台湾的数学高中数学教案线面平行的判定定理和性质定理.docx

2020年11月19日发(作者：裘翰兴)

高中数学教案



第九章直线平面简单几何体 (B) （第 6 课时）

教学目的：

1. 掌握空间直线和平面的位置关系；
2. 直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定
掌握理实现“线线” “线面
”平行的转化
教学重点： 线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用

教学难点： 线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用

授课类型： 新授课

课时安排： 1 课时

教

具：多媒体、实物投影仪

本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面

平行特征性质 这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广

面平行判定的依据是线、线平行

一大节学习共面向量的基础

前面 3 节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是
这三小节的重点

教学过程 ：

一、复习引入：

1 空间两直线的位置关系
（ 1）相交 ；（ 2）平行 ；（ 3）异面

2. 公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质

直线与平面、 平面与平















内容分析：

这些平行关系有着本质上的联系

这两个平行关系是下









推理模式：
a // b,b // c

a // c
．





3. 等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这
两个角相等
4. 等角定理的推论 : 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 , 那么这两条直线所成
的锐角 ( 或直角 ) 相等 .
5. 空间两条异面直线的画法












a

b

b
b





D
1

B
1

C
1

A
1

D
a
a

C



A
B


6．异面直线定理： 连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面
内不经过此点的直线是异面直线










推理模式：
A

, B

,l

, B l

AB
与
l
是异面直线

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高中数学教案



第九章直线平面简单几何体 (B) （第 6 课时）




7．异面直线所成的角

：已知两条异面直线

a, b
，经过空间任一点

作直线
a // a, b // b
，
a , b
所成的角的大小与点

O



a


O


的选择无关，把

b



b
O

′

a , b
所成的锐角 （或直角） 叫异面直线
a, b
所成的角 （或夹角）．为

了简便，点
O
通常取在异面直线的一条上




异面直线所成的角的范围：


(0, ]

2




8．异面直线垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角，

条异面直线
a,b
垂直，记作




则叫两条异面直线垂直．

两

a

b
．

9．求异面直线所成的角的方法：

（ 1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；
（ 2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角
即为所求
10．两条异面直线的公垂线、距离

和两条异面直线都垂直相交

的直线，我们称之为异面直线

．．．．

的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，

叫做两条异面直线间的 距离 ．

二、讲解新课：

1．直线和平面的位置关系

（ 1）直线在平面内（无数个公共点） ；
（ 2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（ 3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．
它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为







D
1


A
1


C
1

B
1

D

C

B


两条异面直线的公垂线有且只有一条

A










a

a

，
a I

A
，
a //

．

a



a





A


2．线面平行的判定定理： 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，
那么这条直线和这个平面平行．


推理模式：
l











, m

,l // m

l //

，

．

证明：假设直线

∵
l

若
P
，∴
l I

l
不平行与平面

P
，

若
P m
，则和
l // m
矛盾，
m
，则
l
和

m

成异面直线，也和

l // m
矛盾，

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第九章直线平面简单几何体 (B) （第 6 课时）

∴
l //


．

3. 线面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个
平面相交，那么这条直线和交线平行．

推理模式：
l //






,l

, I

m

l // m
．

证明：∵
l //

又∵
m

，∴
l
和

没有公共点，



l



，∴
l
和
m
没有公共点；

m

l
和

m

都在

内，且没有公共点，∴

l // m
．


三、讲解范例：

例 1

已知：空间四边形

中点，求证：

证明：连结



ABCD
中，

E, F

分别是

AB, AD

的

A

E

EF //
平面
BCD
．

F

BD
，在

ABD
中，

B

∵
E, F
分别是
AB, AD
的中点，
∴
EF // BD
，

EF



D

平面 BCD
，

BD

平面
BCD

，

C

∴
EF //
平面
BCD
．
例 2 求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条
直线在此平面内．

已知：
l // , P, P

m, m // l
，求证：
m

，且
I



．

证明：设
l
与
P
确定平面为

∵
l //
，∴
l // m
；


m
，



m

又∵
l // m
，

m, m

都经过点
P
，





P

m

∴
m, m
重合，∴
m



．




例 3 已知直线 a∥直线 b，直线 a∥平面α ,b α，

求证： b∥平面α


∵ a∥α∴ a∥ c

∵ b α , c



β



b

a



证明：过 a 作平面β交平面α于直线 c

又∵ a∥ b

∴ b∥c，∴ b∥ c

α，∴ b∥α .

，直线
a
∥平面

，平面


α


c


例 4． 已知直线
a
∥平面

I
平面

=
b
，求证
a // b
．

a∥ b 的目的．可


分析： 利用公理

4，寻求一条直线分别与

a∥α及 a∥β来实
借用已知条件中的

现．







a，b 均平行，从而达到


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高中数学教案



第九章直线平面简单几何体 (B) （第 6 课时）

证明：经过
a
作两个平面



和 ，与平面

，

和 分别相交于直线

c
和

d

，

∵
a
∥平面


，
a
∥平面



∴
a
∥
c
，
a
∥

d

，∴
c
∥

d

，
又∵
d
平面 ，

c

平面 ，



b


∴
c
∥平面


，

c
a


d

又
c




































平面 ，平面

∩平面

=
b
，

∴
c
∥

b

，又∵
a
∥
c
，

所以，
a
∥

b

．

四、课堂练习 ：

1．选择题

（ 1）以下命题（其中 a， b 表示直线，

表示平面）

①若 a∥ b， b

，则 a∥

②若 a∥ ， b∥

，则 a∥ b

③若 a∥ b， b∥

，则 a∥

其中正确命题的个数是

（

④若 a∥ ， b

，则 a∥ b

）

（ D） 3 个

（ A）0 个

（ B） 1 个

（ C）2 个

（ 2）已知 a∥

， b∥ ，则直线

a， b 的位置关系

①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交

其中可能成立的有

（ A）2 个

（ 3）如果平面

（ A）平行

（

）

（ C） 4 个

.

（ B） 3 个

外有两点

A、 B，它们到平面

）

（ B）相交

（ D） 5 个

的距离都是

a，则直线 AB 和平面

的位置关系一定是（

（ C）平行或相交

（D ） AB

（ 4）已知 m，n 为异面直线， m∥平面

（ A）与 m，n 都相交

（ C）与 m， n 都不相交

答案： (1) A (2) D (3) C

(4)C

2．判断下列命题的真假

， n∥平面 ， ∩ =l，则 l （

）

（B）与 m， n 中至少一条相交

（D ）与 m，n 中一条相交

（ 1）过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行

（ 2）过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行

.

.

.

.

（

（

（

（

）

）

）

）

（ 3）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行

（ 4）若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行

答案： (1) 真 (2) 假 (3) 假

(4) 真

3．选择题

（ 1）直线与平面平行的充要条件是（

）

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