哑孝子：数学行程问题公式大全及经典习题答案

2020年11月19日发(作者：喻杰)
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基本公式
路程＝速度×时间；
路程÷时间=速度；
路程÷速度=时间
关键问题
确定行程过程中的位置路程
相遇路程÷速度和=相遇时间 相遇路程÷相遇时间= 速度和
相遇问题（直线）
甲的路程+乙的路程=总路程
相遇问题（环形）
甲的路程 +乙的路程=环形周长
追及问题
追及时间＝路程差÷速度差
速度差＝路程差÷追及时间
路程差＝追及时间×速度差
追及问题（直线）
距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追及时间
追及问题（环形）
快的路程-慢的路程=曲线的周长
流水问题
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顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间
逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间
顺水速度=船速＋水速
逆水速度＝船速－水速
静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2
水速：（顺水速度－逆水速度）÷2
解题关键
船在江河里航行时，除了本身的前进速 度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计
算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船 问题。
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关
系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速，（1）
逆水速度=船速-水速.（2）
这里，船速是 指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在
单位时间里流过的路程.顺 水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里
所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
船速=顺水速度-水速。
由公式（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度，
船速=逆水速度+水速。
. .word.资料. ..
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这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个 ，
就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得
到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。



例：设后面一人速度为x，前面得为y，开始距离为s，经时间t后相差a米。那么
（x-y)t=s-a
解得t=s-ax-y.
追及路程除以速度差（快速- 慢速）=追及时间
v1t+s=v2t
(v1+v2)t=s
t=s(v1+v2)

（一）相遇问题
两个运动物体作相向运动或在环 形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问
题叫做相遇问题。它的特点是两个运 动物体共同走完整个路程。
小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。
它们的基本关系式如下：
总路程=（甲速+乙速）×相遇时间
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相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度
（二）追及问题
追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向 一般是相同的。由于速
度不同，就发生快的追及慢的问题。
根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，罕用下面的公式：
距离差=速度差×追及时间
追及时间=距离差÷速度差
速度差=距离差÷追及时间
速度差=快速-慢速
解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之 中，找出两者，然后运用公
式求出第三者来达到解题目的。
（三）二、相离问题
两 个运动物体由于背向运动而相离，就是相离问题。解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋
势的距 离（速度和）。
基本公式有：
两地距离=速度和×相离时间
相离时间=两地距离÷速度和
速度和=两地距离÷相离时间
流水问题
顺 流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三
者之间 的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。
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船在静水中行驶，单位时间所走的距离叫做划行速度或叫做划力；顺水行船的速度叫顺流速 度；逆水
行船的速度叫做逆流速度；船放中流，不靠动力顺水而行，单位时间走的距离叫做水流速度。各 种速
度的关系如下：
（1）划行速度+水流速度=顺流速度
（2）划行速度- 水流速度=逆流速度
（3）（顺流速度+ 逆流速度）÷2=划行速度
（4）（顺流速度- 逆流速度）÷2=水流速度
流水问题的数量关系仍然是速度、时间与距离之间的关系。即：速度×时间 =距离；距离÷速度=时间；
距离÷时间=速度。但是，河水是流动的，这就有顺流、逆流的区别。在计 算时，要把各种速度之间
的关系弄清楚是非常必要的。






1 每份数×份数＝总数
总数÷每份数＝份数
总数÷份数＝每份数
2 1倍数×倍数＝几倍数
几倍数÷1倍数＝倍数
几倍数÷倍数＝1倍数
3 速度×时间＝路程
路程÷速度＝时间
路程÷时间＝速度
4 单价×数量＝总价
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总价÷单价＝数量
总价÷数量＝单价
5 工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
6 加数＋加数＝和
和－一个加数＝另一个加数
7 被减数－减数＝差
被减数－差＝减数
差＋减数＝被减数
8 因数×因数＝积
积÷一个因数＝另一个因数
9 被除数÷除数＝商
被除数÷商＝除数
商×除数＝被除数
小学数学图形计算公式
1 正方形
C周长 S面积 a边长
周长＝边长×4
C=4a
面积=边长×边长
S=a×a
2 正方体
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V:体积 a:棱长
表面积=棱长×棱长×6
S表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a
3 长方形
C周长 S面积 a边长
周长=(长+宽)×2
C=2(a+b)
面积=长×宽
S=ab
4 长方体
V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高
(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2
S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高
V=abh
5 三角形
s面积 a底 h高
面积=底×高÷2
s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底
三角形底=面积 ×2÷高
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6 平行四边形
s面积 a底 h高
面积=底×高
s=ah
7 梯形
s面积 a上底 b下底 h高
面积=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)× h÷2
8 圆形
S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径
(1)周长=直径×∏=2×∏×半径
C=∏d=2∏r
(2)面积=半径×半径×∏
9 圆柱体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
(1)侧面积=底面周长×高
(2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高
（4）体积＝侧面积÷2×半径
10 圆锥体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径
体积=底面积×高÷3
总数÷总份数＝平均数
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和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数
(和－差)÷2＝小数
和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或者 和－小数＝大数)
差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或 小数＋差＝大数)
植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数－1)
株距＝全长÷(株数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
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全长＝株距×(株数＋1)
株距＝全长÷(株数＋1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2
水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2
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浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)












奥数行程问题的基本公式
时间：2010年02月02日 作者： 来源：互联网 点击量：244

基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。
关键问题：确定行程过程中的位置
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相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式）
追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间 逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间
顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水 速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
仅供参考：
【和差问题公式】
（和+差）÷2=较大数；
（和-差）÷2=较小数。
【和倍问题公式】
和÷（倍数+1）=一倍数；
一倍数×倍数=另一数，
或 和-一倍数=另一数。
【差倍问题公式】
差÷（倍数-1）=较小数；
较小数×倍数=较大数，
或 较小数+差=较大数。
【平均数问题公式】
总数量÷总份数=平均数。
【一般行程问题公式】
平均速度×时间=路程；
路程÷时间=平均速度；
路程÷平均速度=时间。
【反向行程问题公式】
反向行程问题可以分 为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。
这两种题，都可 用下面的公式解答：
（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；
相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；
相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。
【同向行程问题公式】
追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；
追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；
（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。
【列车过桥问题公式】
（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；
（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；
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速度×过桥时间=桥、车长度之和。
【行船问题公式】
（1）一般公式：
静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；
船速- 水速=逆水速度；
（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；
（顺水速度- 逆水速度）÷2=水速。
（2）两船相向航行的公式：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
（3）两船同向航行的公式：
后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。
（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目）。
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思维调查卷
时间：30分钟 总分：100分（基分20） ：________ 得分：________
试卷说明：本卷共6题，要求简单明了写出解答过程，最后的结果请填在试题的横线上。
1. 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环行跑道匀速跑步，如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲< br>时，甲的速度立即提高
1
1
，而乙的速度立即减少，并且乙第一次追上甲的地点 与第二次追上甲的地点相距（较
4
5
短距离）100米，那么这条环行跑道的周长是_ _____米；
解：设甲原来的速度是1个单位，则乙原来的速度是2.5个单位，甲后来的速度是1 .25个单位，乙后来的速度是2
个单位。设第一次甲跑了
x
圈时被乙追上，则此时乙 跑了(
x
+1)圈；被追上后甲又跑了
y
圈再次被乙追上，则乙又跑
了(
y
+1)圈。利用两次甲乙跑的时间相等列方程：
A
xx?1

?
12.5
yy?1

?
1.252
22
解得：
x?,y?1

33
C
B
如图，若两人从
A
出发逆时针跑，则第一次乙 在
B
点追上甲，第二次在
C
点追上甲（
A
、
B、
C
是圆周的三等分点）。
因为
B
、
C
相距1 00米，所以环形跑道的周长为
100?3?300
米。

2. 两块手表 走时一快一慢，快表每9小时比标准表快3分钟，慢表每7小时比标准表慢3分钟。现在把快表指示
时间 调成是8:15，慢表指示时间调成8:31，那么两表第一次指示的相同时刻是___:___；
答案：5：22

3. 一艘船在一条河里5个小时往返2次，第一小时比第二小时 多行4千米，水速为2千米／小时，那么第三小时
船行了_____千米；
解：首先判断出开 始是顺流。在第1小时和第2小时这两个相等的时间，速差是4，路程差也是4，那么得到第1
小时正好 是走一个顺流的长度。由于第1个小时在顺水时走的才是一个全长，那么第4小时肯定是逆水。具体行驶
情况如图。
再者，第2小时和第3小时逆行的路程都是4，那么它们顺行的路程也必须相等，故第3小 时的最终时刻到全
长的中点。
最后，比较第3小时和第3小时行驶的情况：设全长为2
a
千米，船在静水中的速
度为每小时
x
千米。
4
a42a?42a
，
???
x?2x?2x?2x?2
4
解得
a
＝10千米。

4. 小明早上从家步行到学校，走完一半 路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明送书，追
3
的路程未走完，小明 随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。这样，小明就比独自步行提早
10
了5分钟到学校，小明 从家到学校全部步行需要______分钟；
上时，小明还有
解：小明走
772712
??
，与小明的爸爸走
的时间相同，所以他们的速度比是：＝7：2，接下 来如果小明
101010
10210
3
333
的路程，那么小明就多 用5分钟，设速度的一份为
x
，则
?2x??7x?5,x?
，所
1 0
1010140
步行，爸爸骑车都走
. .word.资料. ..
. . . .
以小明的速度是
3331
，从家到学校的路程是1，所用时间是
1??2??23
分钟。
14070703
行程问题下
【老师寄语】：解 行程问题要会读题，一遍快速归类浏览；二遍逐句解读整理；三遍回头寻找误解。最终要学
会“纸上谈兵 ”。
——拓
一、环行运动：
1. 男、女两名运动员同时同向从环形跑道上
A
点出发跑步，每人每跑完一圈后到达
A
点会立即调头跑下一圈。跑
第一圈时，男运动员 平均每秒跑5米，女运动员平均每秒跑3米。此后男运动员平均每秒跑3米，女运动员平
均每秒跑2米。 已知二人前两次相遇点相距88米（按跑道上最短距离），那么这条跑道长______米；
53解：因为第一圈时男运动员的速度是女运动员的倍，所以男运动员跑完第一圈后，女运动员刚刚跑到全长的位
35
1
置。这时男运动员调头和女运动员以相同的速度相向而行，所以第一次相遇点在 距
A
点全长处。
5
下面讨论第二次相遇点的位置，在第二次相遇前，男运动 员已经跑完第二圈，男运动员跑第二圈的速度与女运动员
第一圈的速度相同，所以在男运动员跑完第二圈 时，女运动员跑第二圈的时间恰好等于男运动员跑第一圈的时间，
而女运动员跑第二圈的速度是男运动员 跑第一圈速度的
22
，所以女运动员刚好跑到距A点的位置，此时男女运动
55
9
。两次相遇点间的
25
员相向运动，男运动员的速度为3ms，女运动员的速度为 2ms。这样第二次相遇点距
A
点
19141114
距离为总全长的
?
。所以两点在跑道上的最短距离为全长的
??1?
。而这段距离又为88米。所以< br>525252525
88÷
11
＝200米。
25

2. 在一圈300米的跑道上，甲、乙、丙3人同时从起跑线出发，按同一方向跑步，甲的速度是6千 米小时，乙
的速度是
发点；
分析：我们注意到，3人跑到一起的意思是快者比慢者跑 的路程差应是300的整数倍；如果都同时回到出发点，那
么每人跑的路程都是300的整数倍。同时注 意到本题的单位不统一，首先换算单位，然后利用求两个分数的最小公
倍数的方法可以解决问题。
解：（1）先换算单位：甲的速度是
分钟。
（2）设
t
分钟3人第 一次跑到一起，那么3人跑的路程分别是
100t
米、
是300的整数倍。而
t?[
钟。
（3）设
k
分钟3人同时回到起点，那么3人跑的路程 分别是
100t
米、
30
千米小时，丙的速度是3.6千米小时，_____ 分钟后3人跑到一起，_____小时后三人同时回到出
7
68000
米分钟；丙的速 度是
?100
米分钟；乙的速度是
??60
米
607?6075?6 0
50020080
t
米、
60t
米。路程差
40t,t, t
都
777
105
300300?7300?7153?715?7105< br>，所以第一次3人跑到一起的时间是
分
,,]?[,,]?
4
2
500
t
米、
60t
米。每个路程都是300的整
7
. .word.资料. ..
. . . .
300300?730021
,,]?[3,,5]?105
，所以3人 同时回到起点的时间是105分钟。
100500605
评注：求几个分数的最小公倍数的方 法是：所有分子的最小公倍数作分子，所有分母的最大公约数作分母得到的分
数。

3. 某体育馆有两条周长分别为150米和250米的圆形跑道〔如图〕，甲、乙俩个运动员分别从两 条跑道相距最远
的两个端点
A
、
B
两点同时出发，当跑到两圆的交汇 点
C
时，就会转入到另一个圆形跑道，且在小跑道上必须
顺时针跑，在大跑道上必须逆 时针跑。甲每秒
跑4米，乙每秒跑5米，当乙第5次与甲相遇
时，所用时间是______秒。
分析：本题如果按原来的图形思考，会是非常麻烦
B
A
A
C B
的事，需要分段计算，然后找到周期，这样没有细
心的计算是很难解决问题的。现在我们注 意到在小
圆上是顺时针，在大圆上是逆时针，如果这两个圆
能“拧开”就是一个在周长400米 的大圆上的不同起点同时的追及问题，题目一下子变得非常简单了。
解：根据分析，甲在
A< br>处，乙在
B
处，相距200米同时同向而行，乙速较快，第一次追上甲要多跑200米， 以后
每追上一次乙都要比甲多跑400米，那么第五次乙追上甲时，比甲多跑400×4+200＝18 00米，需要的时间是1800÷
（5－4）＝1800秒。
评注：当一个问题按试题指引的 方向比较复杂时，有时可以换一个角度得以使试题简化，而题目本身并没有实质上
的变化，这是解决数学 问题经常用到的“转化”的数学思想。

8
4. 如图，正方形
ABCD
是一条环行公路。已知汽车在
AB
上时速是90千米，在
N
B < br>BC
上的时速是120千米，在
CD
上的时速是60千米，在
DA上的时速是80
A
千米。从
CD
上一点
P
，同时反向 各发出一辆汽车，它们将在
AB
中点相遇。
9
如果从
PC
的中点
M
，同时反向各发出一辆汽车，它们将在
AB
上一点
N
相
6
数倍。而
t?[
AN
?______；
NB分析：对于正方形的路线，每边长是相同的，由于反向开出的两辆车，不管走什
样的路况，到相遇的 时候走的时间相同，故可以把每边设成速度的倍数，转化成
间来解题。
遇。那么
D
P
M
12
C
么
时
解：设正方形的边长为7 20千米，那么
AB
上行驶的时间是720÷90?8小时，
BC
上行驶的时 间是720÷120?6小
时，
CD
上行驶的时间是720÷60?12小时，
DA
上行驶的时间是720÷80?9小时。那么行驶一周的总时间是
8+6+12+9?3 5小时。
从
CD
上一点
P
，同时反向各发出一辆汽车，它们 将在
AB
中点相遇，相当于从
AB
中点同时反向各发出一辆汽
车，它 们在
CD
上一点
P
相遇，每辆车都行驶35÷2＝17.5小时，
D P
上的时间为17.5?4?9?4.5小时，
PM
上的时
间为（12?4. 5）÷2?3.75小时。同样得到
AN
上的时间为17.5?3.75?4.5?9?0.2 5小时，
NB
上的时间为8－0.25
AN0.251
??
。 NB7.7531
评注：本题要把握住从起点到终点的时间和从终点到起点的时间相同，很容易求得
DP
上的时间。同时注意到把边
长设成速度的最小公倍数解题可以简化计算。

二、时钟问题：
5. 早上8点多的时候上课铃响了，这时小明看了一下手表。过 了大约1小时下课铃响了，这时小明又看了一下手
表，发觉此时时针和分针的位置正好与上课铃响时对调 ，那么上课时间是_______时______分。
分析：8点多上课，下课是9点多，两次的时针 应是在8－9与9－10之间，这样可以初步判断出上课时间是8：
点45分到8：50，下课时间是9 ：40到9：45之间。再利用分针与时针速度的关系即可转化成环形上的行程问题。
＝7.75小时 。
AN
、
NB
上的速度相同，故路程比就等于时间比。即
. .word.资料. ..
. . . .
解：有分析可以知道，分针和时针走的总路程是整个圆周，设分针速度为1，那么时针速度 为
60个小格，设8与时针的夹角为
x
格，9与分针的夹角为
y
格， 根据时间相同列方程组：
?
x45?y
?
1
?
1
?
?
12
?
y40?x
,
?
?
1
?
1
?
?12
1
，分针每小时走
12
x?4
8
88
。所以上课的时间为40+
4
?
44
分钟。
143
143143

6. 一只旧钟的分针和时针每65分钟(标准时间的 65分钟）重合一次,这只钟在标准时间的1天（快或慢）______
分钟；
分析：我们标 准钟每65
5
标准分钟时针、分针重合一次。旧钟每65分钟重合一次。显然旧钟快。本题的难 点在
11
于从旧钟两针的重合所耗用的65标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度(每标准 分钟旋转多少格)进而推算出
旧钟的针24标准小时旋转多少格，它与标准钟的针用24标准小时所走的 格数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟
快的时间读数。
1
标准分钟。如用复合单位表示：旧钟分针速度为
x
(格标
x11
准分)。旧钟分针走60格时针走5格，时针速度总是分针的，所以旧钟时针速度为
x
(格标准分)。每次重合
1212
112?12
耗用65标准分钟，而且两 次重合之间分针赶超了时针60格，列方程：
(1?)x?65?60,x?
.
12 13?11
12?12
标准时间一天有60×24＝1440标准分，一天旧钟分针走的格数为 ：
×60×24。但是我们只须求出旧钟分
13?11
12?1212?12
针比标准钟分针多走了多少格，即减去1440个(标准钟的)格，所以有
×60×24－60×24＝ (
－1)×60×24
13?1113?11
144－14360?2410
＝
×60×24＝
＝10(旧钟格)
13?11143
13?11
10
这里一定要明白，这10只是旧钟上显示的多走的格数，也是旧钟的非标准分钟数，并非标准的分钟 数。
143
10
答：这只旧钟在标准时间一天快10分钟。(按旧钟上的时间)
143
解：设旧钟分针每标准分钟走
x
格。那么，每走1格用

7. 一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为成差数列递增。现在可以设定指针第一 秒转动的角
度
a
（
a
为整数），以及相邻两秒转动的角度差1度，如 果指针在第一圈曾经指向过180度的位置，那么
a
最小
可以被设成_______， 这种情况下指针第一次恰好回到出发点是从开始起第_____秒。
解：对于满足条件的
a< br>，即存在1个自然数
n
，使得
a
+(
a
+1)+(< br>a
+2)+?+(
a
+
n
?1)=180，即(2
a
+
n
?1)
n
=360。显
然
a
越小时， 2
a
+
n
?1与
n
的差越小。又2
a
+< br>n
?1与
n
的奇偶性不同，于是可推出
n
=15，
a
=5。故
a
最小可以
被设成5。在这种情况下指针第一次恰好回到出发点时， 即5+6+7+……+
n
=360
k
（
k
是整数，
n
?
5），所以
?
n
+5?(
n
?4)能被720 整除。注意到
n
?4
?
n
+5(
mod
3)，所以
n
?4和
n
+5是3的倍数。又
n
+5与
n
?4的奇偶性
不同，故有一个是16的倍数。且
n
+5与
n
?4中 有1个是5的倍数。于是得出满足条件的最小的
n
是100。时
间为96秒。

三、流水行船问题：
. .word.资料. ..
. . . .
8. 某人乘坐观光游船沿河流方向从
A
港到
B
港前行 。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船,每隔20分
钟就会有一艘货船迎面开过。已知
A
、
B
两港之间货船发出的间隔时间相同，且船在静水中的速度相同，均是
水速的7倍。那么货船的发出间隔是_____分钟；
分析：对于直线上汽车与行人的迎面相遇和背后 追及这个类型的问题是多见的，这里要注意顺水与逆水的不同。
解：设货车在静水中的速度为6，那么 水速为1，游船的速度为
x
，时间间隔为
t
，那么在追及的情况下的间隔为< br>30×[(6+1)?(
x
+1)]?(6+1)×
t
，迎面相遇情况 下的间隔为20×[(6?1)+(
x
+1)]?(6?1)×
t
，解得t
＝72029分钟。
评注：这里要注意与路面上的情况不同的是发车的时间间隔相同时 候，在顺水与逆水的间隔路程就不同了，就是这
样出错的。

9. 有一地区，从< br>A
到
B
为河流，从
B
到
C
为湖。正常情况下 ，
A
到
B
有水流，
B
到
C
为静水。有一人 游泳，他
从
A
游到
B
，再从
B
游到
C用3小时；回来时，从
C
游到
B
，再从
B
到
A
用6小时。特殊情况下，从
A
到
B
、
从
B
到
C
水速一样，他从
A
到
B
，再到
C
用2 .5小时，在在这种情况下，从
C
到
B
再到
A
用_____ _小时；
解：设
BC
为1份，
AB
为
x
份，则< br>AB
占总体的
x1
，
BC
占总体的，根据特殊情况下，从A
到
B
、从
B
到
C
x?1x?1
2. 5x2.5
??2.5
.
x?1x?1
水速一样，他从
A
到
B
，再到
C
用2.5小时，速度相同，时间的比等于路程的比，得到关于时 间的等式
这样得到其它两个条件的等式：
2.5x0.5x?35.5x?30.5x?3??3,??6,

x?1x?1x?1x?1
5.5x?3
5.5x? 3
x
???
而要求的算式是
x?1x?1
5.5x?3
0 .5x?32.5
x
这样知道在
BC
上逆水时的时间为，静水时所用时间为， 顺水时所用时间为，所以在
BC
x?1
x?1x?1
上逆水、静水、顺水时的 速度比为
1
x1
：：，由于三者是公差为水速的等差数列，所以得到等式：
5 .5x?30.5x?3
2.5
1
2x3
??
，
x?
.
0.5x?35.5x?3
2.5
2
5.5x?3
5.5x? 3
x
??4.5?3?7.5
. 所以
x?1x?1
答：在特殊情况 下，从
C
到
B
再到
A
用7.5小时。
评注：本题 的关系十分复杂，把四个条件都用时间表示出来，然后寻找在
BC
上的三种速度是一个等差数列 。

10.
A
地位于河流的上游，
B
地位于河流的下游 ，每天早上，甲船从
A
地、乙船从
B
地同时出发相向而行。从12
月 1号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原来的1.5倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了1千米。由于天气的原因，今天（12月6号）的水速变为平时的2倍，那么今天两船的相遇地点与1 2
月2号相比，将变化_______千米；
分析：对于流水行船问题，注意水速的影响，水中相遇时，速度的和不变；
解：设开始甲船在 静水中中速度为V
甲
，乙船在静水中速度为V
乙
，水速为V
水
，相遇时间为
t
。
2
（1）开始时相遇时间为
t
，而速 度均增加1.5倍时，行驶路程不变，故时间缩小1.5倍时间即为
t
?1.5=
t< br>，根据两
3
22
次相遇点相距1千米，甲两次的路程差为1千米，列方程，t(1.5V
甲
?2V
水
）?（t1.5V
甲
?V水
）=1
，
tV
33
水
=3，从而
2222< br>；
t(1.5V
甲
?2V
水
）?（t1.5V
甲< br>?V
水
）?tV
水
??3?2
（千米）
3333. .word.资料. ..
. . . .
评注：从题目结论可以看出，路程的变化与甲、乙速度无关，只与水速的变化有关；

四、综合行程：
11. 司机每天按规定时间开车从工厂到厂长家接厂长。一天厂 长提前了1小时出门，沿路先步行，而司机晚出发了
4分钟，途中接到厂长，结果厂长早到厂8分钟，那 么开车速度与厂长步行速度的比是_____；
分析：本题给的是时间的关系。要知道，相同的路程下，路程比等于时间的反比。
解：司机晚 出发4分钟，又早到8分钟，那么相当于少用4?8?12分钟时间接厂长到厂，又知道司机来回的时间是
相等的，故司机去的时候少用12?2＝6分钟。而司机这6分钟走的路程是厂长步行的路程，厂长走这段路的 时间应
该是早出发的1小时加上司机遇到厂长时少用的6分钟，共66分钟。根据分析，相同的路程情况 下，司机的速度
与厂长步行的速度比是66：6＝11：1。
评注：不要认为司机6分钟的路 程是厂长1小时的路程，而是要加上司机去的时候少用的6分钟，想一想，为什么？

12. 某路公交线共有30站（含始发站和终点站），车站间隔2.5千米，某人骑摩托车以300米分的速度从始发站
沿公交线出发，差100米到下一站时，公交总站开始发车，每2分钟一辆，公交速度500米分，每站 停靠3
分钟，那么一路上摩托车会被公共汽车从后追上并超过_______次；（摩托车从始至终不停 ，公交车到终点即停）
解：摩托车与总站相距2400米的时候，第一辆车开始发车，它与摩托车超过 9次，第二辆超过8次，第三辆超过
2次，共计19次；

13. 甲、乙两人分别 从
A
、
B
两地同时出发，4小时后在某处相遇；如果甲每小时多走1.5千米 ，而乙比甲提前24
分钟出发，则相遇时仍在此处。如果甲比乙晚48分钟出发，乙每小时少走2.5千 米，也能在此相遇，那么
A
、
B
两地之间的相距_______千米；
分析：本题的关键是三次相遇的地点相同，然后考虑各自的时间和速度的变化。
解：假设甲乙 4小时相遇在C处，当甲每小时多行1.5千米时，要走相同的路程，则时间就少用
际所用时间是4－0 .4＝3.6小时，那么甲原来的速度是
24
?0.4
小时，实
60
1.5?3.6
?13.5
千米小时；当乙每小时少走2.5千米，则走
0.4
482.5?4.8
相同的路程要多用
?0.8
小时，实际所用的时间是4+0.8 ＝4.8小时，那么乙原来的速度是
?15
千米小
60
0.8
时。所 以A、B两地的距离是（13.5+15）×4＝114千米。
解法二：设甲的速度是x千米小时，乙 的速度是y千米小时，则甲乙的路程分别是4x千米、4y千米。那么
4y24
?
4 x
?
?
x?1.5y
?
60
?
?
?
4x
?
48
?
4y
?
?
x60y?2.5
9
?
x
?
?
x?1.510
?
?
6?
?
y
?
?
5y?2.5
?
x?13.5
?
?
y?15
所以A、B两地的距离是（13.5+15）×4＝11 4千米。
评注：这里注意到乙多走的24分钟，相当于甲少走了24分钟，速度增加，时间减少，路程 不变的情况。

14. 有轿车、货车、公共汽车各一辆在一条公路上行驶，公共汽车在最前 面，轿车在最后面，公共汽车与货车的车
距是货车与轿车车距的2倍。轿车追上货车的时间为10分钟， 再过20分钟追上公共汽车，又过20分钟，货
车也追上公共汽车，其中公共汽车每走5分钟就停靠车站 一次，每次停留2分钟，那么轿车、货车、公共汽车
行驶速度比为___:___:___；
解：如图设轿车、货车、公共汽车的速度分别为
v
1
,v
2
,v3
,
轿车和货车的距离为a，那么轿车追上货车时，各自行驶
了10分钟，轿车追 上公共汽车时，轿车行驶了30分钟，而公共汽车只行驶了22分钟（30÷7＝4…2，4×5＋2＝
22），当货车追上公共汽车时，货车行驶了50分钟，公共汽车行驶了36分钟（50÷7＝7…1，5×5＋ 1＝36），可以
. .word.资料. ..
. . . .
得到方程组：
(1)
?
10v
1
?10v< br>2
?a
?
?
30v
1
?22v
3
? 3a(2)

?
50v?36v?2a(3)
3
?
2
轿车
a
货车
2a
公共汽车
（3）－（1）×2得：
35v
2
?10v
1
?18v
3
（1）×3－（2）得：
v
2
:v
3
?22:30

从而得到
v
1
:v
2
:v
3
?23:22:30

评注：本题涉及到三个对象的运动，要弄清各自的运动情况是理清解题思路的关键，同时注意 到公共汽车是有间歇
的行驶，虽然时间有那么多，而实际行驶的需要换算。

15.
A
、
B
、
C
三地依次分布在由西向东的同一条道路上，甲、 乙、丙分别从
A
、
B
、
C
同时出发，甲、乙向东，丙
向西；乙，丙在距离
B
地18千米处相遇，甲，丙在
B
地相遇，而当甲在< br>C
地追上乙时，丙已经走过
B
地32
千米，那么，
AC
间的路程是______千米；
思路：三人有时间相同的路程，使用比例，路程比等于速度比；
解：如图设
a
、
b
；
B
18
A C
（1）
V
乙
：
V
丙
=18：
b
；
b
①
（2）
V
甲
：
V
丙
=（ 32+
a
）：（18+
b
）；
丙
（3）
V甲
：
V
乙
：
V
丙
=（50+
a
+
b
）：（18+
b
）：（50+
b
）；
A B 丙
由①、②可知
V
甲
：
V
乙
：
V< br>丙
=（32+
a
）
②
C
b
:18(18 +
b
):
b
(18+
b
),
从而
V甲
：
V
乙
：
V
丙
=18（50+
a< br>+
b
）：18(18+
b
)：18
乙
A B C
32
a
?
丙
③
?
?
32?a?
b?18
?
50?a?b
?
（50+b）
?

甲
?
?
b
?
18?b
?
?18
?
50?b
?

1.
?
a?40
，所以
AC
间距离为40+32+18+30=120（千米
行程问题上
?
b?30
?
练习题
甲、乙二人分别从圆形跑道的直径两端点同 时出发以匀速反向绕此圆形路线
运动，当乙走了100米后，二人第一次相遇，在甲差60米走完一周时 又第
二次相遇，如果两个人同向出发，那么甲第一次追上乙时距离他的出发点有
乙
甲
______米；
解：第一次相遇时两人共走了半个圆周，从开始到第二次相遇两人共走了三 倍的
半圆周，那么乙走了100×3＝300米，它恰好是半圆周的多60米，这样圆周长是
（ 300－60）×2＝480米。
乙走100米时，甲走了240－100＝140米，这相当于两人 的速度，两人同向出发时，甲要比乙多走半个圆周就追
上乙，需要的时间是240÷（140－100） ＝6个半圆周，这时甲走了6×140＝840米，480×2－840＝120米，因此
甲第一次追上 乙时距离他的出发点有120米。

2. 某工厂的计时钟走慢了，分针70分钟与时针重合 一次，师傅按照慢钟工作8小时，工厂规定超时工资比原工
资多3.5倍，师傅原工资为每小时3元，这 天工厂应付师傅超时工资______元；
分析：首先要把这个慢表的1小时转换成标准时间的1小时。
解：在慢表中，70分钟分针和 时针重合一次，而标准时间是
720
分钟分针和时针重合一次。那么慢表中的8小时
1 1
. .word.资料. ..
. . . .
在标准时间中是70×8÷
720720
，超出的时间是70×8÷－8 ，由于超出的每小时的工资是3×（1+3.5）＝13.5元，
1111
720
－8 ）÷13.5＝7.5元。
11
1
，再设x分时针和分针重合，分针比时针多走60 个格，故有
12
那么超时工资就是（70×8÷
评注：设分针的速度是1，那么时针的 速度是
(1?
1720
（分钟）。
)x?60,x?
1211

3. 江上有甲、乙两个码头，相距15千米， 甲码头在乙码头的上游。一艘货船和一艘游船同时分别从甲码头和乙
码头出发向下游行驶。5小时后货船 追上游船。又行驶了1小时，货船上有一物品落入江中，6分钟后货船上
的人发现并掉转船头去找，找到 时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时______千米；
解：（1）货船比游船每小 时快15÷5＝3千米，当相遇后1小时，游船与货船的距离是1×3＝3千米，当货船返回到
物品时的 时间还是6分钟，那么游船船走6×2＝12分钟时，那么游船12分钟的顺水路程加上货船逆水6分钟的路程恰好是货船6分钟顺水路程加上3千米的路程，即
1266
??
V
乙< br>?
V
水
????
V
甲
?
V
水
?=??
V
甲
?
V
水
??3，解得
V
乙
606060
=15千米小时。
评注：注意到当一个物体从一个船上掉入水中，那 么船是顺水速度，物体是水速，相当于船在静水中的速度；而返
回寻找物体时，船是逆水速度，物体还是 水速，两者速度和还是船在静水中速度。即船来回的时间是相同的。

4. 某校和某工厂之 间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这位劳模在
下午1时便 离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达。那么
汽车速 度是劳模步行速度的_____倍；
解：汽车走单程需要602=30分钟，实际走了402=20分 钟的路程，说明相遇时间是2：20，2点20分相遇时，
劳模走了60+20=80分钟，这段距离汽 车要走30-20=10分钟，所以车速劳模速度=8010=8
答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。
5. 甲、乙两人同时从
A
、
B
两地出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，两人在途中
C
点相遇。如果甲 晚出
发7分钟，两人在途中
D
处相遇，且
A
、
B
中 点
E
到
C
、
D
两点的距离相等，那么
A
、
B
两地间距离为_______
米；
解：甲晚出发7分钟，相当于乙先走7 分钟，这7分钟，乙走
60×7＝420米，如果是甲乙和走这段路程，那么需要420÷（80
A
D E
C
B
了
＋
60）＝3分钟，那么第二次 比第一次相遇的时间差是7－3＝4分钟，4分钟乙走了
CD
，那么
CD
＝4 ×60＝240米，
第一次两人的路程差是240米，速度差是80－60＝20米分钟，那么第一次相 遇的时间是240÷20＝12分钟，所
以
A
、
B
两地的距离是12 ×（80＋60）＝1680米。

6. 某人骑摩托车以300米分的速度从始发站沿公交 线出发，在行驶2400米时，恰好有一辆公共汽车总始发站
出发，公交速度500米分，每站停靠3分 钟，两站之间要行驶5分钟，那么一路上摩托车会与公共汽车遇见
_______次；
解：摩托车与总站相距2400米的时候，遇见10次。

7. 一辆客车和一辆面 包车分别从甲、乙两地同时出发相向而行。客车每小时行驶32千米，面包车每小时行驶40
千米，两车 分别到达乙地和甲地后，立即返回出发地点，返回时的速度，客车每小时增加8千米，面包车每小
时减少 5千米。已知两次相遇处相距70千米，那么面包车比客车早返回出发地______小时；
解：客车 与面包车速度比为32：40?4：5，设
AB
为1，则
AC
?
4< br>，
9
. .word.资料. ..
. . . .
5
5441140?57725
CB
?，当面包车到达
A
，客车距
B
点
???
，当客车到达
B
点时，面包 车已经返回
??
，
1??
，
9955532323232
9
2535?40555555
DB
?
?
CD
=
?? ,AB?70??504
，面包车从
D
点返回需要的时间是
504??35? 6
小时，
?
，
324
客车从
D
点返回需要（504 －210）÷40＝7.35。
那么面包车比客车早返回出发地7.35－6＝1.35小时。

8. 小明和小亮分别从相距3千米的甲、乙两地同时出发，保持均匀的速度相向而行。当二 人相遇后，小明又用了
16分钟到达了乙地，此后又经过9分钟小亮到达了甲地，那么当小明到达乙地时 小亮距甲地______米；
解：设小亮的速度是
x
米分钟，小亮的速度是
y
米分钟，那么

x
?
3000??16y
?
x?y
?
?
?
3000?
y
?(16?9)x
?
x?y
??
x16(x?y)
?
?
y3000
?
?
?< br>y
?
25(x?y)
?
x3000
?
(x?y)2
?
3000?3000
,x?y?150
，
16?25
x?
200200
,9x?9??600
.
33

9.
A
、
B
两地相距105千米，甲、乙 两人分别骑车从
A
、
B
两地同时出发，甲速度为每小时40千米，出发后1小
时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑。在他们相遇3分钟后，甲与迎面骑车而来的丙 相遇，
而丙在
C
地追上乙。若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速快2千米 的车速，两人同时分别从
A
、
B
出发相向而行，则甲、乙二人在
C< br>点相遇。则丙的车速是每小时______米；
解：乙原来车速是每小时（105÷
1
乙原来速度到C点时间是
22千米用的时间是
45105
）?40=20千米 ，乙加速后与甲在
C
相遇，
CA
距离是20×=50千米，
6020 ?22
105?501148
?
小时。甲、乙原来相遇地点与
C
点的 距离是
40?1?50?22
千米，丙走这
20460
44819193小时。丙车速是每小时
22??1??23
千米。

1160202019

10. 一架飞机带的燃料最多用6小时，顺风去，每小时1 500公里，逆风回，每小时1200公里，飞机最多飞出______
小时返回；
解：我们 知道去时顺风，每小时1500公里，也就是去时每走1公里用
也就是回来时每走1公里用
1< br>小时，回来时逆风，每小时1200公里，
1500
1113
小时。这样，每公 里的路程来回共需要
小时。
??
1200
3
=4000(公里)
2000
燃料最多能用6小时，所以飞机最多可飞行
6?
8
顺风时飞 行4000公里需要4000÷1500=小时。
3
8
所以最多飞出小时。
3

11. 已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同。猫跑7步的路程与兔跑5步 的路程相同。而猫跑3步的时间与
狗跑5步的时间相同。猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同。猫、狗 、兔沿着周长为300米的圆形跑道,同
时同向同地出发。当它们出发后第1次相遇时各跑了_____ _、______、_____米；
. .word.资料. ..
. . . .
15
分析：从所给的路程和时间的关系得到它们三者的速度比是很重要的，猫跑一 步的时间为，跑5步的时间是，
33
3
35
同样得到狗跑3步的时间是，这时 路程相同，速度比是时间的反比，为
:
＝9：25，同样求猫与兔子的速度比。
53
5
解：由题意,猫与狗的速度之比为9∶25,猫与兔的速度之比为25∶49。设单位时间猫 跑1米,则狗跑
2549
米,兔跑
25
9
米。狗追上猫一圈需300 ÷
?
?
25
?
675
?
49
?
6 25
?1
?
＝
?1
?
＝；兔追上猫一圈需300÷
?
。
925
42
????
猫、狗、兔再次相遇的时间,应既是675625675625
的整数倍,又是整数倍。与的最小公倍数等于两个分数中,分
4 242
?
675625
?
?
675,625
?
16 875
,
＝＝＝8437.5。
?
2
?
(4,2)
2
?
4
子的最小公倍数除以分母的最大公约数,即
?
上式表明,经 过8437.5个单位时间,猫、狗、兔第1次相遇。此时,猫跑了8437.5米,狗跑了8437.5×兔跑了8437.5×
25
＝23437.5(米),
9
评注：注意三者 的速度比，然后求出第一次相遇的时间是解题的关键，同时要会求两个分数的最大公约数。


49
＝16537.5(米)。
25
. .word.资料. ..