称轴(不考虑颜色).

解析:利用轴对称图形的性质分别得出其对称轴即可.
解:如图所示:

方法总结:画轴对称图形的对称轴,先找出对称点,然后作对称点的垂直平
分线即可.
【类型二】 补全图形,并画出对称轴
如图,在4×3的正方形网格中,阴影部分是由4个正 方形组成的一个
图形,请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形,使这6个小正方形
组成的图形是轴对称图形,并画出其对称轴.

解析:根据轴对称的性质画出图形即可.
解:如图所示:

方法总结:解答此类问题,一般要先设计出轴对称图形,然后根据图形的特

57

点,画出对称轴.
三、板书设计
线段的垂直平分线的有关作图
1.线段垂直平分线的作法.
2.作轴对称图形的对称轴的方法.
【教学过程】
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学
生的感性认识,提高 了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,
学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学 的目的.不足之处是少数学生对线段
垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻,还需在今后的教学和作业 中进一步进
行巩固和提高.


13.2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
【教学目标】
1.理解图形轴对称变换的性质.(难点)
2.能按要求画出一个图形关于某直线对称的另一个图形.(重点)
【教学过程】
一、情境导入
观察下面的图形:

(1)这些图案有什么共同特点?
(2)能否根据其中一部分画出整个图案?
二、合作探究
探究点一:轴对称变换
【类型一】 剪纸问题
将一张正方形纸片按如图①,图②所示的方向对折,然后沿图③中的虚
线剪裁得到图④,将图④的纸片展开铺平,再得到的图案是( )

58


解析:严格按照图中的顺序先向右上翻折,再向左上翻折,剪去左上角,展
开得到图形B.故选B.
方法总结:此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力,对于此类问
题,学生只要亲自动手操作,答案就会很直观地呈现.
【类型二】 折叠问题
如图 ,将矩形ABCD沿DE折叠,使A点落在BC上的F处,若∠EFB=60°,
则∠CFD=( )

A.20° B.30° C.40° D.50°
解析:根据图形翻折变 换后全等可得△ADE≌△FDE,∴∠EAD=∠EFD=90°.
∵∠EFB=60°,∴∠CFD =30°,故选B.
方法总结:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大
小不变,对应边和对应角相等.
探究点二:作轴对称图形
【类型一】 画一个图形关于已知直线对称的另一个图形
画出△ABC关于直线l的对称图形.

解析:分别作出点A、B、C关于直线l的对称点,然后连接各点即可.
解:如图所示:

59


方法总结:我们在画一个图形关于某条直线对称的图形 时,先确定一些特殊
的点,然后作这些特殊点的对称点,顺次连接即可得到.
【类型二】 在方格中设计轴对称图形
在3×3的正方形格点图中,有格点△ABC和△DEF,且△ABC和△D EF
关于某直线成轴对称,请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.


解析:对称轴可以随意确定,根据你确定的对称轴去画另一半对称图形即可.
解:如图所示:

方法总结:作一个图形关于一条已知直线的对称图形,关键是作出图形上一
些点关于 这条直线的对称点,然后再根据已知图形将这些点连接起来.
【类型三】 利用轴对称设计图案 某居民小区搞绿化,要在一块矩形空地(如下图)上建花坛,现征集设计
方案,要求设计的图案由圆 和正方形组成(圆与正方形的个数不限),并且使整个
矩形场地成轴对称图形.请在下边矩形中画出你的设计方案.

60

解析:矩形是轴对称图形,而正方形和圆
也是轴对称图形,设计出的图案只要折叠重合即可.
解:如图所示:

方法总结:利用轴对称可以设计出精美的图案,一个图形经过不同 位置的几
次变换,若再结合平移、旋转等,便可以得到非常美丽的图案.
三、板书设计
作轴对称图形
1.如何由一个平面图形得到它的轴对称图形.
2.利用轴对称设计图案.
【教学反思】
本节课尽量创设与学生生活环境、知识背 景相关的教学情境,以生动活泼的
形式呈现有关内容.重视动手操作,实践探究,但如果只有操作,而没 有数学体
验,数学课很容易上成劳技课,所以,本节课的设计在重视活动的同时,又重视
知识的 获取,因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识.练习的设计
具有一定的层次性,使不同的学 生在学习数学的过程中得到不同的发展.


第2课时 用坐标表示轴对称
【教学目标】
1.直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征.(重点)
2.直角坐标系中关于某条直线对称的点的特征.(难点)
【教学过程】
一、情境导入

61

十一黄金周,北京吸引了许多游客.一天 ,小红在天安门广场玩,一位外国
友人向小红问西直门的位置,可小红只知道东直门的位置,不过,小红 想了想,
就准确的告诉了他.你知道为什么吗?
结合老北京的地图向学生介绍:老北京城关于 中轴线成轴对称设计,东直门、
西直门就关于中轴线对称.如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线 为x
轴和y轴,就可以在这个平面图上建立直角坐标系,各个景点的地理位置就可以
用坐标表示 出来.

提问:这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗?这些对称点的坐标与
已知点的坐标有什么关系呢?
二、合作探究
探究点一:用坐标表示轴对称
【类型一】 求一个点关于坐标轴的对称点的坐标
在平面直角坐标系中,与点P(2,3)关于x轴或y轴成轴对称的点是
( )
A.(-3,2) B.(-2,-3)
C.(-3,-2) D.(-2,3) 解析:点P(2,3)关于x轴对称的点的坐标为(2,-3),关于y轴对称的点
的坐标为(-2 ,3),故选D.
方法总结:关于x轴对称的点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反
数 .关于y轴对称的点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变.
【类型二】 关于坐标轴对称的点与方程的综合
已知点A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b).
(1)若点A、B关于x轴对称,求a、b的值;

62

(2)若A、B关于y轴对称,求(4a+b)
2016
的值.
解析:(1 )根据关于x轴对称的点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相
反数可得2a-b=2b-1,5+a -a+b=0,解方程(组)即可;(2)根据关于y轴
对称的点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐 标不变可得2a-b+2b-1=0,
5+a=-a+b,解方程(组)即可.
解:(1)∵ 点A、B关于x轴对称,∴2a-b=2b-1,5+a-a+b=0,解得
a=-8,b=-5; < br>(2)∵A、B关于y轴对称,∴2a-b+2b-1=0,5+a=-a+b,解得a=-
1, b=3,∴(4a+b)
2016
=1.
方法总结:根据关于x轴、y轴对称的点的特征列方程(组)求解.
【类型三】 关于坐标轴对称的点与不等式(组)的综合
已知点P(a+1,2a-1)关于x轴的对称点在第一象限,求a的取值范
围.
解 析:点P(a+1,2a-1)关于x轴的对称点在第一象限,则点P(a+1,2a
-1)在第四象限 .
?
a+1>0,
1
解:依题意得P点在第四象限,∴
?
解得-1<a<,即a的取值
2
?
2a-1<0,
1
范围是-1<a <.
2
方法总结:根据点的坐标关于坐标轴对称,判断出对称点所在的象限,由各
象 限内坐标的符号,列不等式(组)求解.
探究点二:作关于坐标轴对称的图形
【类型一】 作关于x轴或y轴对称的图形
在平面直角坐标系中,已知点A(-3,1),B(-1,0),C(- 2,-1),
请在图中画出△ABC,并画出与△ABC关于y轴对称的图形.

解析:作出A,B,C三点关于y轴的对称点,顺次连接各点即可.
解:如图所示,△DEF是△ABC关于y轴对称的图形.

63


方法总结:在坐标系中作出关于坐标轴的对称点,然后顺次连接,此类问题
一般比较简单.
【类型二】 与对称点有关的综合题
如图,在10×10的正方形网格中,每个小方格的边长 都是1,四边形
ABCD的四个顶点在格点上.
(1)若以点B为原点,线段BC所在直线为 x轴建立平面直角坐标系,画出四
边形ABCD关于y轴对称的四边形A
1
B
1
C
1
D
1

(2)点D
1
的坐标是________;
(3)求四边形ABCD的面积.

解析:(1)以点B为原点,线段BC所在直线 为x轴建立平面直角坐标系,然
后作出各点关于y轴对称的点,顺次连接即可;(2)根据直角坐标系的 特点,写
出点D
1
的坐标;(3)把四边形ABCD分解为两个直角三角形,求出面积 .
解:(1)如图所示;
(2)点D
1
的坐标为(-1,1);
115
(3)四边形ABCD的面积为×1×3+×1×2=.
222
方法 总结:轴对称变换作图,基本作法是:(1)先确定图形的关键点;(2)
利用轴对称性质作出关键点的 对称点;(3)按原图形中的方式顺次连接对称点.求
多边形的面积可将多边形转化为规则图形的面积的 和或差求解.
三、板书设计
用坐标表示轴对称
1.直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征.

64

2.直角坐标系中关于某条直线对称的点的特征.
【教学反思】
从本节课的授课过 程来看,灵活运用了多种教学方法,既有教师的讲解,又
有讨论,在教师指导下的自学,组织学生活动等 .调动了学生学习的积极性,充
分发挥了学生的主体作用.课堂拓展了学生的学习空间,给学生充分发表 意见的
自由度.


13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
【教学目标】
1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)
2.经历等腰三角形的探究过程,能初步运用等腰三角形的性质解决有关问
题.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
探究:如图所示,把一张长方形的纸按照图中虚线对折 并减去阴影部分,再
把它展开得到的△ABC有什么特点?

二、合作探究
探究点一:等腰三角形的概念
【类型一】 利用等腰三角形的概念求边长或周长
如果等腰三角形两边长是6cm和3cm,那么它的周长是( )
A.9cm B.12cm
C.15cm或12cm D.15cm
解析:当腰为3cm时,3+3=6,不能构成三角形,因此这种情况不成立.当

65

腰为6cm时,6-3<6<6+3,能构成三角形;此时等腰三角形的周长 为6+6+
3=15(cm).故选D.
方法总结:在解决等腰三角形边长的问题时,如果不 明确底和腰时,要进行
分类讨论,同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍< br>去.
探究点二:等腰三角形的性质
【类型一】 利用“等边对等角”求角度
等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的大小是( )
A.65°或50° B.80°或40°
C.65°或80° D.50°或80°
解析:当50°的角是底 角时,三角形的底角就是50°;当50°的角是顶角
时,两底角相等,根据三角形的内角和定理易得底 角是65°.故选A.
方法总结:等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情况讨论.
【类型二】 利用方程思想求等腰三角形角的度数
如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC
各角的度数.
解析:设∠A=x,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角
的度数.

解:设∠A=x.∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x.∵BD=BC,∴∠BCD=∠B DC=
∠ABD+∠A=2x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠BCD=2x.在△ABC中,∠A+∠ ABC+
∠ACB=180°,∴x+2x+2x=180°,∴x=36°,∴∠A=36°,∠AB C=∠ACB
=72°.
方法总结:利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与 角之间
的关系,当这种等量关系或和差关系较多时,可考虑列方程解答,设未知数时,
一般设较 小的角的度数为x.

66

【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明
如图,已知△ABC为等腰三角形,BD、CE为底角的平分线, 且∠DBC=
∠F,求证:EC∥DF.

解析:先由等腰三角形的性质得出∠AB C=∠ACB,根据角平分线定义得到
11
∠DBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,那么∠ DBC=∠ECB,再由∠DBC=∠F,等量代
22
换得到∠ECB=∠F,于是根据平行线 的判定得出EC∥DF.
证明:∵△ABC为等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵ BD、CE为底
11
角的平分线,∴∠DBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,∴∠DBC= ∠ECB.∵∠DBC=∠F,
22
∴∠ECB=∠F,∴EC∥DF.
方法总结:证明线段的平行关系,主要是通过证明角相等或互补.
【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明
如图,点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC.
(1)若AD=AE,求证:BD=CE;
(2)若BD=CE,F为DE的中点,如图②,求证:AF⊥BC.

解析:(1 )过A作AG⊥BC于G,根据等腰三角形的性质得出BG=CG,DG=EG
即可证明;(2)先证B F=CF,再根据等腰三角形的性质证明.
证明:(1)如图①,过A作AG⊥BC于G.∵AB=A C,AD=AE,∴BG=CG,DG
=EG,∴BG-DG=CG-EG,∴BD=CE;
(2)∵BD=CE,F为DE的中点,∴BD+DF=CE+EF,∴BF=CF.∵AB=AC,
∴ AF⊥BC.
方法总结:在等腰三角形有关计算或证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,

67

其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.
【类型五】 与等腰三角形的性质有关的探究性问题
如图,已知△ABC是等腰直角三角形, ∠BAC=90°,BE是∠ABC的平
分线,DE⊥BC,垂足为D.

(1)请你写出图中所有的等腰三角形;
(2)请你判断AD与BE垂直吗?并说明理由.
(3)如果BC=10,求AB+AE的长.
解析:(1)由△ABC是等腰直角三角形,B E为角平分线,可证得△ABE≌△DBE,
即AB=BD,AE=DE,所以△ABD和△ADE均为 等腰三角形;由∠C=45°,ED⊥
DC,可知△EDC也符合题意;(2)BE是∠ABC的平分线 ,DE⊥BC,根据角平分线
定理可知△ABE关于BE与△DBE对称,可得出BE⊥AD;(3)根 据(2),可知△ABE
关于BE与△DBE对称,且△DEC为等腰直角三角形,可推出AB+AE= BD+DC=
BC=10.
解:(1)△ABC,△ABD,△ADE,△EDC.
(2)AD与BE垂直.证明:由BE为∠ABC的平分线,知∠ABE=∠DBE,∠BAE
=∠B DE=90°,BE=BE,∴△ABE≌△DBE,∴△ABE沿BE折叠,一定与△DBE
重合,∴ A、D是对称点,∴AD⊥BE.
(3)∵BE是∠ABC的平分线,DE⊥BC,EA⊥AB,∴A E=DE.在Rt△ABE和Rt
?
AE=DE,
△DBE中,∵
?
∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),∴AB=BD.又∵△ABC是等腰
?
BE=BE,
直角三角形,∠BAC=90°,∴∠C=45°.又∵ED⊥BC,∴△DCE为等腰直角三
角形,∴DE=DC,∴AB+AE=BD+DC=BC=10.
三、板书设计
1.等腰三角形的性质.
2.解题方法:设辅助未知数法与拼凑法.
3.重要的数学思想方法:方程思想、整体思想和转化思想.


68

【教学反思】
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增 强了学
生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,
学生对 所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对等腰
三角形的“三线合一”性质理解 不透彻,还需要在今后的教学和作业中进一步巩
固和提高.


第2课时 等腰三角形的判定
【教学目标】
1.掌握等腰三角形的判定定理及其推论.(重点)
2.掌握等腰三角形判定定理的运用.(难点)
【教学过程】
一、情境导入 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(A点)
为目标,然后在这棵树 的正南方南岸B点插一小旗作标志,沿南偏东60度方向
走一段距离到C处时,测得∠ACB为30度, 这时,地质专家测得BC的长度是50
米,就可知河流宽度是50米.

同学们,你 们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗?他是怎么知道BC
的长度是等于河流宽度的呢?今天我们就 要学习等腰三角形的判定.
二、合作探究
探究点一:等腰三角形的判定
【类型一】 确定等腰三角形的个数



69
如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD
的角平分 线,则图中的等腰三角形有( )
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
解析:共有5个.(1)∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;(2)∵BD、CE分别
11是∠ABC、∠BCD的角平分线,∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD.∵△ABC是等
22
腰三角形,∴∠EBC=∠ECB,∴△BCE是等腰三角形;(3)∵∠A=36°,AB=AC ,
1
∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°.又∵BD是∠ABC的角平分线 ,∴∠ABD
2
1
=∠ABC=36°=∠A,∴△ABD是等腰三角形;同理可证△ CDE和△BCD也是等
2
腰三角形.故选A.
方法总结:确定等腰三角形的个数要 先找出相等的边和相等的角,然后确定
等腰三角形,再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数.
【类型二】 在坐标系中确定三角形的个数
已知平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,3 ),在y轴上确定点P,
使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P共有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6
解析:因为△AOP为等腰三角形,所以可分三类讨论:(1)AO =AP(有一个).此
时只要以A为圆心AO长为半径画圆,可知圆与y轴交于O点和另一个点,另一< br>个点就是点P;(2)AO=OP(有两个).此时只要以O为圆心AO长为半径画圆,可
知圆与 y轴交于两个点,这两个点就是P的两种选择;(3)AP=OP(一个).作AO
的中垂线与y轴有一 个交点,该交点就是点P的最后一种选择.综上所述,共有
4个.故选B.

70


方法总结:解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用
以及分类讨论时做到不重不漏.
【类型三】 判定一个三角形是等腰三角形

如 图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AE是∠BAC的角
平分线,AE与CD 交于点F,求证:△CEF是等腰三角形.
解析:根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE=∠ACD ,然后根据三角形外角
的性质求得∠CEF=∠CFE,根据等角对等边求得CE=CF,从而求得△C EF是等腰
三角形.
证明:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90° .∵CD是AB边上
的高,∴∠ACD+∠BAC=90°,∴∠B=∠ACD.∵AE是∠BAC的角 平分线,∴∠
BAE=∠EAC,∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC,即∠CEF=∠CFE,∴ CE=CF,∴△
CEF是等腰三角形.
方法总结:“等角对等边”是判定等腰三角形的重要 依据,是先有角相等再
有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定< br>成立.
【类型四】 等腰三角形性质和判定的综合运用
如图,在△ABC中,AB= AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且
BE=CF,BD=CE.

71


(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=50°时,求∠DEF的度数.
解析:(1)根据等边对等角可得∠B=∠C ,利用“边角边”证明△BDE和
△CEF全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=EF,再根据等 腰三角形的定义
证明即可;(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE=∠CEF,然后求出∠BE D
+∠CEF=∠BED+∠BDE,再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B=
∠D EF.
?
BD=CE,
(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△BDE和△ CEF中,∵
?
∠B=∠C,

?
BE=CF,
△BDE≌ △CEF(SAS),∴DE=EF,∴△DEF是等腰三角形;
(2)解:∵△BDE≌△CEF, ∴∠BDE=∠CEF,∴∠BED+∠CEF=∠BED+
∠BDE.∵∠B+∠BDE=∠DEF+ ∠CEF,∴∠B=∠DEF.∵∠A=50°,AB=AC,∴
1
∠B=×(180°-50 °)=65°,∴∠DEF=65°.
2
方法总结:等腰三角形提供了好多相等的线段和相等 的角,判定三角形是等
腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.
三、板书设计
等腰三角形的判定方法:
(1)根据定义判定;
(2)两个角相等的三角形是等腰三角形.
【教学反思】
学生通过回顾总结等腰三 角形的性质为学习等腰三角形的判定做了知识铺
垫.之后将本节课的教学目标展示给学生,让学生做到心 中有数,让学生带着问
题看书,加强自主探索的能力.通过学生观察、思考例题,自然地渗透分类讨论< br>的数学解题思想.通过课堂小结,让学生归纳比较等腰三角形的性质和判定的区

72

别,同时将等腰三角形的性质定理与判定定理有机的结合起来,重在培养学生对
两个 知识点的综合运用,鼓励学生积极思考.整节课的目标基本实现,重点难点
落实得比较到位,唯一欠缺的 是时间有点紧,课堂小结比较仓促.


13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
【教学目标】
1.掌握等边三角形的定义、性质和判定,明确其与等腰三角形的区别和联
系.(重点)
2.能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
观察下面图形:

师:等腰三角形中有一种特殊的三角形,你知道是什么三角形吗?
生:等边三角形.
师:对,等边三角形具有和谐的对称美.今天我们来学习等边三角形,引出
课题.
二、合作探究
探究点一:等边三角形的性质
【类型一】 利用等边三角形的性质求角度


如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点, D是BC延长线上一点,
连接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数.

73

解析:因为△ABC三个内角为60°,∠ABE=40°,求出 ∠EBC的度数,因
为BE=DE,所以得到∠EBC=∠D,求出∠D的度数,利用外角性质即可求出 ∠CED
的度数.
解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵∠AB E=40°,∴∠
EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°.∵BE=DE,∴∠D=∠ EBC=20°,∴∠
CED=∠ACB-∠D=40°.
方法总结:等边三角形是特殊的三 角形,它的三个内角都是60°,这个性
质常常应用在求三角形角度的问题上,所以必须熟练掌握.
【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等


如图:已知等边△A BC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,
且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M,求证:B M=EM.
解析:要证BM=EM,根据等腰三角形的性质可知,证明△BDE为等腰三角形
即可. 11
证明:连接BD,∵在等边△ABC中,D是AC的中点,∴∠DBC=∠ABC=×
22
60°=30°,∠ACB=60°.∵CE=CD,∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+ ∠E,∴
∠E=30°,∴∠DBC=∠E=30°,∴BD=ED,△BDE为等腰三角形.又∵DM ⊥BC,
∴BM=EM.
方法总结:本题综合考查了等腰和等边三角形的性质,其中“三线合 一”的
性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法.
【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用


△ABC为正三角形,点M是BC边上任意一点,点N是CA边上任意一点,

74

且BM=CN,BN与AM相交于Q点,∠BQM等于多少度?
解析:先根据已知 条件利用SAS判定△ABM≌△BCN,再根据全等三角形的性
质求得∠BQM=∠ABC=60°.
解:∵△ABC为正三角形,∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC.在△AMB
?
AB=BC,
和△BNC中,∵
?
∠ABC=∠C,
∴△AMB≌ △BNC(SAS),∴∠BAM=∠CBN,∴∠BQM
?
BM=CN,
=∠ABQ +∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°.
方法总结:等边三角形与全等三角形的综合运 用,一般是利用等边三角形的
性质探究三角形全等.
探究点二:等边三角形的判定
【类型一】 等边三角形的判定
等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且 ∠ABP=∠ACQ,
BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.
< br>解析:先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ,再证∠PAQ=60°,从而得出△APQ是
等边 三角形.
解:△APQ为等边三角形.证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC.在△ABP< br>?
AB=AC,
与△ACQ中,∵
?
∠ABP=∠ACQ,
∴ △ABP≌△ACQ(SAS),∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
?
BP=CQ,
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,∴△APQ是等边三角形.
方法总结:判定一个三角形是等边三角形有两种方法:一是证明三角形三个
内 角相等;二是先证明三角形是等腰三角形,再证明有一个内角等于60°.
【类型二】 等边三角形的性质和判定的综合运用
图①、图②中,点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形.
(1)如图①,线段AN与线段BM是否相等?请说明理由;

75
< br>(2)如图②,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,探究△CEF的形状,并
证明你的结 论.

解析:(1)由等边三角形的性质可以得出△ACN,△MCB两边及其夹角分别对< br>应相等,两个三角形全等,得出线段AN与线段BM相等.(2)先求∠MCN=60°,
通过证 明△ACE≌△MCF得出CE=CF,根据等边三角形的判定得出△CEF的形状.
解:(1)AN =BM.理由:∵△ACM与△CBN都是等边三角形,∴AC=MC,CN=
CB,∠ACM=∠BC N=60°.∴∠MCN=60°,∠ACN=∠MCB.在△ACN和△MCB中,
?
AC= MC,

?
∠ACN=∠MCB,
∴△ACN≌△MCB(SAS).∴AN =BM.
?
NC=BC,
(2)△CEF是等边三角形.证明:∵△ACN≌△MC B,∴∠CAE=∠CMB.在△ACE
?
∠CAE=∠CMF,
和△MCF中,∵< br>?
AC=MC,
∴△ACE≌△MCF(ASA),∴CE=CF.∴△CEF是
?
∠ACE=∠FCM,
等边三角形.
方法总结:等边三角形是一个非常特殊的几 何图形,它的角的特殊性给有关
角的计算奠定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件 .同是
等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线合一的性质,解题时要善于挖
掘图形中 的隐含条件.
三、板书设计
等边三角形的性质和判定
1.等边三角形的定义;
2.等边三角形的性质;
3.等边三角形的判定方法.
【教学反思】
本 节课让学生在认识等腰三角形的基础上,进一步认识等边三角形.学习等
边三角形的定义、性质和判定. 让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中,

76

进一步发展空间观 念,锻炼思维能力.让学生在学习活动中,进一步产生对数学
的好奇心,增强动手能力和创新意识.在这 节课中,要学生充分的自主探究,尝
试提出问题和解决问题,发展学生的自主探究能力.


第2课时 含30°角的直角三角形的性质
【教学目标】
1.理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理.(重点)
2.能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
问题:
1.我们学习过直角三角形,直角三角形的角之间都有什么数量关系?
2.用你的30°角的直角三角尺,把斜边和30°角所对的直角边量一量,你
有什么发现?
今天,我们先来看一个特殊的直角三角形,看它的边角具有什么性质.
二、合作探究
探究点:含30°角的直角三角形的性质
【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长


如图,在Rt△ABC中,∠AC B=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,
AD=3cm,则AB的长度是( )
A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm
解析:在Rt△ABC中,∵C D是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=
∠B=30°.在Rt△ACD中,AC=2 AD=6cm,在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm.∴AB
的长度是12cm.故选D.
方法总结:运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所

77

在的直角三角形.
【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用

如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=< br>3,则PD等于( )
A.3 B.2 C.1.5 D.1
解析:如图, 过点P作PE⊥OB于E,∵PC∥OA,∴∠AOP=∠CPO,∴∠PCE
11
=∠BOP +∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°.又∵PC=3,∴PE=PC=×3
22
=1.5.∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,∴PD=PE=1.5.故选C.
方法总结:含3 0°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,
关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直 角三角形.
【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系

如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥
恰好是∠AD B的平分线.CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由.
解析:由条件先证△AED≌△BED,得 出∠BAD=∠CAD=∠B,求得∠B=30°,
1
即可得到CD=DB.
21
解:CD=DB.理由如下:∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°.∵DE是∠ADB
2
的平分线,∴∠ADE=∠BDE.又∵DE=DE,∴△AED≌△BED(ASA),∴ AD=BD,∠
1
DAE=∠B.∵∠BAD=∠CAD=∠BAC,∴∠BAD=∠CAD= ∠B.∵∠BAD+∠CAD+
2
∠B=90°,∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°.在R t△ACD中,∵∠CAD=30°,∴CD

78

111
=AD=BD,即CD=DB.
222
方法总结:含30°角的直角 三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要
的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联 想此性质.
【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题
某市在“旧城改造”中 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植
某种草皮以美化环境,已知AC=50m,AB=40m, ∠BAC=150°,这种草皮每平
方米的售价是a元,求购买这种草皮至少需要多少元?

解析:作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中,利用30°角所对的
直角边是 斜边的一半求BD,即△ABC的高.运用三角形面积公式计算面积求解.
解:如图所示,作BD⊥C A于D点.∵∠BAC=150°,∴∠DAB=30°.∵AB
11
=40m,∴BD=AB =20m,∴S
△ABC
=×50×20=500(m
2
).已知这种草皮每 平方米
22
a元,所以一共需要500a元.
方法总结:解此题的关键在于作出CA 边上的高,根据相关的性质推出高BD
的长度,正确的计算出△ABC的面积.
三、板书设计
含30°角的直角三角形的性质
性质:在直角三角形中,如果一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于
斜边的一半.
【教学反思】
本节课借助于教学活动的开展,有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣,从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新
知识,促进了学生思维 能力的提高.不足之处是部分学生的综合运用知识解决问
题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进 一步的训练和提高.



79

13.4 课题学习 最短路径问题
【教学目标】
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在 解决最值问
题中的作用,感悟转化思想.(重点)
2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
相传,古希腊有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:从图中的A地出发,到一条笔直的河边
l饮马,然后到B地 .到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?

二、合作探究
探究点:最短路径问题
【类型一】 两点的所有连线中,线段最短
如图所示,在河 a两岸有A、B两个村庄,现在要在河上修建一座大桥,
为方便交通,要使桥到这两村庄的距离之和最短 ,应在河上哪一点修建才能满足
要求?(画出图形,做出说明)

解析:利用两点之间线段最短得出答案.
解:如图所示,连接AB交直线a于点P,此时桥到 这两村庄的距离之和最
短.理由:两点之间线段最短.

方法总结:求直线异侧的两 点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要
连接这两点,与直线的交点即为所求.

80

【类型二】 运用轴对称解决距离最短问题
在图中直线l上找到一点M,使它到A,B两点的距离和最小.

解析:先确定其中 一个点关于直线l的对称点,然后连接对称点和另一个点,
与直线l的交点M即为所求的点.
解:如图所示:(1)作点B关于直线l的对称点B′;(2)连接AB′交直线l
于点M;(3)点M 即为所求的点.
方法总结:利用轴对称解决最值问题应注意题目要求,根据轴对称的性质、
利 用三角形的三边关系求解.
【类型三】 最短路径选址问题
如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村
供水.
(1) 若要使厂址到A,B两村的距离相等,则应选择在哪建厂(要求:保留作
图痕迹,写出必要的文字说明) ?
(2)若要使厂址到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?

解析:(1) 欲求到A、B两村的距离相等,即作出AB的垂直平分线与EF的交
点即可,交点即为厂址所在位置;( 2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点
关于直线EF的对称点A′,再连接A′B交EF于点N, 即可得出答案.
解:(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M,交点M即为厂址所在位置;

(2)如图所示:作A点关于直线EF的对称点A′,再连接A′B交EF于点N,
点N即为所求.
【类型四】 运用轴对称解决距离之差最大问题

81

如图所示,A,B两点在直线l的两侧,在l上找一点C,使点C到点A、
B的距离之差最大.

解析:此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′),作直
线 A′B(AB′)与直线l交于点C,把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边
来解决.
解:如图所示,以直线l为对称轴,作点A关于直线l的对称点A′,A′B
的连线交l于点C,则点C 即为所求.理由:在直线l上任找一点C′(异于点
C),连接CA,C′A,C′A′,C′B.因为 点A,A′关于直线l对称,所以l为线
段AA′的垂直平分线,则有CA=CA′,所以CA-CB= CA′-CB=A′B.又因为
点C′在l上,所以C′A=C′A′.在△A′BC′中,C′A-C ′B=C′A′-C′B
<A′B,所以C′A′-C′B<CA-CB.

方法总 结:如果两点在一条直线的同侧,过两点的直线与原直线的交点处构
成线段的差最大,如果两点在一条直 线的异侧,过两点的直线与原直线的交点处
构成的线段的和最小,都可以用三角形三边关系来推理说明, 通常根据最大值或
最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.
三、板书设计
课题学习 最短路径问题
1.求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要 连接这
两点,与直线的交点即为所求.
2.求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小 的问题,只要找到其
中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.
【教学反思】

82

通过本节课进一步体会数 学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价
值.在互动交流活动中,学习从不同角度理解问题,寻求 解决问题的方法,并有
效地解决问题.体会在解决问题中与他人合作的重要性.体会运用数学的思维方< br>式观察、分析现实社会,解决日常生活中和其他学科中的问题,增强应用数学的
意识.


14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
【教学目标】
1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.(重点)
2.运用同底数幂的乘法法则进行相关运算.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
问题:2014年9月,一个国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第100
颗行星,距离地 球约100光年.1光年是光经过一年所行的距离,光的速度大约
是3×10
5
kms .问:这颗行星距离地球多远?(1年=3.1536×10
7
s)
3×10
5
×3.1536×10
7
×100=3×3.1536×10
7
×10
5
×10
2
=9.4608×10
5
×10
7
×10
2
.
问题:“10
7
×10
5
×10
2
”等于多少呢?
二、合作探究
探究点一:同底数幂的乘法的计算
【类型一】 底数为单项式的同底数幂的乘法
计算:(1)2×2×2;
(2)-a
3
·(-a)
2
·(-a)
3

(3)m
n+1
·m
n
·m
2
·m.
解 析:(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可;(2)先算乘方,再根据同
底数幂的乘法法则进行计 算即可;(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可.
解:(1)原式=2
3+4+1
=2
8

34

83

(2)原式=-a
3
·a
2
·(-a3
)=a
3
·a
2
·a
3
=a
8
(3)原式=m
n+1+n+2+1
=m
2n+4
. 方法总结:同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用;单个字母或数
可以看成指数为1的幂, 进行运算时,不能忽略了幂指数1.
【类型二】 底数为多项式的同底数幂的乘法
计算:
(1)(2a+b)
2n+1
·(2a+b)
3
·(2a+b)n-4

(2)(x-y)
2
·(y-x)
5
.
解析:将底数看成一个整体进行计算.
解:(1)原式=(2a+b)
(2n+1) +3+(n-4)
=(2a+b)
3n

(2)原式=-(x-y)
2
·(x-y)
5
=-(x-y)
7
.
方法总结:底数 互为相反数的幂相乘时,先把底数统一,再进行计算.(a
n
(b-a)(n为偶数),
?
n
?
-b)=
n
?
-(b-a)(n为奇数).
探究点二:同底数幂的乘法法则的运用
【类型一】 运用同底数幂的乘法,求代数式的值
若8
2a+3
·8
b-2
=8
10
,求2a+b的值.
解析:根据同底数幂的乘法,底数不变指数相加,可得a、b的关系,根据
a、b的关系求解.
解:∵8
2a+3
·8
b-2
=8
2a+3+b-2
=8
10
,∴2a+3+b-2=10,解得2a+b=9.
方法总结:将等式两边化为同底数幂的形式,底数相同,那么指数也相同.
【类型二】 同底数幂的乘法的实际应用
经济发展和消费需求的增长促进了房地产的发展,使得房价持续上涨,2015年前5个月,某市共销售商品房8.31×10平方米.据监测,商品房平均售
价为每平方 米4.7×10
3
元,2015年前5个月该市的商品房销售总额是多少元?
解析:先根据题意列出算式计算即可.
解:8.31×10
4
×4.7×1 0
3
=(8.31×4.7)×(10
4
×10
3
)=3. 9057×10
8
(元).
答:2015年前5个月该市的商品房销售总额是3.9057×10
8
(元).
方法总结:本题考查了同底数幂的乘法的应用,关键是根据题意得出算式,
4

84

注意结果要用科学记数法表示.
【类型三】 利用同底数幂的乘法探究指数的关系
已知2
a
=3,2
b
=6,2
c
=18,试问a、b、c之间有怎样的关系?请说明
理由.
解析:观察题目的已知可以发现3×6=18,利用同底数幂相乘,底数不变
指数相加解答.
解:∵3×6=18,∴2
a
·2
b
=2
a+b
= 2
c
,∴a+b=c.
方法总结:解答此类问题就是利用同底数幂的乘法,将等式两 边转化为底数
相同的形式,然后让指数相等解答.
探究点三:同底数幂的乘法法则的逆用
已知a
m
=3,a
n
=21,求a
m+n
的值.
解析:把a
m+n
变成a
m
×a
n
,代入求值即可 .
解:∵a
m
=3,a
n
=21,∴a
m+n
= a
m
×a
n
=3×21=63.
方法总结:逆用同底数幂的乘法法 则把a
m+n
变成a
m
×a
n
.
三、板书设计
同底数幂的乘法
同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即a
m
·a
n
=a
m+n
(m、n都是正整数).
条件:(1)同底数幂;(2)乘法.
结果:(1)底数不变;(2)指数相加.
【教学反思】
在同底数幂乘法公式的探究过程中,学生表现出观察角度的差异:有的学生只是侧重观察某个单独的式子,把它孤立地看,而不知道将几个式子联系起来;
有些学生则既观察入 微,又统揽全局,表现出了较强的观察力.教师要善于抓住
这个契机,适当对学生进行指导,培养他们“ 既见树木,又见森林”的优良观察
品质.对于公式使用的条件既要把握好“度”,又要把握好“方向”.


14.1.2 幂的乘方
【教学目标】

85

1.理解幂的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义;通过推理得出
幂的乘方 的运算性质,并且掌握这个性质.(重点)
2.掌握幂的乘方法则的推导过程并灵活应用.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
1.填空:
(1)同底数幂相乘________不变,指数________;
(2)a
2< br>×a
3
=________;10
m
×10
n
=__ ______;
(3)(-3)
7
×(-3)
6
=________;
(4)a·a
2
·a
3
=________;
(5)(2
3
)
2
=2
( )
;(x
4
)
5
=x
( )
;(2
100
)
3
=2
( ).

2 .计算(2
2
)
3
;(2
4
)
3
;(10
2
)
3
.
问题:(1)上述几道题目有什么共同特点?
(2)观察计算结果,你能发现什么规律?
(3)你能推导一下(a
m
)
n
的结果吗?请试一试.
二、合作探究
探究点一:幂的乘方
【类型一】 直接应用幂的乘方法则进行计算
计算:
(1)(a
3
)
4;
(2)(x
m-1
)
2

(3)[(2
4
)
3
]
3;
(4)[(m-n)
3
]
4
.
解析:直接运用(a
m
)
n
=a
mn
计算即可.
解:(1)(a
3
)
4
=a
3×4
=a
1 2

(2)(x
m-1
)=x
22(m-1)
=x
2m-2

(3)[(2
4
)
3
]
3
=2
4×3×3
=2
36

(4)[(m-n)
3
]
4
=(m-n)
12
.
方法总结:运用幂的乘方法则进行计算时,一定不要将幂的乘方与同底数幂
的乘法混淆,在幂的 乘方中,底数可以是单项式,也可以是多项式.
【类型二】 含幂的乘方的混合运算

86

计算:a
2
(-a)
2
(-a
2
)
3
+a
10
.
解析:根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则运算求解.
解:a
2
(-a)< br>2
(-a
2
)
3
+a
10
=-a
2
·a
2
·a
6
+a
10
=-a
10
+a
10
=0.
方法总结:先算幂的乘方,再算同底数幂的乘法,最后算加减,然后合并同
类项.
探究点二:幂的乘方法则的逆运算
【类型一】 运用幂的乘方法则比较数的大小
请看下面的解题过程:
“比较2
100
与3
75
的大小, 解:∵2
100
=(2
4
)
25
,3
75
=(3
3
)
25
,又∵2
4
=16,3
3

27,16<27,∴2
100
<3
75
”.请你根据上面的解题 过程,比较3
100
与5
60
的大小,并
总结本题的解题方法. < br>解析:首先理解题意,然后可得3
100
=(3
5
)
20,5
60
=(5
3
)
20
,再比较3
5
与5
3

大小,即可求得答案.
解:∵3
100
=(3
5
)
20
,5
60
=(5
3
)
2 0
,又∵3
5
=243,5
3
=125,243>125,即35

5
3
,∴3
100
>5
60
.
方法总结:此题考查了幂的乘方的性质的应用.注意理解题意,根据题意得
到3
100
=(3
5
)
20
,5
60
=(5
3
)
20
是解此题的关键.
【类型二】 方程与幂的乘方的应用
已知2x+5y-3=0,求4
x
·32
y
的值.
解析: 由2x+5y-3=0得2x+5y=3,再把4
x
·32
y
统一为底数为2 的乘方
的形式,最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果.
解:∵2x+5y-3=0,∴ 2x+5y=3,∴4
x
·32
y
=2
2x
·2
5 y
=2
2x+5y
=2
3
=8.
方法总结:本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法,整体代入求解也
比较关键.
【类型三】 根据幂的乘方的关系,求代数式的值
11
已知2
x
= 8
y+1
,9
y
=3
x-9
,则代数式x+y的值为___ _____.
32
解析:由2
x
=8
y+1
,9
y
=3
x-9
得2
x
=2
3(y+1)
,3
2y
=3
x-9
,则x=3(y+1),2y=x
11
-9,解得 x=21,y=6,故代数式x+y=7+3=10.
32

87
方法总结:根据幂的乘方与积的乘方公式转化得到x和y的方程组,求出x、
y,再计算代数式.
三、板书设计
幂的乘方
幂的乘方的运算公式:(a
m
)
n
=a
mn
(m,n为正整数).即幂的乘方,底数不变,
指数相乘.
【教学反思】
幂的乘方公式的探究方式和前节类似,因此在教学中可以利用该优势展开教学,在探究过程中可以进一步发挥学生的主动性,尽可能地让学生在已有知识的
基础上,通过自主探 究,获得幂的乘方运算的感性认识,进而理解运算法则.


14.1.3 积的乘方
【教学目标】
1.掌握积的乘方的运算法则.(重点)
2.掌握积的乘方的推导过程,并能灵活运用.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
1.教师提问:同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么?
学生积极举手回答:
同底数幂的乘法公式:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
幂的乘方公式:幂的乘方,底数不变,指数相乘.
2.肯定学生的发言,引入新课:今天学习幂的运算的第三种形式——积的
乘方.
二、合作探究
探究点一:积的乘方
【类型一】 直接利用积的乘方法则进行计算
计算:(1)(-5ab)
3
;(2)-(3x
2
y)
2< br>;
4
(3)(-ab
2
c
3
)
3
;(4)(-x
m
y
3m
)
2
.
3

88

解析:直接应用积的乘方法则计算即可.
解:(1)(-5ab)
3
=(-5)
3
a
3
b
3
=-125a< br>3
b
3

(2)-(3x
2
y)
2
=-3
2
x
4
y
2
=-9x
4
y
2

4464
(3)(-ab
2
c
3
)
3
=(-)
3
a
3
b
6
c
9
= -a
3
b
6
c
9

3327
(4)(- x
m
y
3m
)
2
=(-1)
2
x
2m
y
6m
=x
2m
y
6m
.
方法总结 :运用积的乘方法则进行计算时,注意每个因式都要乘方,尤其是
字母的系数不要漏乘方.
【类型二】 积的乘方在实际中的应用
太阳可以近似地看作是球体,如果用V、R分别代表球 的体积和半径,
4
35
那么V=πR,太阳的半径约为6×10千米,它的体积大约是 多少立方千米?(π
3
取3)
4
解析:将R=6×10
5
千米代入V=πR
3
,即可求得答案.
3
44
35317
解:∵R=6×10千米,∴V=πR=×π×(6×10)=8.64×10(立方千
33
5
米).
答:它的体积大约是8.64×10
17
立方千米.
方法总结:读懂题目信息,理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题
的关键.
【类型三】 含积的乘方的混合运算
1
计算:(1)-4xy
2
· (xy
2
)
2
·(-2x
2
)
3
2
(2)(-a
3
b
6
)
2
+(-a
2
b
4
)
3
.
解析:(1)先进行积的乘方,然后根据同 底数幂的乘法法则求解;(2)先进行
积的乘方和幂的乘方,然后合并.
1
解:(1 )原式=4xy
2
·x
2
y
4
·8x
6
= 8x
9
y
6

4

89

( 2)原式=a
6
b
12
-a
6
b
12
=0 .
方法总结:先算积的乘方,再算乘法,最后算加减,然后合并同类项.
探究点二:积的乘方的逆运算
【类型一】 利用积的乘方的逆运算进行简便运算
23
计算:()
2015
×()
2016
.
32
3
2016
3
2015
3
解析:将()转化为()×,再逆 用积的乘方公式进行计算.
222
2332333
解:原式=()
2015
×()
2015
×=(×)
2015
×=.
322322 2
方法总结:对公式a
n
·b
n
=(ab)
n
,要 灵活运用,对于不符合公式的形式,要
通过恒等变形,转化为公式的形式.运用此公式可进行简便运算.
【类型二】 利用积的乘方比较数的大小
试比较大小:2
13
×3
10
与2
10
×3
12
.
解:∵2
13
×3
10
=2
3
×(2×3)
10
,2
10
×3
12
=3
2
×(2×3)
10
,2
3
<3
2
,∴2
13
×3
10
<2
10
× 3
12
.
方法总结:利用积的乘方,转化成同底数的同指数的幂是解答此类问题的关
键.
三、板书设计
积的乘方
积的乘方公式:(ab)
n
=a
n
b
n
(n为正整数).即积的乘方,等于把积的每一个
因式分别乘方,再把 所得的幂相乘.
【教学反思】
在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学 .教师在讲解
积的乘方公式的应用时,再补充讲解积的乘方公式的逆运算:a
n
·b< br>n
=(ab)
n
,同
时教师为了提高学生的运算速度和应用能力,也可 以补充讲解:当n为奇数时,
(-a)
n
=-a
n
(n为正整数); 当n为偶数时,(-a)
n
=a
n
(n为正整数).



90

14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式、多项式相乘
【教学目标】
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则,并运用它们
进行运算.(重点)
2.熟练应用运算法则进行计算.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
1.教师引导学生回忆幂的运算公式.
学生积极举手回答:同底数幂的乘法公式:a
m
·a
n
=a
m+n
(m,n为正整数).
幂的乘方公式 :(a
m
)
n
=a
mn
(m,n为正整数).
积 的乘方公式:(ab)
n
=a
n
b
n
(n为正整数).
2.教师肯定学生的回答,并引入课题——单项式与单项式、多项式相乘.
二、合作探究
探究点一:单项式乘以单项式
【类型一】 直接利用单项式乘以单项式法则进行计算
计算:
25
(1)(-a
2
b)·(ac
2
);
36
1
(2)(-x
2
y)
3
·3xy
2
·(2xy
2
)
2

2
1
(3)-6m
2
n·(x-y)
3
·mn
2
(y-x)
2
.
3
解析:运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可.
2
2
5
2
25
32
5
32
解:(1)(-ab)·( ac)=-×abc=-abc;
36369
113
(2)(-x
2
y)
3
·3xy
2
·(2xy
2
)
2
= -x
6
y
3
×3xy
2
×4x
2
y
4
=-x
9
y
9

282
11
(3) -6m
2
n·(x-y)
3
·mn
2
(y-x)
2
=-6×m
3
n
3
(x-y)
5
=-2m
3
n
3
(x-y)
5
.
33

91

方法总结:(1)在计算时,应先进行符号运算,积的系数等于各因式系数的
积;( 2)注意按顺序运算;(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式;(4)
此性质对于多个单项式 相乘仍然成立.
【类型二】 单项式乘以单项式与同类项的综合
已知-2x
3m+ 1
y
2n
与7x
n-6
y
-3-m
的积与x
4
y是同类项,求m
2
+n的值.
解析:根据-2x
3m+1< br>y
2n
与7x
n-6
y
-3-m
的积与x
4
y是同类项可得出关于m,n的方
程组,进而求出m,n的值,即可得出答案.
解: ∵-2x
3m+1
y与7xy
2nn-6-3-m
?
3m+1+n- 6=4,
的积与xy是同类项,∴
?

?
2n-3-m=1,
4
?
m=2,
得:
?
∴m
2
+n=7.
?
n=3,
方法总结:单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘,结合
同类项,列出二元一次方程组.
【类型三】 单项式乘以单项式的实际应用
3
有 一块长为xm,宽为ym的矩形空地,现在要在这块地中规划一块长xm,
5
3
宽ym 的矩形空地用于绿化,求绿化的面积和剩下的面积.
4
解析:先求出长方形的面积,再求出矩 形绿化的面积,两者相减即可求出剩
下的面积.
339
解:长方形的面积是xym, 矩形空地绿化的面积是x×y=xy(m)
2
,则剩
5420
2
下的 面积是xy-
911
xy=xy(m
2
).
2020
方法总结:掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键.
探究点二:单项式乘以多项式
【类型一】 直接利用单项式乘以多项式法则进行计算
计算:
21
(1)(ab
2
-2ab)·ab;
32

92

1
(2)-2x·(x
2
y+3y-1).
2
解析:先去括号,然后计算乘法,再合并同类项即可.
212111
解: (1)(ab
2
-2ab)·ab=ab
2
·ab-2ab·ab=a
2
b
3
-a
2
b
2

323223< br>11
(2)-2x·(x
2
y+3y-1)=-2x·x
2
y +(-2x)·3y-(-2x)·1=-x
3
y+
22
(-6xy)-(- 2x)=-x
3
y-6xy+2x.
方法总结:单项式与多项式相乘的运算法则:单 项式与多项式相乘,就是用
单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
【类型二】 单项式乘以多项式乘法的实际应用
一条防洪堤坝,其横断面是梯形,上底宽a米,下底宽(a+2b)米,坝
1
高a米.
2
(1)求防洪堤坝的横断面积;
(2)如果防洪堤坝长100米,那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米?
解析:(1)根据 梯形的面积公式,然后利用单项式乘多项式的法则计算;(2)
防洪堤坝的体积=梯形面积×坝长. < br>11111
解:(1)防洪堤坝的横断面积S=[a+(a+2b)]×a=a(2a+2b)= a
2

22422
1
2
1
ab.故防洪堤坝的横断 面积为(a+ab)平方米;
22
11
(2)堤坝的体积V=Sh=(a
2
+ab)×100=50a
2
+50ab.故这段防洪堤坝的
22
体 积是(50a
2
+50ab)立方米.
方法总结:通过本题要知道梯形的面积公式及 堤坝的体积(堤坝体积=梯形
面积×长度)的计算方法,同时掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关 键.
【类型三】 化简求值
先化简,再求值:3a(2a
2
-4a+3) -2a
2
(3a+4),其中a=-2.

93

解析 :首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号,然后合并同类项,最
后代入已知的数值计算即可. < br>解:3a(2a
2
-4a+3)-2a
2
(3a+4)=6a
3
-12a
2
+9a-6a
3
-8a
2
=-20a
2
+9a,
当a=-2时,原式=-20×4-9×2=-98.
方法总结:在做乘法计算时,一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的
符号,不要搞错.
【类型四】 单项式乘多项式,利用展开式中不含某一项求未知系数的值
2
如果(- 3x)
2
(x
2
-2nx+)的展开式中不含x
3
项,求n 的值.
3
解析:原式先算乘方,再利用单项式乘多项式法则计算,根据结果不含x
3
项,求出n的值即可.
22
22
解:(-3x)(x-2nx+)=(9x )(x-2nx+)=9x
4
-18nx
3
+6x
2
,由展 开式
33
22
中不含x
3
项,得到n=0.
方法总结:单 项式与多项式相乘,注意当要求多项式中不含有哪一项时,应
让这一项的系数为0.
三、板书设计
单项式与单项式、多项式相乘
1.单项式与单项式相乘法则:单项式 与单项式相乘就是它们的系数、相同
字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式中出现的字母,则连同它的 指数一起作
为积的一个因式.
2.单项式与多项式相乘的法则:单项式与多项式相乘,只要将 单项式分别
乘以多项式的每一项,再将所得的积相加.
【教学反思】
本节知识的重 点是让学生理解单项式与单项式、多项式相乘的法则,并能应
用.这就必须要求学生对乘法的分配律以及 幂的运算法则有一定的基础,因此课
前可以要求学生先复习该部分的知识,同时在上新课前也可以通过练 习题让学生
回忆知识.对于运算法则的得出,教师通过“试一试”逐步解题,通过计算演示
法则 的内容,更有利于学生理解运算法则.

94



第2课时 多项式与多项式相乘
【教学目标】
1.理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法步骤进行简单的
乘法运算.(重点)
2.掌握多项式与多项式的乘法法则的应用.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
某地区在退耕还林期间,将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别
增加n米和b米.用 两种方法表示这块林区现在的面积.
学生积极思考,教师引导学生分析,学生发现:
这块林 区现在长为(m+n)米,宽为(a+b)米,因而面积为(m+n)(a+b)平方
米.
另 外:如图,这块地由四小块组成,它们的面积分别为ma平方米,mb平方
米、na平方米,nb平方米 ,故这块地的面积为(ma+mb+na+nb)平方米.

由此可得:(m+n)(a+b )=ma+mb+na+nb.今天我们就学习多项式乘以多
项式.
二、合作探究
探究点一:多项式乘以多项式
【类型一】 直接利用多项式乘多项式进行计算
计算:
(1)(3x+2)(x+2);
(2)(4y-1)(5-y).
解析:利用多项式乘多项式法则计算,即可得到结果.
解:(1)原式=3x
2
+6x+2x+4=3x
2
+8x+4;

95

(2)原式=20y-4y
2
-5+y=-4y
2
+21y-5.
方法总结:多项式乘以多项式,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏;多
项式与多项式相乘, 仍得多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式
的项数之积.
【类型二】 混合运算
计算:(3a+1)(2a-3)-(6a-5)(a-4).
解析:根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算,再把所得结果合并即
可.
解: (3a+1)(2a-3)-(6a-5)(a-4)=6a
2
-9a+2a-3-6a
2
+24a+5a-20
=22a-23.
方法总结:在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号.
探究点二:多项式乘多项式的化简求值及应用
【类型一】 化简求值
先化简,再求 值:(a-2b)(a
2
+2ab+4b
2
)-a(a-5b)(a+3b) ,其中a
=-1,b=1.
解析:先将式子利用整式乘法展开,合并同类项化简,再代入计算.
解:(a-2b)(a< br>2
+2ab+4b
2
)-a(a-5b)(a+3b)=a
3
-8b
3
-(a
2
-5ab)(a+3b)
=a
3
-8b
3
-a
3
-3a
2
b+5a
2
b+ 15ab
2
=-8b
3
+2a
2
b+15ab
2< br>.当a=-1,b=1时,原
式=-8+2-15=-21.
方法总结:化简求值是整 式运算中常见的题型,一定要注意先化简,再求值,
不能先代值,再计算.
【类型二】 多项式乘以多项式与方程的综合
解方程:(x-3)(x-2)=(x+9)(x+1)+4. 解析:方程两边利用多项式乘以多项式法则计算,移项合并同类项,将x
系数化为1,即可求出解.
解:去括号后得:x
2
-5x+6=x
2
+10x+9+4,移项合 并同类项得:-15x
=7,解得x=-
7
.
15
方法总结:解答本题就是利用多项式的乘法,将原方程转化为已学过的方程

96

解答.
【类型三】 多项式乘以多项式的实际应用
千年 古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)
米的长方形地块,物业部门计 划将内坝进行绿化(如图阴影部分),中间部分将修
建一仿古小景点(如图中间的正方形),则绿化的面 积是多少平方米?并求出当a
=3,b=2时的绿化面积.

解析:根据长方形的面积公式,可得内坝、景点的面积,根据面积的和差,
可得答案.
解:由题意,得(3a+b)(2a+b)-(a+b)
2
=6a
2
+5a b+b
2
-a
2
-2ab-b
2
=5a
2
+3ab,当a=3,b=2时,5a
2
+3ab=5×3
2
+3×3×2= 63,故绿化的面积是63m
2
.
方法总结:用代数式表示图形的长和宽,再利用面 积(或体积)公式求面积(或
体积)是解决问题的关键.
【类型四】 多项式乘以单项式后,不含某一项,求字母系数的值
已知ax
2
+bx+1(a≠0 )与3x-2的积不含x
2
项,也不含x项,求系数a、
b的值.
解析:首 先利用多项式乘法法则计算出(ax
2
+bx+1)(3x-2),再根据积不
含x< br>2
的项,也不含x的项,可得含x
2
的项和含x的项的系数等于零,即可求出a
与b的值.
解:(ax
2
+bx+1)(3x-2)=3ax
3< br>-2ax
2
+3bx
2
-2bx+3x-2,∵积不含x
2< br>的
39
项,也不含x的项,∴-2a+3b=0,-2b+3=0,解得b=,a=.∴ 系数a、
24
93
b的值分别是,.
42
方法总结:解决此类问题 首先要利用多项式乘法法则计算出展开式,合并同
类项后,再根据不含某一项,可得这一项系数等于零, 再列出方程解答.
三、板书设计

97

多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一
项分别乘以另一个多 项式的每一项,再把所得的积相加.
【教学反思】
本节知识的综合性较强,要求学生熟练掌 握前面所学的单项式与单项式相乘
及单项式与多项式相乘的知识,同时为了让学生理解并掌握多项式与多 项式相乘
的法则,教学中一定要精讲精练,让学生从练习中再次体会法则的内容,为以后
的学习 奠定基础.


第3课时 整式的除法
【教学目标】
1.掌握同底数幂的除法法则与运用.(重点)
2.掌握单项式除以单项式和多项式除以单项式的运算法则.(重点)
3.熟练地进行整式除法的计算.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
1.教师提问:同底数幂的乘法法则是什么?
2.多媒体展示问题:
一种液体每升 含有10
12
个有害细菌,为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们
进行了实验,发现1 滴杀菌剂可以杀死10
9
个此种细菌.要将1升液体中的有害
细菌全部杀死,需要这种 杀菌剂多少滴?
学生认真分析后完成计算:需要滴数:10
12
÷10
9
.
3.教师讲解:以前我们只学过同底数幂的乘法的计算方法,那么像这种同
底数幂的除法该怎样计算呢 ?
二、合作探究
探究点一:同底数幂的除法
【类型一】 直接用同底数幂的除法进行运算
计算:

98

(1)(-xy)
13
÷(-xy)
8

(2)(x-2y)
3
÷(2y-x)
2

(3)(a< br>2
+1)
6
÷(a
2
+1)
4
÷(a
2
+1)
2
.
解析:利用同底数幂的除法法则即可进行计算,其中(1) 应把(-xy)看作一
个整体;(2)把(x-2y)看作一个整体,2y-x=-(x-2y);(3 )注意(a
2
+1)
0
=1.
解:(1)(-xy)
13
÷(-xy)
8
=(-xy)
13-8
=(-xy)
5=-x
5
y
5

(2)(x-2y)
3
÷( 2y-x)
2
=(x-2y)
3
÷(x-2y)
2
=x-2 y;
(3)(a
2
+1)
6
÷(a
2
+1)4
÷(a
2
+1)
2
=(a
2
+1)
6-4-2
=(a
2
+1)
0
=1.
方法总结:计算同底数幂的除法时,先判断底数是否相同或变形为相同,再
根据法则计算.
【类型二】 逆用同底数幂的除法进行计算
已知a
m
=4,a
n< br>=2,a=3,求a
m-n-1
的值.
解析:先逆用同底数幂的除法,对a
m-n-1
进行变形,再代入数值进行计算. < br>2
解:∵a
m
=4,a
n
=2,a=3,∴a
m-n -1
=a
m
÷a
n
÷a=4÷2÷3=.
3
方法 总结:解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出a
m-n-1
=a
m
÷an
÷a.
【类型三】 已知整式除法的恒等式,求字母的值
若a(x
m
y
4
)
3
÷(3x
2
y
n
)< br>2
=4x
2
y
2
,求a、m、n的值.
解析:利用积的乘方的计算法则以及整式的除法运算得出即可.
解:∵a(x
my
4
)
3
÷(3x
2
y
n
)
2
=4x
2
y
2
,∴ax
3m
y
12÷9x
4
y
2n
=4x
2
y
2
,∴a ÷9=4,3m-
4=2,12-2n=2,解得a=36,m=2,n=5.
方法总结:熟练掌握积的乘方的计算法则以及整式的除法运算是解题关键.
【类型四】 整式除法的实际应用
一颗人造地球卫星的速度为2.88×10mh,一架喷气式飞机的速度为
1.8×10
6
mh,这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍?
解析:求人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍,用人造地
球卫星的速度除以喷气式飞 机的速度,列出式子:(2.88×10
7
)÷(1.8×10
6
),再利用同底数幂的除法计算.
解:(2.88×10
7
)÷(1.8×10
6
)=(2.88÷1.8)×(10
7
÷10
6
)=1.6×1 0=16.
7

99

则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的16倍.
方法总结:用科学记数法表示的数的运算可以利用单项式的相关运算法则计
算.
探究点二:零指数幂
若(x-6)
0
=1成立,则x的取值范围是( )
A.x≥6 B.x≤6
C.x≠6 D.x=6
解析:∵(x-6)
0
=1成立,∴x-6≠0,解得x≠6.故选C.
方法总结:本题考查的是0指数幂,非0数的0次幂等于1,注意0指数幂
的底数不能为0.
探究点三:单项式除以单项式
计算.
(1)(2a
2
b
2
c)
4
z÷(-2ab
2
c
2
)
2
1
(2)(3x
3
y
3
z)
4
÷ (3x
3
y
2
z)
2
÷(x
2
y
6
z).
2
解析:先算乘方,再根据单项式除单项式的法则进行计算即可.
解:(1)(2a
2
b
2
c)
4
z÷(-2ab
2
c
2
)
2
=16a
8
b
8
c< br>4
z÷4a
2
b
4
c
4
=4a
6< br>b
4
z;
11
(2)(3x
3
y
3
z)
4
÷(3x
3
y
2
z)
2
÷(x< br>2
y
6
z)=81x
12
y
12
z
4
÷9x
6
y
4
z
2
÷x
2
y< br>6
z=18x
4
y
2
z.
22
方法总结: 掌握整式的除法的运算法则是解题的关键,有乘方的先算乘方,
再算乘除.
探究点四:多项式除以单项式
【类型一】 直接利用多项式除以单项式进行计算
计算:(72xy-36xy+9xy)÷(-9xy).
解析:根据多项式除单项式,先用 多项式的每一项分别除以这个单项式,然
后再把所得的商相加.
解:原式=72x
3
y
4
÷(-9xy
2
)+(-36x
2
y
3
)÷(-9xy
2
)+9xy
2
÷(-9xy
2
)=-
8x
2
y
2
+4xy-1.
方法总结:多项式除以 单项式,先把多项式的每一项都分别除以这个单项式,
342322

100

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