数学中考专题2020年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷 (解析版)

2020年11月18日发(作者：庄逢甘)
2020
年中考数学一模试卷

一、选择题

1
．关于代数式
x
+2
的值，下列说法一定正确的是（ ）

A
．比
2
大

B
．比
2
小

C
．比
x
大

D
．比
x
小

2
．将一个直角三角板和一把直尺如 图放置，如果∠α＝
43
°，则∠β的度数是（ ）


A
．
43
°

B
．
47
°

C
．
30
°

D
．
60
°

3
．下列图标，是轴对称图形的是（ ）

A
．

B
．

C
．

D
．

4
．某篮球兴趣小组
7
名学生参加投篮比赛，每人投
10
个，投中的个数分别为：
8
，
5
，
7
，
5
，
8
，
6
，
8
，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）

A
．
8
，
7

B
．
6
，
7

C
．
8
，
5

D
．
5
，
7

5
．已知
x
1
，
x
2
是一元二次方程
x
2
+
x﹣
3
＝
0
的两个根，则
x
1
+
x2
﹣
x
1
x
2
的值为（ ）

A
．
1

B
．
2

C
．
3

D
．
4

6
． 若一次函数
y
＝
kx
+
b
，当
x
的值减小
1
，
y
的值就减小
2
，则当
x
的值增加< br>2
时，
y
的值
（ ）

A
．增加
4

B
．减小
4

C
．增加
2

D
．减小
2

7< br>．用一个圆心角为
120
°，半径为
6
的扇形作一个圆锥的侧面，则这 个圆锥的底面半径为
（ ）

A
．
1

8
．若关于
x
的不等式组
A
．
k
＞
1

B
．
2

C
．
3

D
．
6

的解集为
x
＜
3
，则
k
的取值范围为（ ）

B
．
k
＜
1

C
．
k
≥
1

D
．
k
≤
1

9
．二次函数
y< br>1
＝
ax
2
+
bx
+
c
（
a
，
b
，
c
为常数）的图象如图所示，若
y
1+
y
2
＝
2
，则下列关于
函数
y
2< br>的图象与性质描述正确的是（ ）


A
．函数
y
2
的图象开口向上

B
．函数
y
2
的图象与
x
轴没有公共点

C
．当
x
＝
1
时，函数
y
2
的值 小于
0

D
．当
x
＞
2
时，
y< br>2
随
x
的增大而减小

10
．如图，在△
A BC
中，
BC
＞
AB
＞
AC
，
D
是边
BC
上的一个动点（点
D
不与点
B
、
C
重
合），将△
ABD
沿
AD
折叠，点
B
落在点< br>B
'
处，连接
BB
'
，
B
'
C，若△
BCB
'
是等腰三角
形，则符合条件的点
D
的个 数是（ ）



A
．
0
个

B
．
1
个

C
．
2
个

D
．
3
个

二、填空题（本大题共
8
小题 ，第
11
～
13
题每小题
3
分，第
14
～
18
题每小题
3
分，共
29
分
.
不需写出 解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）

11
．保护水资源，人人有 责．我国是缺水国家，目前可利用淡水资源总量仅约为
899000
亿
m
3< br>，数据
899000
用科学记数法表示为

．

12
．计算：﹣＝

．

13
．分解因式 ：
a
3
﹣
2
a
2
+
a
＝

．

14
．如图，在矩形
ABCD
中，< br>E
是
CD
的延长线上一点，连接
BE
交
AD
于点
F
．如果
AB
＝
4
，
BC
＝
6
，
DE
＝
3
，那么
AF
的长为

．


15
．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名 数学家程大位．在其中有这样的
记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各 几丁？”译文：
有
100
名和尚分
100
个馒头，正好分完．如果大 和尚一人分
3
个，小和尚
3
人分一个，
试问大、小和尚各有几人？设 有大和尚
x
人，小和尚
y
人，可列方程组为

．


16
．如图，
AB
是⊙
O
的弦，半 径
OC
⊥
AB
，
AC
∥
OB
，则∠
BOC
的度数为

．


17
．如图， 点
A
在反比例函数
y
1
＝（
x
＞
0
）的图象上，点
B
在反比例函数
y
2
＝（
x
＜< br>0
）
的图象上，
AB
⊥
y
轴，若△
AOB< br>的面积为
2
，则
k
的值为

．


18
．如图，线段
AB
＝
4
，
M
为
AB
的中点，动点
P
到点
M
的距离是
1
，连接
PB
，线段

PB
绕点
P
逆时针旋转90
°得到线段
PC
，

连接
AC
，则线段
AC
长度的最大值是

．

三、学说明、壶萌题挂步共
91
分
.
请在答题卡指定区 域内作答，解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤）

19
．（
1
）计算：（﹣
1
）
3
+|
﹣
6|
×< br>2
﹣
1
﹣
（
2
）解不等式：
x
＜< br>；

，并把解集在数轴上表示出来．

20
．（
1< br>）先化简，再求值：（
1
﹣）÷，其中
m
＝
1
；
（
2
）解方程：＝
3+
．

21
． 如图，点
A
，
B
，
C
，
D
在同一条直线上 ，
CE
∥
DF
，
EC
＝
BD
，
A C
＝
FD
．求证：
AE
＝
FB
．


22
．某市体育中考现场考试内容有三项：
50
米跑为必测项目． 另在立定跳远、实心球（二
选一）和坐位体前屈、
1
分钟跳绳（二选一）中选择两项．

（
1
）每位考生有

种选择方案；

（
2
）求小明与小刚选择同种方案的概率．

23
．如图， 兰兰站在河岸上的
G
点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此
时，测得 小船
C
的俯角是∠
FDC
＝
30
°，若兰兰的眼睛与地面的 距离是
1.5
米，
BG
＝
1
米，
BG
平行 于
AC
所在的直线，迎水坡的坡度
i
＝
4
：
3，坡高
BE
＝
8
米，求小船
C
到岸
边的距离< br>CA
的长？（参考数据：≈
1.7
，结果保留一位小数）


24
．在平面直角坐标系
xOy
中，抛物线
y
＝
a x
2
﹣
2
ax
﹣
3
a
（
a
≠
0
），与
x
轴交于
A
、
B
两点
（点
A
在点
B
的左侧）．

（
1
）求点
A
和点
B
的坐标；

（
2
）若点
P
（
m
，
n
）是抛物线上的一 点，过点
P
作
x
轴的垂线，垂足为点
D
．


①在
a
＞
0
的条件下，当﹣
2
≤
m
≤
2
时，
n
的取值范围是﹣
4
≤
n< br>≤
5
，求抛物线的表达式；
②若
D
点坐标（
4
，
0
），当
PD
＞
AD
时，求
a
的取值 范围．

25
．如图，已知矩形
ABCD
中，
AB
＝
4
，动点
P
从点
A
出发，沿
AD
方向以 每秒
1
个单位

的速度运动，连接
BP
，作点
A< br>关于直线
BP
的对称点
E
，设点
P
的运动时间为t
（
s
）．

（
1
）若
AD
＝
6
，
P
仅在边
AD
运动，求当
P
，E
，
C
三点在同一直线上时对应的
t
的值．
（
2
）在动点
P
在射线
AD
上运动的过程中，求使点
E
到直线
BC
的距离等于
3
时对应的
t
的值．


26
．定义：当点
P
在射线
OA
上时，把的的值 叫做点
P
在射线
OA
上的射影值；当点
P
不在射线
OA
上时，把射线
OA
上与点
P
最近点的射影值，叫做点
P
在射线
OA
上的射
影值．

例如：如图
1
，△
OAB
三个顶点均在格点上，
BP
是
OA
边上的高，则 点
P
和点
B
在射
线
OA
上的射影值均为＝．


（
1
）在△
OAB
中，

①点B
在射线
OA
上的射影值小于
1
时，则△
OAB
是锐角三角形；

②点
B
在射线
OA
上的射影值等于1
时，则△
OAB
是直角三角形；

③点
B
在 射线
OA
上的射影值大于
1
时，则△
OAB
是钝角三角形．

其中真命题有

．

A
．①②
B
．①③
C
．②③
D
．①②③

（
2）已知：点
C
是射线
OA
上一点，
CA
＝
OA
＝
1
，以〇为圆心，
OA
为半径画圆，点
B
是⊙< br>O
上任意点．

①如图
2
，若点
B
在射线< br>OA
上的射影值为．求证：直线
BC
是⊙
O
的切线；

②如图
3
，已知
D
为线段
BC
的中点，设点
D
在射线
OA
上的射影值为
x
，点
D
在射线OB
上的射影值为
y
，直接写出
y
与
x
之间的 函数关系式为

．



参考答案
一、选择题（本大题共
10
小题，每小题
3
分，共
30
分
.
在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代 号填涂在答题卡相应位置上）

1
．关于代数式
x
+2
的值，下列说法一定正确的是（ ）

A
．比
2
大

B
．比
2
小

C
．比
x
大

D
．比
x
小

【分析】根据不等式的性质即可求出答案．

解：由于
2
＞
0
，

∴
x
+2
＞
x
，

故选：
C
．

2
．将一个直角三角板和一把直尺如图放置， 如果∠α＝
43
°，则∠β的度数是（ ）


A
．
43
°

B
．
47
°

C
．
30
°

D
．
60
°

【分析】如图，延长
BC
交 刻度尺的一边于
D
点，利用平行线的性质，对顶角的性质，
将已知角与所求角转化到< br>Rt
△
CDE
中，利用内角和定理求解．

解：如图，延长
BC
交刻度尺的一边于
D
点，

∵
AB
∥
DE
，

∴∠β＝∠
EDC
，

又∠
CED
＝∠α＝
43
°，

∠
ECD
＝
90
°，

∴∠β＝∠
EDC
＝
90
°﹣∠
CED
＝
90
°﹣
43°＝
47
°，


故选：
B
．


3
．下列图标，是轴对称图形的是（ ）

A
．

B
．

C
．

D
．

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线 两旁的部分能够
互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

解：
A
、不是轴对称图形，故此选项错误；

B
、不是轴对称图形，故此选项错误；

C
、不是轴对称图形，故此选项错误；

D
、是轴对称图形，故此选项正确；

故选：
D
．

4
．某篮球兴趣小组
7
名学生参加投篮比赛，每人投
10
个 ，投中的个数分别为：
8
，
5
，
7
，
5
，
8
，
6
，
8
，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）

A
．
8
，
7

B
．
6
，
7

C
．
8
，
5

D
．
5
，
7

【分析】找出
7
位 同学投中最多的个数即为众数；将个数按照从小到大的顺序排列，找
出中位数即可．

解：这组数据中出现次数最多的是
8
，出现了
3
次，

故众数为
8
，

这组数据重新排列为
5
、
5
、
6
、
7
、
8
、
8
、
8
，

故中位数为
7
．

故选：
A
．

5
．已知
x
1
，< br>x
2
是一元二次方程
x
2
+
x
﹣
3
＝
0
的两个根，则
x
1
+
x
2
﹣
x
1
x
2
的值为（ ）

A
．
1

B
．
2

C
．
3

D
．
4

【分析】根据 韦达定理得出
x
1
+
x
2
＝﹣
1
，
x
1
x
2
＝﹣
3
，代入计算可得．

解 ：∵
x
1
，
x
2
是一元二次方程
x
2+
x
﹣
3
＝
0
的两个根，

∴
x
1
+
x
2
＝﹣
1
，
x
1x
2
＝﹣
3
，

则原式＝﹣
1
﹣（﹣
3
）＝﹣
1+3
＝
2
，

故选：
B
．

6
．若一次函数
y
＝
kx
+
b
，当
x
的值减小
1
，
y
的值就减小
2
，则当
x
的值增加
2
时，
y
的值
（ ）

A
．增加
4

B
．减小
4

C
．增加
2

D
．减小
2

【分析】此题只需根据已知条件分析得到
k
的值，即可求解．

解： ∵当
x
的值减小
1
，
y
的值就减小
2
，< br>
∴
y
﹣
2
＝
k
（
x
﹣< br>1
）
+
b
＝
kx
﹣
k
+
b
，

y
＝
kx
﹣
k
+
b
+2
．又
y
＝
kx
+
b
，

∴﹣
k
+
b
+2
＝
b
，即﹣
k
+2< br>＝
0
，

∴
k
＝
2
．

当
x
的值增加
2
时，

∴
y
＝（
x
+2
）
k
+
b
＝
kx
+
b
+2
k
＝
kx
+
b
+4
，

当
x
的值增加
2
时，
y
的值增加
4
．

故选：
A
．

7
．用一个圆心角为
120
°，半径为
6
的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为
（ ）

A
．
1

B
．
2

C
．
3

D
．
6

【分析】易得扇形的弧长，除以
2
π即为圆锥的底面半径．

解：扇形的弧长＝＝
4
π，

∴圆锥的底面半径为
4
π÷
2
π＝
2
．

故选：
B
．

8
．若关于
x
的不等式组的 解集为
x
＜
3
，则
k
的取值范围为（ ）

A
．
k
＞
1

B
．
k
＜
1

C
．
k
≥
1

D
．
k
≤
1

【分析】不等式整理后，由已知解集确定出
k
的范围即可．

解：不等式整理得：
由不等式组的解集为
x
＜
3
，

得到
k
的范围是
k
≥
1
，

故选：
C
．

9
．二次函数
y
1
＝
ax
2
+
bx
+
c
（
a
，b
，
c
为常数）的图象如图所示，若
y
1
+
y
2
＝
2
，则下列关于
函数
y
2
的图象与性 质描述正确的是（ ）

，


A
．函数
y
2
的图象开口向上

B
．函数
y
2
的图象与
x
轴没有公共点

C
．当
x
＝
1
时，函数
y
2
的值 小于
0

D
．当
x
＞
2
时，
y< br>2
随
x
的增大而减小

【分析】根据题意和二次函数的性质， 可以画出函数
y
2
的图象，然后即可判断各个选项
中的说法是否正确，本题得 以解决．

解：∵
y
1
＝
ax
2
+
bx
+
c
，
y
1
+
y
2
＝2
，

∴
y
2
＝
2
﹣
y
1
，


∴函数
y
2
的图象是函数
y
1
的图象关 于
x
轴对称，然后再向上平移
2
个单位长度得到的，
∴函数
y
2
的图象开口向下，故选项
A
错误；

函数
y< br>2
的图象与
x
轴有两个交点，故选项
B
错误；
当
x
＝
1
时，函数
y
2
的值大于
0< br>，故选项
C
错误；

当
x
＞
2
时，
y
随
x
的增大而减小，故选项
D
正确；

故选：
D
．



10
．如图，在△ABC
中，
BC
＞
AB
＞
AC
，
D< br>是边
BC
上的一个动点（点
D
不与点
B
、
C
重
合），将△
ABD
沿
AD
折叠，点
B
落 在点
B
'
处，连接
BB
'
，
B
'
C
，若△
BCB
'
是等腰三角
形，则符合条件的点
D
的个数是（ ）


A
．
0
个

B
．
1
个

C
．
2
个

D
．
3
个

【分析】根据折叠的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．

解：如图
1
，

当
BB
′＝
B
′
C
时，△
BCB
'
是等腰三角形，


如 图
2
，当
BC
＝
BB
′时，△
BCB
'< br>是等腰三角形，


故若△
BCB
'
是等腰三角形， 则符合条件的点
D
的个数是
2
，

故选：
C
．

二、填空题（本大题共
8
小题，第< br>11
～
13
题每小题
3
分，第
14
～
18
题每小题
3
分，共
29
分
.
不需写出解答过 程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）

11
．保护水资源，人人有责．我 国是缺水国家，目前可利用淡水资源总量仅约为
899000
亿
m
3
，数据
899000
用科学记数法表示为
8.99
×
10
5
．

【分析】科学记数法的表 示形式为
a
×
10
n
的形式，其中
1
≤
|
a
|
＜
10
，
n
为整数．确定
n
的值时，要看把原数变成
a
时，小数点移动了多少位，
n
的绝对值与小数点移 动的位数
相同．当原数绝对值＞
1
时，
n
是正数；当原数的绝对值＜
1
时，
n
是负数

解：
899000
＝< br>8.99
×
10
5
，

故答案为：
8.99
×
10
5
．

12
．计算：﹣＝
0
．

【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可．

解：原式＝
2
＝
0
．

故答案为
0
．

13
．分解因式：
a
3< br>﹣
2
a
2
+
a
＝
a
（
a
﹣
1
）
2
．

【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式
a
，再对余下的多项式进行观察，有
3< br>项，
可利用完全平方公式继续分解．

解：
a
3
﹣
2
a
2
+
a
＝
a
（
a
2
﹣
2
a
+1
）
＝
a
（
a
﹣
1
）
2
．

故答案为：
a
（
a
﹣
1
）
2
．< br>
14
．如图，在矩形
ABCD
中，
E
是
C D
的延长线上一点，连接
BE
交
AD
于点
F
．如果
AB
＝
4
，
BC
＝
6
，
DE＝
3
，那么
AF
的长为 ．

﹣
2


【分析】由△
EFD
∽△
EBC
，推出
解：∵四 边形
ABCD
是矩形，

＝，由此即可解决问题．

∴DF
∥
BC
，
AB
＝
CD
＝
4
，
BC
＝
AD
＝
6
，

∴△
EFD
∽△
EBC
，

∴
∴
＝，

＝，

，

＝，

∴
DF
＝
∴
AF
＝
AD< br>＝
DF
＝
6
﹣
故答案为．

15
． 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的
记载“一百馒头一百 僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文：
有
100
名和尚分
100
个馒头，正好分完．如果大和尚一人分
3
个，小和尚
3
人分一个，
试问大、小和尚各有几人？设有大和尚
x
人，小和尚
y
人，可列方程组为
．


【分析】设大和尚有
x
人，则 小和尚有
y
人，根据“有
100
个和尚”和大和尚一人分
3
只，小和尚
3
人分一只刚好分完
100
个馒头”列出方程组即可．

解：设大和尚有
x
人，则小和尚有
y
人，根据题意得，

故答案为：．

16
．如图，
AB
是⊙
O
的弦，半径
OC
⊥
AB
，
AC
∥
OB
，则 ∠
BOC
的度数为
60
° ．


【分析】连接
BC
，利用全等三角形的性质证明△
OBC
是等边三角形即可解决问题．
解：如图，连接
BC
，设
AB
交
OC
于K
．


∵
OC
⊥
AB
，

∴
AK
＝
BK
，

∵
AC
∥
OB
，

∴∠
A
＝∠
OBK
，

∵∠
AKC
＝∠
BKC
，

∴△
AKC
≌△
BKO
（
ASA
），

∴
OK
＝
KC
，

∵
BK
⊥
OC
，

∴
BO
＝
BC
，

∵
OB
＝
OC
，

∴
OB
＝
OC
＝
BC
，

∴△
BOC
是等边三角形，

∴∠
BOC
＝
60
°，

故答案为
60
°．

17
．如图，点
A
在 反比例函数
y
1
＝（
x
＞
0
）的图象上，点
B
在反比例函数
y
2
＝（
x
＜
0
）的图象上，
AB
⊥
y
轴，若△
AOB
的面积为
2
，则
k
的值为 ﹣
3
．


【分析】 设点
A
坐标（
a
，），由
AB
⊥
y
轴，可 得点
B
（
ak
，），由三角形面积公
式可求
k
的值 ．

解：设点
A
坐标（
a
，）

∵点B
在反比例函数
y
2
＝（
x
＜
0
）的 图象上，
AB
⊥
y
轴，

∴

∴
x
＝
ak
∴点
B
（
ak
，）

∵△
AOB
的面积为
2

∴（
a
﹣
ak
）×＝
2

∴
1
﹣
k
＝
4

∴
k
＝﹣
3

故答案为：﹣
3

18
．如图，线段
AB
＝
4
，
M
为
AB< br>的中点，动点
P
到点
M
的距离是
1
，连接
P B
，线段

PB
绕点
P
逆时针旋转
90
° 得到线段
PC
，连接
AC
，则线段
AC
长度的最大值是
3

．

【分析】以
O
为坐标原点建立坐标系， 过点
C
作
CD
⊥
y
轴，垂足为
D
，过点< br>P
作
PE
⊥
DC
，垂足为
E
，延长
EP
交
x
轴于点
F
，设点
P
的坐标为（
x
，
y
），则
x
2
+
y
2
＝
1
．然后
证明△
ECP
≌△
FPB
，由全等三角形的性质 得到
EC
＝
PF
＝
y
，
FB
＝
E P
＝
2
﹣
x
，从而得
到点
C
（
x
+
y
，
y
+2
﹣
x
），最后依据两点间的 距离公式可求得
AC
＝
据当
y
＝
1
时，
A C
有最大值求解即可．

解：如图所示：过点
C
作
CD⊥
y
轴，垂足为
D
，过点
P
作
PE
⊥
DC
，垂足为
E
，延长
EP
交
x
轴于点< br>F
．

，最后，依

∵
AB
＝
4< br>，
O
为
AB
的中点，

∴
A
（﹣< br>2
，
0
），
B
（
2
，
0
） ．

设点
P
的坐标为（
x
，
y
），则x
2
+
y
2
＝
1
．

∵∠< br>EPC
+
∠
BPF
＝
90
°，∠
EPC+
∠
ECP
＝
90
°，

∴∠
ECP
＝∠
FPB
．

由旋转的性质可知：
PC
＝
PB
．

在△
ECP
和△
FPB
中，

，

∴△
ECP
≌△
FPB
．

∴
EC
＝
PF
＝
y
，
FB
＝
EP
＝
2
﹣
x
．

∴
C
（
x
+
y
，
y
+2
﹣
x
）．

∵
AB＝
4
，
O
为
AB
的中点，

∴
AC
＝
∵
x
2
+
y
2
＝
1，

∴
AC
＝
∵﹣
1
≤
y
≤
1
，

∴当
y
＝
1
时，
AC有最大值，
AC
的最大值为
故答案为：
3
．

＝
3
．

．

＝．

三、学说明 、壶萌题挂步共
91
分
.
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明 、证
明过程或演算步骤）

19
．（
1
）计算：（﹣
1
）
3
+|
﹣
6|
×
2
﹣
1< br>﹣
（
2
）解不等式：
x
＜
；

，并把解集在数轴上表示出来．

【分析】（
1
）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；

（
2
）根据解一元一次不等式的基本步骤依此计算可得．

解：（
1
）原式＝﹣
1+6
×﹣
3
，

＝﹣
1+3
﹣
3
，

＝﹣
1
；


（
2
）去分母，得：
6
x
﹣
3
（
x
+2
）＜
2
（< br>2
﹣
x
），

去括号，得：
6
x
﹣
3
x
﹣
6
＜
4
﹣
2
x
，

移项，得：
6
x
﹣
3
x
+2
x
＜
4+6
，

合并同类项，得：
5
x
＜
10
，

系数化为
1
，得：
x
＜
2
．

2 0
．（
1
）先化简，再求值：（
1
﹣）÷，其中
m
＝
1
；

（
2
）解方程：＝
3+
．

【分析】（
1
）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法
则变形，约分得到最 简结果，把
m
的值代入计算即可求出值．

（
2
）分式方程 去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到
x
的值，经检验即可得到
分式方程的解 ．

解：（
1
）原式＝
＝
＝．

＝﹣；

，

，

当
m
＝
1
时，原式＝
（
2
）去分母得：
1
＝
3
x
﹣
9
﹣
x
，

解得：
x
＝
5
，

经检验
x
＝
5
是分式方程的解．

21
． 如图，点
A
，
B
，
C
，
D
在同一条直线上 ，
CE
∥
DF
，
EC
＝
BD
，
A C
＝
FD
．求证：
AE
＝
FB
．


【分析】根据
CE
∥
DF
，可得∠
ACE
＝∠
D
，再利用
SAS
证明△
ACE
≌△
FDB
，得出对
应边相等即可．

【解答】证明：∵
CE
∥
DF
，

∴∠
ACE
＝∠
D
，

在△
ACE
和△
FDB
中，

，

∴△
ACE
≌△
FDB
（
SAS
），

∴
AE
＝
FB
．

22
．某市体育中考现 场考试内容有三项：
50
米跑为必测项目．另在立定跳远、实心球（二
选一）和坐位体 前屈、
1
分钟跳绳（二选一）中选择两项．

（
1
）每位考生有
4
种选择方案；

（
2
）求小明与小刚选择同种方案的概率．

【分析】（
1
）先列举出毎位考生可选择所有方案：
50
米跑、立定跳远、坐位体前屈（用
A
表示）；
50
米跑、实心球、坐位体前屈（用
B
表示）；
50
米跑、立定跳远、
1
分钟跳
绳（用
C
表示）；
50
米跑、实心球、
1
分钟跳绳（用
D
表示）；共用
4种选择方案．

（
2
）利用数形图展示所有
16
种等可 能的结果，其中选择两种方案有
12
种，根据概率的
概念计算即可．

解：（
1
）毎位考生可选择：
50
米跑、立定跳远、坐位体前屈（用
A
表示）；
50
米跑、
实心球、坐位体前屈（用
B
表示） ；
50
米跑、立定跳远、
1
分钟跳绳（用
C
表示）；
50
米跑、实心球、
1
分钟跳绳（用
D
表示）；共用
4< br>种选择方案．

故答案为
4
．


（
2
）用
A
、
B
、
C
、
D
代表四 种选择方案．（其他表示方法也可）

解法一：用树状图分析如下：


解法二：用列表法分析如下：


小刚

A B

C

D
小明


A

B

C

D
（
A
，
A
）


（
B
，
A
）


（
C
，
A
）


（
D
，
A
）


（
A
，
B
）


（
B
，
B
）


（
C
，
B
）


（
D
，
B
）


（
A
，
C
）


（
B
，
C
）


（
C
，
C
）


（
D
，
C
）


（
A
，
D
）


（
B
，
D
）


（
C
，
D
）


（
D
，
D
）


两人选择的方案共有16
种等可能的结果，其中选择同种方案有
4
种，

所以小明与小刚选择同种方案的概率＝＝．

23
．如图，兰兰站在河岸上的
G
点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此
时，测得小船
C< br>的俯角是∠
FDC
＝
30
°，若兰兰的眼睛与地面的距离是
1 .5
米，
BG
＝
1
米，
BG
平行于
AC< br>所在的直线，迎水坡的坡度
i
＝
4
：
3
，坡高
BE
＝
8
米，求小船
C
到岸
边的距离
CA
的长？（参考数据：≈
1.7
，结果保留一位小数）


【分析】 把
AB
和
CD
都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点
B
和点
D
到水面的距离，
CH
﹣
AE
﹣
EH
即为
AC
长度．

进而利用俯角的正切值可求得
CH< br>长度．
解：过点
B
作
BE
⊥
AC
于点
E
，延长
DG
交
CA
于点
H
，得
Rt< br>△
ABE
和矩形
BEHG
．

i
＝＝，

∵
BE
＝
8
，
AE< br>＝
6
，
DG
＝
1.5
，
BG
＝1
，

∴
DH
＝
DG
+
GH
＝
1.5+8
＝
9.5
，

AH
＝
AE< br>+
EH
＝
6+1
＝
7
．

在
Rt
△
CDH
中，

∵∠
C
＝ ∠
FDC
＝
30
°，
DH
＝
9.5
，tan30
°＝
∴
CH
＝
9.5
．

，

又∵
CH
＝
CA
+7
，

即
9.5
＝
CA
+7
，

∴
CA
≈
9.15
≈
9.2
（米）．

答：
CA
的长约是
9.2
米．


24< br>．在平面直角坐标系
xOy
中，抛物线
y
＝
ax
2< br>﹣
2
ax
﹣
3
a
（
a
≠
0
），与
x
轴交于
A
、
B
两点
（点
A
在点
B
的左侧）．

（
1
）求点
A
和点
B
的坐标；

（
2
）若点
P
（
m
，
n
）是抛物线上的一 点，过点
P
作
x
轴的垂线，垂足为点
D
．


①在
a
＞
0
的条件下，当﹣
2
≤
m
≤
2
时，
n
的取值范围是﹣
4
≤
n< br>≤
5
，求抛物线的表达式；
②若
D
点坐标（
4
，
0
），当
PD
＞
AD
时，求
a
的取值 范围．

【分析】（
1
）解方程
ax
2
﹣
2
xa
﹣
3
a
＝
0
即可得到
A
点 和
B
点坐标；

n
的取值范围是﹣
4
≤
n
≤
5
，（
2
）①由于抛物线的对称轴为直线
x
＝< br>1
，而﹣
2
≤
m
≤
2
时，
则
n
＝﹣
4
为二次函数的最小值，从而得到抛物线的顶点坐标为（
1
，﹣
4
），然后把顶点
坐标代入
y
＝
ax
2
﹣
2
ax
﹣
3
a
中求出
a
即可得到抛物 线解析式；

②利用
D
点坐标（
4
，
0
） ，
PD
⊥
x
轴得到点
P
的横坐标为
4
，从 而得到
P
（
4
，
5
a
），
然后利用
PD
＞
AD
得到
|5
a
|
＞
5
，从而解不等式得到
a
的范围．

解：（
1
）把
y
＝
0
代入二次函数得：
a
（
x
2
﹣
2
x
﹣
3
）＝
0
即
a
（
x﹣
3
）（
x
+1
）＝
0
，

∴
x
1
＝
3
，
x
2
＝﹣
1
，

∵点
A
在点
B
的左侧，

∴
A
（﹣
1
，
0
），
B
（
3
，< br>0
）；

（
2
）①抛物线的对称轴为直线
x
＝
1
，

∵﹣
2
≤
m
≤
2
时，
n
的取值范 围是﹣
4
≤
n
≤
5
，

∴
n＝﹣
4
为二次函数的最小值，
m
＝﹣
2
时，
n
＝
5
，

∴抛物线的顶点坐标为（
1
，﹣
4
）

把（
1
，﹣
4
）代入
y
＝
ax
2
﹣
2
ax
﹣
3
a
得
a
﹣
2
a
﹣
3
a
＝﹣
4
，解得
a
＝
1
，

∴抛物线的解析式为
y
＝
x
2
﹣
2x
﹣
3
；

②∵
D
点坐标（
4
，
0
），
PD
⊥
x
轴，

∴点
P
的横坐标为
4
，

当
x
＝
4
时，
y
＝
ax
2
﹣
2
ax﹣
3
a
＝
5
a
，

∵
D点坐标为（
4
，
0
），
A
点坐标为（﹣
1，
0
）

∴
AD
＝
5

∵
PD
＞
AD
∴
|5
a
|
＞
5
，

∴
a
＞
1
或
a
＜﹣
1
．

25
．如图，已知矩形
ABCD
中，
AB
＝
4，动点
P
从点
A
出发，沿
AD
方向以每秒
1< br>个单位

的速度运动，连接
BP
，作点
A
关于直线< br>BP
的对称点
E
，设点
P
的运动时间为
t
（
s
）．

（
1
）若
AD
＝
6，
P
仅在边
AD
运动，求当
P
，
E
，
C
三点在同一直线上时对应的
t
的值．
（
2
）在动 点
P
在射线
AD
上运动的过程中，求使点
E
到直线
BC
的距离等于
3
时对应的
t
的值．


【分析】（
1
）设
AP
＝
t
，则
PD
＝< br>6
﹣
t
，由点
A
、
E
关于直线
BP
对称，得出∠
APB
＝∠
BPE
，由平行线的性质得出∠
A PB
＝∠
PBC
，得出∠
BPC
＝∠
PBC
，在< br>Rt
△
CDP
中，由
勾股定理得出方程，解方程即可得出结果；

（
2
）①当点
E
在
BC
的上方，点
E
到
BC
的距离为
3
，作
EM
⊥
BC
于
M
，延长
ME
交
AD
于
N
，连接PE
、
BE
，则
EM
＝
3
，
EN＝
1
，
BE
＝
AB
＝
4
，四边形ABMN
是矩形，
AN
＝
BM
＝
可得出结果；

②当点
E
在
BC
的下方，点
E
到
BC的距离为
3
，作
EH
⊥
AB
的延长线于
H，则
BH
＝
3
，
BE
＝
AB
＝
4
，
AH
＝
AB
+
BH
＝
7
，
HE
＝
＝，即可得出结果．

＝，证得△
AHE
∽ △
PAB
，得出
＝，证出△
BME
∽△
ENP
，得 出＝，求出
NP
＝，即
解：（
1
）设
AP
＝
t
，则
PD
＝
6
﹣
t
，如图
1
所示：

∵点
A
、
E
关于直线
BP
对称，

∴∠
APB
＝∠
BPE
，

∵
AD
∥
BC
，

∴∠
APB
＝∠
PBC
，

∵
P
、
E
、
C
共线，

∴∠
BPC
＝∠
PBC
，

∴
CP
＝
BC
＝
AD
＝
6
，

在
Rt
△
CDP
中，
CD
2
+
DP
2
＝
PC
2
，

即：
4
2
+
（
6
﹣
t
）
2
＝
6
2
，

解得：
t
＝
6
﹣
2
∴
t
＝（
6
﹣
2
或
6+2
（不合题意舍去），

）
s
时，
P
、
E
、
C
共线；

（2
）①当点
E
在
BC
的上方，点
E
到
BC
的距离为
3
，作
EM
⊥
BC
于
M，延长
ME
交
AD
于
N
，连接
PE
、
BE
，如图
2
所示：

则
EM
＝
3
，
EN
＝
1
，
BE
＝
AB
＝< br>4
，四边形
ABMN
是矩形，

在
Rt
△< br>EBM
中，
AN
＝
BM
＝
∵点
A
、
E
关于直线
BP
对称，

∴∠
PEB
＝∠
PAB
＝
90
°，
∵∠
ENP
＝∠
EMB
＝∠
PEB
＝
90°，

∴∠
PEN
＝∠
EBM
，

∴△
BME
∽△
ENP
，

∴＝，即
，

﹣＝；

＝，

＝＝，

∴
NP
＝
∴
t
＝
AP< br>＝
AN
﹣
NP
＝
②当点
E
在
BC< br>的下方，点
E
到
BC
的距离为
3
，作
EH< br>⊥
AB
的延长线于
H
，如图
3
所
示：

则
BH
＝
3
，
BE
＝
AB
＝
4
，
AH
＝
AB
+
BH
＝
7，

在
Rt
△
BHE
中，
HE
＝＝＝，
∵∠
PAB
＝∠
BHE
＝
90
°，
AE
⊥
BP
，

∴∠
APB
+
∠
EAP＝∠
HAE
+
∠
EAP
＝
90
°，

∴∠
HAE
＝∠
APB
，

∴△
AHE
∽△
PAB
，

∴＝，即＝
，

或
4
．

，
< br>解得：
t
＝
AP
＝
4
综上所述，
t
＝



26
．定义：当点
P
在射线
OA
上时，把的的值叫做点
P
在射线
OA
上的射影值；当点
P< br>不在射线
OA
上时，把射线
OA
上与点
P
最近点的射 影值，叫做点
P
在射线
OA
上的射
影值．

例如： 如图
1
，△
OAB
三个顶点均在格点上，
BP
是
O A
边上的高，则点
P
和点
B
在射
线
OA
上 的射影值均为＝．


（
1
）在△
OAB
中，

①点
B
在射线
OA
上的射影值小于
1
时，则△
OAB
是锐角三角形 ；

②点
B
在射线
OA
上的射影值等于
1
时，则△
OAB
是直角三角形；

③点
B
在射线
O A
上的射影值大于
1
时，则△
OAB
是钝角三角形．

其中真命题有
B
．

A
．①②
B
．① ③
C
．②③
D
．①②③

（
2
）已知：点
C
是射线
OA
上一点，
CA
＝
OA
＝1
，以〇为圆心，
OA
为半径画圆，点
B
是⊙
O
上任意点．

①如图
2
，若点
B
在射线
OA上的射影值为．求证：直线
BC
是⊙
O
的切线；

②如 图
3
，已知
D
为线段
BC
的中点，设点
D
在射线
OA
上的射影值为
x
，点
D
在射线
OB上的射影值为
y
，直接写出
y
与
x
之间的函数关系式为
y
＝
0
（≤
x
≤）或
y
＝
2x
﹣（＜
x
≤） ．

【分析】（
1
）根据射影值的定义一一判断即可．

（
2< br>）①根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，可得△
BOH
∽△
COB，由相似三
角形的性质可得∠
BHO
＝∠
CBO
＝
90
°，根据切线的判定定理可得答案；②图形是上下
对称的，只考虑
B
在直线< br>OC
上及
OC
上方部分的情形．分两种情况考虑：当∠
DOB
＜
90
°时；当∠
BOD
＝
90
°时．

解：（
1
）①错误．点
B
在射线
OA
上的射影值小于
1
时，∠
OBA
可以是钝角，故△
OAB
不一定是锐角三角形；< br>
②正确．点
B
在射线
OA
上的射影值等于
1
时，
AB
⊥
OA
，∠
OAB
＝
90
°， △
OAB
是直
角三角形；

③正确．点
B
在射线< br>OA
上的射影值大于
1
时，∠
OAB
是钝角，故△
O AB
是钝角三角
形；

故答案为：
B
．

（
2
）①如图
2
，作
BH
⊥
OC
于点H
，


∵点
B
在射线
OA
上的射影值为，

∴
∴
＝，
＝，

＝，
CA
＝
OA
＝
OB
＝
1
，

又∵∠
BOH
＝∠
COB
，

∴△
BOH
∽△
COB
，

∴∠
BHO
＝∠
CBO
＝
90
°，

∴
BC
⊥
OB
，

∴直线
BC
是⊙
O
的切线；

②图形是上下对称的 ，只考虑
B
在直线
OC
上及
OC
上方部分的情形．过点D
作
DM
⊥
OC
，作
DN
⊥
OB，


当∠
DOB
＜
90
°时，设
D M
＝
h
，

∵
D
为线段
BC
的中点，

∴
S
△
OBD
＝
S
△
ODC
，

∴
O B
×
DN
＝
OC
×
DM
，

∴
DN
＝
2
h
，

∵在
Rt△
DON
和
Rt
△
DOM
中，

OD
2
＝
DN
2
+
ON
2
＝
DM2
+
OM
2
，

∴
4
h
2< br>+
y
2
＝
h
2
+
x
2
，< br>
∴
3
h
2
＝
x
2
﹣
y< br>2
①，

∵
BD
2
＝
CD
2
，

∴
4
h
2
+
（
1
﹣
y
）
2
＝
h
2
+
（
2
﹣
x
）
2
②，

①②消去
h
得：
y
＝
2
x
﹣．

如图，当∠
BOD
＝
90
°时，过点
D
作
DM
⊥
OC
于点
M
，


∵
D
为线段
BC
的中点，

∴
S
△
OBD
＝
S
△
ODC
，

∴
O B
×
DO
＝
OC
×
DM
，

∵< br>CA
＝
OA
＝
OB
＝
1
，

∴
OD
＝
2
DM
，

∴
sin
∠
DOM
＝，

∴∠
DOM
＝
30
°，

设
DM
＝
h
，则
OD
＝
2
h
，
OM
＝< br>∴
h
2
+
∴
h
＝，

∴
OM
＝，

当点
B
在
OC
上时，
OD
＝，

综上所述，当≤
x
≤时，
y
＝
0
；当＜
x
≤时，
y
＝
2
x
﹣．

故答案为：
y＝
0
（≤
x
≤）或
y
＝
2
x
﹣（＜
x
≤）．



＝
1+4
h
2
，

h
，