数学电路377.高中数学教案选修2-2《3.3 复数的几何意义》

2020年11月19日发(作者：曾万钟)


教学目标：
1．了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示 复数；了解复数代
数形式的加、减运算的几何意义．
2．通过建立复平面上的点与复数的一一对应关系，自主探索复数加减法的几
何意义．

教学重点：
复数的几何意义,复数加减法的几何意义．
教学难点：
复数加减法的几何意义．

教学过程：
一 、问题情境
我们知 道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表
示．那么，复数是否也能用点来表示呢 ？
二、学生活动
问题1 任何一个复数a＋bi都可以由一个有序实数对（a，b）惟一确 定，而
有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么我们怎样用平
面上的 点来表示复数呢？
问题2 平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点，A为终点的向量
OA
是
一一对应的，那么复数能用平面向量表示吗？
问题3 任何一个实数都有绝对值 ，它表示数轴上与这个实数对应的点到原点
的距离．任何一个向量都有模，它表示向量的长度，那么相应 的，我们可以给出
复数的模（绝对值）的概念吗？它又有什么几何意义呢？
问题4 复数可以 用复平面的向量来表示，那么，复数的加减法有什么几何意
义呢？它能像向量加减法一样，用作图的方法 得到吗？两个复数差的模有什么几
何意义？


三、建构数学
1 ．复数的几何意义：在平面直角坐标系中，以复数a＋bi的实部a为横坐标，
虚部b为纵坐标就确定了 点Z（a，b），我们可以用点Z（a，b）来表示复数a＋bi，
这就是复数的几何意义．
2．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面．其中x轴为实轴，y轴为
虚轴．实轴上的点都表示实 数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
3．因为复平面上的点Z（a，b）与以原点O为起点、Z 为终点的向量一一对
应，所以我们也可以用向量
OZ
来表示复数z＝a＋bi，这也是 复数的几何意义．
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．复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到，两个复 数差的
模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．同时，复数加减法的法则与
平面向量 加减法的坐标形式也是完全一致的．
四、数学应用
例1 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3
－2i．
练习 课本P123练习第3，4题（口答）．
思考
1．复平面内，表示一对共轭虚数的两个点具有怎样的位置关系？
2．如果复平面内表示两个虚数的点关于原点对称，那么它们的实部和虚部分
别满足什么关系？
3．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的__________条件．
4．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)所对应的点在虚轴上”的_____条件．
例2 已知复数z＝(m
2
＋m－6)＋(m
2
＋m－2)i在复平 面内所对应的点位于第
二象限，求实数m允许的取值范围．
例3 已知复数z
1
＝3＋4i，z
2
＝－1＋5i，试比较它们模的大小．
思考 任意两个复数都可以比较大小吗？