六年级下册的数学书广东高考理科数学试卷及答案

2020年11月19日发(作者：倪应颐)

2013年广东省高考数学试卷（理科）
2013年广东省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分 ，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1．（5分）（2 013?广东）设集合M={x|x
2
+2x=0，x∈R}，N={x|x
2
﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（ ）

A． {0} B． {0，2} C． {﹣2，0} D． {﹣2，0，2}
2．（5分）（2013?广东）定义域为R的四个函数y= x
3
，y=2
x
，y=x
2
+1，y=2sinx中，奇函 数的个数是（ ）

A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
3．（5分）（2013?广东）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）

A． （2，4） B． （2，﹣4） C． （4，﹣2） D． （4，2）
4．（5分）（2013?广东）已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3

P
则X的数学期望E（X）=（ ）

A． B． 2 C． D． 3
5．（5分）（2013?广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）

A． 4 B． C． D． 6
6．（5分）（2013?广东）设m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）

A． 若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n B． 若α∥β，m?α，n?β，则m∥n

C． 若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β D． 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
7．（5分）（ 2013?广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（ ）

A． B． C． D．
8．（5分）（2013?广东）设整数n≥4，集合X ={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x
＜y＜z，y ＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（ ）

A． （y，z，w）∈S，（x，y，B． （y，z，w）∈S，（x，y，C． （y，z，w）?S，（x，y，D． （y，z，w）?S，（x，y，
w）?S w）∈S w）∈S w）?S
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
9．（5分）（2013?广东）不等式x
2
+x﹣2＜0的解集为 _________ ．
10．（5分）（2013?广东）若曲线y=kx+lnx在点（1，k） 处的切线平行于x轴，则k= _________ ．
11．（5分）（2013?广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为 _________ ．
12．（5分）（2013?广东）在等差数列{a
n
}中 ，已知a
3
+a
8
=10，则3a
5
+a
7
= _________ ．
13．（5分）（2013?广东）给定区域D：．令点集T={（x
0
，y
0
）∈D|x
0
，y
0
∈Z，（x
0
，y
0
）是z=x+y在D
上取得最大值或最小值的点}，则T中 的点共确定 _________ 条不同的直线．
14．（5分）（2013?广东）（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的参数方程为（ t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半
轴为极轴建立极坐标系， 则l的极坐标方程为 _________ ．
15．（2013?广东）（几何证明选讲选做题）
如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E． 若AB=6，
ED=2，则BC= _________ ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（12分）（2013?广东）已知函数
（1）求
（2）若，
的值；
，求．
，x∈R．
17．（12分）（2013?广东）某车间共有12名工人， 随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中
茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根 据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
18．（14分）（ 2013?广东）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的 点，
，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O =
（1）证明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦
．
值．
19．（14分）（ 2013?广东）设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
1=1，
（1）求a
2
的值；
（2）求数列{a
n
}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有．

，n∈N
*
．
20．（14分）（2013?广东）已知抛物线 C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为
设P为直线l上的 点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程； （2）当点P（x
0
，y
0
）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|?|BF|的最小值．
21．（14分）（20 13?广东）设函数f（x）=（x﹣1）e
x
﹣kx
2
（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．
，
2013年广东省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求
的．
1．（5分）（2013?广东）设集合M={x|x
2
+2 x=0，x∈R}，N={x|x
2
﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（ ）

A． {0} B． {0，C． {﹣D． {﹣
2} 2，2，
0} 0，
2}
考并集及其运算．
点：
专计算题．
题：
分根据题意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，进而求其并集可得答案．
析：
解解：分析可得，
答：
M

为方程x
2
+2x= 0的解集，则M={x|x
2
+2x=0}={0，﹣2}，
N为方程x
2
﹣2x=0的解集，则N={x|x
2
﹣2x=0}={0，2}，
故集合M∪N={0，﹣2，2}，
故选D．
点本题考查集合的并集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的并集．
评：
2．（5分）（2013?广东）定义域为R的四个函数y=x
3
，y=2
x
，y=x
2
+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（ ）

A． 4 B． 3 C． 2D ． 1
考点：函数奇偶性的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可．
解答：
解：y=x
3
的定义域为R，关于原点对称，且（﹣x）
3
=﹣x
3
，所以函数y=x
3
为奇函数；
y=2
x
的图象过点（0，1），既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数；
y=x
2
+1的图象过点（0，1）关于y轴对称，为偶函数；
y=2si nx的定义域为R，关于原点对称，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx为奇函数；
所以奇函数的个数为2，
故选C．
点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握．
3．（5分）（2013?广东）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）

A． （2，4） B． （2，C． （4，D． （4，
﹣4） ﹣2） 2）
考复数代数形式的乘除运算．
点：
专计算题．
题：
分
由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 4﹣2i，从而求得z
析：
对应的点的坐标．
解
解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，
答：
故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），
故选C．
点本题主要考查两个 复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面
评：内对应点之间的关系，属于基础题 ．
4．（5分）（2013?广东）已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3

P
则X的数学期望E（X）=（ ）

A．

B．
考点：离散型随机变量的期望与方差．
专题：概率与统计．
分析：利用数学期望的计算公式即可得出．
解答：
解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）==．
2 C． D． 3
故选A．
点评：熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键．
5．（5分）（2013?广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）

A． 4

B． C． D． 6
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 计算题．
分析： 由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可．
解答： 解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，
并且棱台的两个侧面与底面垂直，
四楼台的体积为V==．
故选B．
点评： 本题考查三视图与几何体的关系，棱台体积公式的应用，考查计算能力与空间想象能力． 6．（5分）（2013?广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的 是（ ）

A． 若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n B． 若
α∥β，
m?α，
n?β，
则
m∥n

C． 若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β D． 若
m⊥α，
m∥n，
n∥β，
则
α⊥β
考命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
点：
专空间位置关系与距离．
题：
分由α⊥β，m?α，n?β，可推 得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m?α，n?β，可得m∥n，或m，n
析： 异面；由 m⊥n，m?α，n?β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．
解解：选项A，若α⊥β，m?α，n?β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；
答： 选项B，若α∥β，m?α，n?β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；
选项C，若m⊥n，m?α，n?β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．
故选D
点本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题．
评： < br>7．（5分）（2013?广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C 的方程是（ ）

A．

B． C． D．

考点： 双曲线的标准方程．
专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为 ，建立方程组，可求双曲线的几何
量，从而可得双曲线的方程．
解答：
解：设双曲线方程为 （a＞0，b＞0），则
∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于 ，
∴，∴c=3，a=2，∴b
2
=c
2
﹣a
2
=5
∴双曲线方程为 ．
故选B．
点评： 本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．（5分）（2013?广 东）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条 件x
＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中 ，则下列选项正确的是（ ）

A． （y，z，w）B． （y，C． （y，z，D．（ y，z，
∈S，（x，y，
z，w）w）?S，w）?S，
w）?S
∈S，
（x，y，（x，y，
（x，w）∈S w）?S
y，w）
∈S
考进行简单的合情推理．
点：
专证明题；压轴题．
题：
分特殊值排除法，取x=1，y=2，z=4，w=3，可排除错误选项，即得答案．
析：
解解：特殊值排除法，
答：取 x=1，y=2，z=4，w=3，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，
此时（y， z，w）=（2，4，3）∈S，（x，y，w）=（1，2，3）∈S，故A、C、D均
错误；
只有B成立，故选B
点本题考查简单的合情推理，特殊值验证法是解决问题的关键，属基础题．
评：
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
9．（5分）（2013?广东）不等式x
2
+x﹣2＜0的解集为 （﹣2，1） ．
考点： 一元二次不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： < br>先求相应二次方程x
2
+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x
2
+ x﹣2的图象即可写出不等式的解集．
解答：
解：方程x
2
+x﹣2=0的两根为﹣2，1，
且函数y=x
2
+x﹣2的图象开口向上，
所以不等式x
2
+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
点评： 本题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“ 三个二次”间的关系是解决该类题目的关键，解二次
不等式的基本步骤是：求二次方程的根；作出草图； 据图象写出解集．
10．（5分）（2013?广东）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切 线平行于x轴，则k= ﹣1 ．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题： 导数的综合应用．
分析： 先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．
解答：
解：由题意得，y
′
=k+，
∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，
∴k+1=0，得k=﹣1，
故答案为：﹣1．
点评： 本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．
11．（5分）（2013?广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为 7 ．
考点： 程序框图．
专题： 图表型．
分析： 由已知中的程序框图及已知中 输入4，可得：进入循环的条件为i≤4，即i=1，2，3，4．模拟程序的运行结
果，即可得到输出 的S值．
解答： 解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；
当i=2时，S=1+2﹣1=2；
当i=3时，S=2+3﹣1=4；
当i=4时，S=4+4﹣1=7；
当i=5时，退出循环，输出S=7；
故答案为：7．
点评： 本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用 模拟循环的变法，但程序的循环体中
变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．
12．（5 分）（2013?广东）在等差数列{a
n
}中，已知a
3
+a
8< br>=10，则3a
5
+a
7
= 20 ．
考点： 等差数列的通项公式．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析：
根据等差 数列性质可得：3a
5
+a
7
=2（a
5
+a
6< br>）=2（a
3
+a
8
）．
解答： 解：由等差数列的性质得：
3a
5
+a
7
=2a
5
+（a
5
+a
7
）=2a
5
+（2a
6
）=2（a
5
+a
6
）=2（a
3
+a
8
）=20，
故答案为：20．
点评： 本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的根本．
13．（5分） （2013?广东）给定区域D：．令点集T={（x
0
，y
0
）∈D|x< br>0
，y
0
∈Z，（x
0
，y
0
）是z=x+ y在D
上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定 6 条不同的直线．
考点： 简单线性规划的应用．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 先根据所给的可行域，利用 几何意义求最值，z=x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y
轴上的截距最值即可， 从而得出点集T中元素的个数，即可得出正确答案．
解答： 解：画出不等式表示的平面区域，如图．
作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y =4上的整数点：
（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最 大，z最大；