高等数学教案最新初中数学模型解题法名师资料合集

2020年11月18日发(作者：谭友夫)
初中数学模型解题法
解答题
1. （2001江苏苏州6分）如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线。
在 上任取一 点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C
作CE⊥AB，垂足为E ．连接BD，交CE于点F。
（1）当点C为 的中点时（如图1），求证：CF=EF；
（2）当点C不是 的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证
明你的结论。

【答案】解：（1）证明：∵DA是切线，AB为直径，∴DA⊥AB。
∵点C是 的中点，且CE⊥AB，∴点E为半圆的圆心。
又∵DC是切线，∴DC⊥EC。
又∵CE⊥AB，∴四边形DAEC是矩形。
∴CD∥AO，CD=AD。∴ ，即EF= AD= EC。
∴F为EC的中点，CF=EF。
（2）CF=EF保持不变。证明如下：
如图，连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，
∵AD、DC是半圆O的切线，∴DC=DA。
∴∠DAC=∠DCA。
∵AB是直径，∴∠ACB=90°。∴∠ACG=90°。
∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°。
∴∠DGC=∠DCG。
∴在△GDC中，GD=DC。
∵DC=DA，∴GD=DA。
∵AP是半圆O的切线，∴AP⊥AB。
又∵CE⊥AB，∴CE∥AP。∴△BCF∽△BGD，△BEF∽△BAD。
∴ 。
∵GD=AD，∴CF=EF。
【考点】探究型，圆的综合题，切线的性质，矩形的判定和性 质，平行线分线段成比例定理，
等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1 ）由题意得DA⊥AB，点E为半圆的圆心，DC⊥EC，可得四边形DAEC是矩
形，即可得出 ，即可得EF与EC的关系，可知CF=EF。
（2）连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC ，由切线长定理可得DC=DA，∠DAC=
∠DCA，由角度代换关系可得出∠DGC=∠DCG，即 可得GD=DC=DA，由已知可得CE∥
AP，所以 ，即可知CF=EF。
2. （2 001江苏苏州7分）已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，∠B、∠
C都为锐角 ，M为AB边上的一动点（M与A、B不重合），过点M作MN∥BC交AC于
点N，设MN=x。
（1）用x表示△AMN的面积；
（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCN M（边AM、AN落在四边形BCNM
所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′M N与四边形BCNM重叠部
分的面积为y。
①用的代数式表示y，并写出x的取值范围；
②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？

【答案】解：（1）∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC。∴ 。
∴ ，即 。
（2）①当点A′落在四边形BCMN内或BC边上时，
（0＜x≤5）。
当点A′在四边形BCMN外，
连接AA′与MN交于点G与BC交于点F，
∵MN∥BC，∴ ，即 。
∴AG= x。∴AA′=2AG=x。∴A′F=x－5。
∴ ，即 。
∴ 。
∴重合部分的面积 。
综上所述，重合部分的面积 。
②∵
∴当x= 时，y最大，最大值为y最大= 。
【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。
【分析】（1 ）根据已知条件求出△AMN∽△ABC，再根据面积比等于相似比的平方的性质
即可求出△AMN的面 积。
（2）根据已知条件分两种情况进行讨论，当点A′落在四边形BCMN内或BC边上时和当点A′在四边形BCMN外时进行讨论，第一种情况很容易求出，第二种情况进行画图，连
接AA′ 与MN交于点G与BC交于点F，再根据面积比等于相似比的平方的性质求出即
可．再根据求出的式子， 即可求出重叠部分的面积y的最大值来。
3. （江苏省苏州市2002年7分）已知：⊙ 与⊙ 外切于点 ，过点 的直线分别交⊙ 、⊙ 于
点 、 ，⊙ 的切线 交⊙ 于点 、 ， 为⊙ 的弦，
（1）如图（1），设弦 交 于点 ，求证： ；
（2）如图（2），当弦 绕点 旋转，弦 的延长线交直线B 于点 时，试问： 是否仍然成立？
证明你的结论。

【答案】解：（1）证明：连结 ，过点 作⊙ 与⊙ 的公切线 。
∴ 。
又∵ 是⊙ 的切线，∴ 。
又∵ ，∴ 。
又∵ ，∴ 。
∴ ，即 。
（2）仍成立。证明如下：
连结 ，过点 作⊙ 和⊙ 的公切线 。
∵ 是⊙ 的切线，∴ 。∴ 。
∴ 。
又∵ ，∴ 。
又∵ ，∴ 。
∴ ，即 。
【考点】相切两圆切线的 性质，弦切角定理，切线长定理，等腰三角形的性质，对顶角的性
质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）连结 ，过点 作⊙ 与⊙ 的公切线 。根据弦切角定理可得 ，由 也是⊙ 的切
线，根据切线长定理可得 ，从而根据等腰三角形等边对等角的性质，得到 ，由对顶角相等
的性质，得到 。又 ，从而 ，根据相似三角形的性质即可证明。
（2）同（1）可以证明。
4.（江苏省苏州市2002年7分）如图，梯形OABC中，O 为直角坐标系的原点，A、B、C
的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。点P、Q同 时从原点出发，分别作匀速运动。
其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、C B向终点B运动。当
这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。
（1）设从出发起运动了 秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q
在OC上或在CB上时的坐标（用含 的代数式表示，不要求写出 的取值范围）；
（2）设从出发起运动了 秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的
周长的一半。
①试用含 的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；
②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如有
可能，求出相应的 的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由。

【答案】解：（1）当点Q在OC上时， 如图，过点C作CE⊥OA于点E，过点Q作QF⊥
OA于点F。
依题意，有OE=4，EC=3，OC=5，OQ=2 。
由△OCE∽△OQF得 ，
即 。
∴ 。∴当点Q在OC上时，点Q的坐标为 。
当点Q在CB上时，如图，过点C作CM⊥OA于点M，过点Q作QN⊥OA于点N。
∵CQ=2 －5，∴OM=4＋2 －5=2 －1。
又MQ=3，∴当点Q在CB上时，点Q的坐标为（ ）。
（2）①∵点P所经过的路程为 ，点Q所经过的路程为OQ，且点P与点Q
所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，
∴ ＋OQ= （14＋3＋10＋5），即OQ=16－ 。
∴点Q所经过的路程为16－ ， 速度为 。
②不能。理由如下：
当Q点在OC上时，如图，过点Q作QF⊥OA于点F。
则OP= ，QF= 。
∴ 。
又∵ ，∴令 ，解之，得 。
∵当 时， ，这时点Q不在OC上，故舍去；
当 时， ，这时点Q不在OC上，故舍去。
∴当Q点在OC上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分。
当Q在CB上时，CQ=16－ －5=11－ ，
∴ 。
∵ ，
∴当Q点在CB上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的
两部分。
综上所述，这时PQ不可能同时平分梯形OABC的面积。
【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）当点Q在OC上时 ，作直角三角形OCE和OQF，由二者相似即可求出此时点
Q的坐标。当点Q在CB上时，过点C作C M⊥OA于点M，过点Q作QN⊥OA于点N，
即可得出OM=4＋2 －5=2 －1，从而求出此时点Q的坐标。
（2）①由点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，列出等
式， ＋OQ= （14＋3＋10＋5），即可求出点Q所经过的路程。用路程÷时间即可求得速度。
②分Q点在OC上和Q点在OC上，分别讨论即可得出结论。
5. （江苏省苏州市2003年7分）如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE
⊥AB，在 上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M。
（1）求∠COA和∠FDM的度数；
（2）求证：△FDM∽△COM；
（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在 上，仍作直线CD、ED，
分别交直
线AB于点F、M。试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。

【答案】解：（1）∵AB为直径，CE⊥AB，∴ ，CG=EG。
在Rt△COG中，∵OG= OC，∴∠OCG=30°。∴∠COA=60°。
又∵∠CDE的度数= 的度数= 的度数=∠COA的度数=60°，
∴∠FDM=180°－∠CDE=120°。
（2）证明：∵∠COM=180°－∠COA=120°，∴∠COM=∠FDM。
在Rt△CGM和Rt△EGM中， ，∴Rt△CGM≌Rt△EGM（HL）。
∴∠GMC=∠GME。
又∵∠DMF=∠GME，∴∠GMC=∠DMF。∴△FDM∽△COM。 （3）结论仍成立。证明
如下：
∵∠EDC的度数= 的度数= 的度数=∠COA的度数，
∴∠FDM=180°－∠COA=∠COM。
∵AB为直径，∴CE⊥AB。
在Rt△CGM和Rt△EGM中， ∴Rt△CGM≌Rt△EGM（HL）。
∴∠GMC=∠GME。∴△FDM∽△COM。
【考点】圆周角定理，锐角三角函数，特殊 角的三角函数值，线段垂直平分线的性质，直角
三角形两锐角的关系，平角定义，直角三角形全等的判定 和性质，垂径定理，相似三角形的
判定。
【分析】（1）由于CG⊥OA，根据垂径定理可得出， ，那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠
F DM=180°－∠CDE=120°。
（2）在（1）中根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线 ，那么△CMG和△BMG就应该
全等，可得出∠CMA=∠EMG，也就可得出∠CMO=∠FMD， 在（1）中已经证得∠AOC=
∠EDC=60°，那么∠COM=∠MDF，因此两三角形相似。 < br>（3）可按（2）的方法得出∠DMF=∠CMO，关键是再找出一组对应角相等，还是用垂径定
理来求，根据垂径定理我们可得出 ，那么∠AOC=∠EDC，根据等角的余角相等即可得出
∠COM =∠FDM，由此可证出两三角形相似。
6. （江苏省苏州市2003年7分）OABC是一张放在 平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原
点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6。 < br>（1）如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，
求 折痕CG所在直线的解析式。
（2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为 。
①求折痕AD所在直线的解析式；
②再作 F∥AB，交AD于点F，若抛物线 过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线
AD的交点的个数。
（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点 ，使纸片沿 翻折后，点O落在BC边
上，记为 。请你猜想：折痕 所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验
证你的猜想。

【答 案】解：（1）由折叠法知，四边形OCEG是正方形，∴OG=OC=6。∴G（6，0），C（0，
6）。
设直线CG的解析式为y=kx+b，则 ，解得 。
∴直线CG的解析式为：y=－x+6。
（2）①在Rt△ABE'中， 。∴CE′=2。
设OD=x，则DE'=x，CD=6－x，
在Rt△DCE'中， ，解得 。则D（0， ）。
设AD所在直线的解析式为y=k'x＋ ，由于它过A（10，0），∴k'= 。
∴AD所在直线的解析式为 。
②∵E'F∥AB，E'（2，6），∴设F（2，yF）。
∵F在AD上，∴ 。∴F（2， ）。
又∵点F在抛物线 上，∴ ，解得h=3。
∴抛物线的解析式为 。
联立 和 得 ，即 。
∵△=0，∴直线AD与抛物线只有一个交点（2， ）。 （3）例如可以猜想：（ⅰ）折痕所在
直线与抛物线 只有一个交点；
或（ⅱ）若作E''F''∥AB，交D'G'于F'，则F'在抛物线 上。
验证：（ⅰ）在图1中，折痕为CG，将y=－x+6代入 ，
得 ，即 。
∵△=0，∴折痕CG所在直线与抛物线 只有一个交点。
或（ⅱ）在图1中，D'即C，E''即E，G'即G，交点F'也为G（6，0），
∴当x=6时， 。∴G点在这条抛物线上。
【考点】二次函数综合题，折叠的性质，正方形 的判定和性质，待定系数法，曲线点的坐标
与方程的关系，勾股定理，一元二次方程根的判别式。 【分析】（1）根据折叠的性质可知：四边形OGEC是个正方形，因此OC=OG=6，据此可得
出G点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线CG的解析式。
（2）①求出D的坐标，根据折叠的性 质可知AE′=OA，那么可在Rt△ABE′中求出BE′
的长，从而可求出CE′的值。在Rt△C DE′中，CD=6－OD，DE′=OD，根据勾股定理即
可求出OD的长，也就得出了D点的坐标， 然后可用待定系数法求出直线AD的解析式。
②①中已经求得CE′的长，即F点的横坐标，可根据直 线AD的解析式求出F点的坐标，
然后将F的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．从而可根据抛 物线的解析式来判
断其与x轴交点的个数。
（3）可以猜想：（ⅰ）折痕所在直线与抛物线 只有一个交点：（ⅱ）若作E''F''∥AB，交D'G'
于F'，则F'在抛物线 上。验证（ⅰ）时，将y=－x+6代入 ，证明△=0即可。验证（ⅱ）
时，说明G（6，0）满足 即可。
7. （江苏省苏州市2004年7分）某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册。该 纪
念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页。印制该纪念册的总费用
由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元张，黑白页50元
张；印刷费 与印数的关系见下表。
印数a (单位：千册) 1≤a＜5 5≤a＜10
彩色 (单位：元张) 2.2 2.0
黑白（单位：元张） 0.7 0.6
（1）印制这批纪念册的制版费为 元；
（2）若印制2千册，则共需多少费用？
（3）如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60 000元，求印数的取值范围。（精
确到0。01千册）
8.（江苏省苏州市2004年8 分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、
B的坐标分别为（3，0），（3，4） 。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的
速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点 N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥
AC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。
（1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示）
（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值。