初中的数学公式江苏省苏州市中考数学试题及答案 详细解析版

2020年11月19日发(作者：周传雄)
江苏省苏州市2013年中考数学试卷
一、选择题（本大共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2013?苏州）|﹣2|等于（ ）
A． 2 B． ﹣2 C．

D．


考点： 绝对值．
分析： 根据绝对值的性质可直接求出答案．
解答： 解：根据绝对值的性质可知：|﹣2|=2．
故选A．
点评： 此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．
绝对值规 律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是
0．

2．（3分）（2013?苏州）计算﹣2x
2
+3x
2
的结果为（ ）
A． B． C． D．
﹣5x
2
﹣x
2

5x
2
x
2


考点： 合并同类项．
分析： 根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变即可求解．
解答：
解：原式=（﹣2+3）x
2
=x
2
，
故选D．
点评： 本题主要考查合并同类项得法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．

3．（3分）（2013?苏州）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
x≥1 x≤1
A． x＞1 B． x＜1 C． D．

考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，再解不等式即可．
解答： 解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故选：C．
点评： 此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

4．（3分）（2013?苏州）一组数据：0，1，2，3，3，5，5，10的中位数是（ ）
A． B． 3 C． D． 5

考点： 中位数．
分析： 根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再求出最中间两个数的平均数即可．
解答： 解：将这组数据从小到大排列为：0，1，2，3，3，5，5，10，
最中间两个数的平均数是：（3+3）÷2=3，
则中位数是3；
故选B．
点评： 此题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到
小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．

5．（3分）（ 2013?苏州）世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记数法表示为×10
n
（n是正整数），则n的值为（ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析：
科学记数法的表示形 式为a×10
n
的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是
正 数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：将6700000用科学记数法表示为×10
6
，
故n=6．
故选B．
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×1 0
n
的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n 的值．

6．（3分）（2013?苏州）已知二次函数y=x
2
﹣3x +m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
则关于x的一元二次方程x
2
﹣3x+m=0的两实数根是（ ）
A． B． C． D．
x
1
=1，x
2
=﹣1 x
1
=1，x
2
=2 x
1
=1，x
2
=0 x
1
=1，x
2
=3

考点： 抛物线与x轴的交点．
分析：
关于x的一元二次方程x
2
﹣3x+m=0的两实数根就是二次函数 y=x
2
﹣3x+m（m为常数）的图象与x
轴的两个交点的横坐标．
解答：
解：∵二次函数的解析式是y=x
2
﹣3x+m（m为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x=．
又∵二次函数y=x
2
﹣3x+m（m为常 数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于x的 一元二次方程x
2
﹣3x+m=0的两实数根分别是：x
1
=1，x
2
=2．
故选B．
点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以 利用代入法求得m的值，然后来求关于x
的一元二次方程x
2
﹣3x+m=0的两实数 根．

7．（3分）（2013?苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ ABC=50°，则∠DAB等于（ ）
55° 65° 70°
A． C． D．

考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
专题： 计算题．
分析： 连结BD，由于点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，根据圆周角定理得∠ABD=∠CB D，则
∠ABD=25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，然后利用三角形内角 和定理可计
算出∠DAB的度数．
解答： 解：连结BD，如图，

60°
B．
∵点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABC=50°，
∴∠ABD=×50°=25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°﹣25°=65°．
故选C．

点评： 本题考查了 圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的
圆周角为直角．

8．（3分）（2013?苏州）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4）．顶点 A在x轴的正半轴上，反
比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A． 12 C． 24 D． 32

考点： 反比例函数综合题．
分析： 过C点作CD⊥x轴，垂足为D，根据点C坐标求出OD、CD、BC的值，进而求出B点的坐标，
即可 求出k的值．
解答： 解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，
∵点C的坐标为（3，4），
∴OD=3，CD=4，
∴OC===5，

B． 20
∴OC=BC=5，
∴点B坐标为（8，4），
∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，
∴k=32，
故选D．

点评： 本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是求出点B的坐标，此 题难度不
大，是一道不错的习题．

9．（3分）（2013?苏州）已知x﹣=3，则4﹣x
2
+x的值为（ ）
A． 1 B．

C．

D．


考点： 代数式求值；分式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 所求式子后两项提取公因式变形后，将已知等式去分母变形后代入计算即可求出值．
解答：
解：∵x﹣=3，即x
2
﹣3x=1，
∴原式=4﹣（x
2
﹣3x）=4﹣=．
故选D．
点评： 此题考查了代数式求值，将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键．

10．（3 分）（2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B
的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）

A．

B．

C．

D．
2

考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．
分析： 作A关 于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC
的值最 小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．
解答： 解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3，），
∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2
由三 角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，
∴AM=，
∴AD=2×=3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN=AD=，由勾股定理得：DN=
∵C（，0），
∴CN=3﹣﹣=1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=
即PA+PC的最小值是
故选B．
，
，
，
=，

点评： 本题考查了三角形的内角和 定理，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性
质的应用，关键是求出P点的位置 ，题目比较好，难度适中．

二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。把答案直接填在答案卡相对应位置上。
11．（3分）（2013?苏州）计算：a
4
÷a
2
= a
2
．

考点： 同底数幂的除法．
专题： 计算题．
分析： 根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可．
﹣
解答：
解：原式=a
42
=a
2
．
故答案为：a
2
．
点评： 此题考查了同底数幂的除法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握同底数幂的除法法则．

12．（3分）（2013?苏州）分解因式：a
2
+2a+1= （a+1）
2
．

考点： 因式分解-运用公式法．
分析： 符合完全平方公式的结构特点，利用完全平方公式分解因式即可．
解答：
解：a
2
+2a+1=（a+1）
2
．
点评： 本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．

13．（3分）（2013?苏州）方程=的解为 x=2 ．

考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 方程两边都乘以最简公分母（x﹣1）（2x+1）把分式方程化为整式方程，求解后进行检验．
解答： 解：方程两边都乘以（x﹣1）（2x+1）得，
2x+1=5（x﹣1），
解得x=2，
检验：当x=2时，（x﹣1）（2x+1）=（2﹣1）×（2×2+1）=5≠0，
所以，原方程的解是x=2．
故答案为：x=2．
点评： 本题考查了解分式方程 ，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程
求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．

14．（3分）（2013?苏州）任意抛 掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的
点数，掷得面朝上的点数大于4的 概率为 ．

考点： 概率公式．
分析： 根据掷得面朝上的点数大于4情况有2种，进而求出概率即可．
解答： 解：掷一枚均匀的骰子时，有6种情况，出现点数大于4的情况有2种，
掷得面朝上的点数大于4的概率是：=．
故答案为：．
点评： 此题考查了概率的 求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出
现m种结果，那么事件A的 概率P（A）=．

15．（3分）（2013?苏州）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为
20 ．

考点： 代数式求值．
专题： 图表型．

分析： 根据运算程序写出算式，然后代入数据进行计算即可得解．
解答：
解：由图可知，运算程序为（x+3）
2
﹣5，
当x=2时，（x+3）< br>2
﹣5=（2+3）
2
﹣5=25﹣5=20．
故答案为：20．
点评： 本题考查了代数式求值，是基础题，根据图表准确写出运算程序是解题的关键．

16．（3分）（2013?苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥ OA，劣弧
π ．（结果保留π）
的弧长为


考点： 切线的性质；含30度角的直角三角形；弧长的计算．
专题： 计算题．
分析： 连接OB ，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOB为直角三角形，根据30度所
对的直角边 等于斜边的一半，由OA求出OB的长，且∠AOB为60度，再由BC与OA平行，利
用两直线平行内 错角相等得到∠OBC为60度，又OB=OC，得到三角形BOC为等边三角形，确定
出∠BOC为6 0度，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．
解答： 解：连接OB，OC，
∵AB为圆O的切线，
∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，
∴OB=1，∠AOB=60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
又OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
则劣弧长为=π．
故答案为：π

点评： 此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及 弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本
题的关键．

17．（3分）（2013? 苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C
分别在x，y轴的 正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则
点P的坐标为 （2，4﹣2） ．


考点： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．
分析：
根据正方形的对角线等 于边长的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根
据相似三角形对应边成比例列 式求出BP的长，再求出AP，即可得到点P的坐标．
解答： 解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴OA=OC=2，OB=2，
∵QO=OC，
∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，
∵正方形OABC的边AB∥OC，
∴△BPQ∽△OCQ，
∴
即
=
=
，
，
解得BP=2﹣2，
∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，
∴点P的坐标为（2，4﹣2）．
故答案为：（2，4﹣2）．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形 的对角线等于边长的倍的性质，以及坐标与图形
的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出 BP的长是解题的关键．

18．（3分）（2013?苏州）如图，在矩形ABCD中， 点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到
△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长 交边BC于点G．若
数式表示）．
=，则= 用含k的代


考点： 矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据中点定义可得DE=CE，再根 据翻折的性质可得DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，从而得
到CE=EF，连接EG ，利用“HL”证明Rt△ECG和Rt△EFG全等，根据全等三角形对应边相等可得
CG=FG，设 CG=a，表示出GB，然后求出BC，再根据矩形的对边相等可得AD=BC，从而求出
AF，再求出 AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可．
解答： 解：∵点E是边CD的中点，
∴DE=CE，
∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴CE=EF，
连接EG，
在Rt△ECG和Rt△EFG中，
∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），
∴CG=FG，
设CG=a，∵=，
，
∴GB=ka，
∴BC=CG+BG=a+ka=a（k+1），
在矩形ABCD中，AD=BC=a（k+1），
∴AF=a（k+1），
AG=AF+FG=a（k+1）+a=a（k+2），
在Rt△ABG中，AB=
∴==
．
．
==2a，
故答案为：

点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的 应用，以及翻折变换的性质，熟
记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共76分.把解答过程写在答案卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计
算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。）
19．（5分）（2 013?苏州）计算：（﹣1）
3
+（+1）
0
+．

考点： 实数的运算；零指数幂．
分析：
按照实数的运算法则依次计算，注意：（ ﹣1）
3
=﹣1，（+1）
0
=1，=3．
解答：
解：（﹣1）
3
+（+1）
0
+
=﹣1+1+3
=3．
点评： 此题主要考查了实数运算，本题需注意的知识点是：负数的立方是负数，任何 不等于0的数的0次
幂是1．

20．（5分）（2013?苏州）解不等式组：．

考点： 解一元一次不等式组．
分析： 首先分别解出两个不等式的解集，再根据：大小小大取中间确定不等式组的解集即可．
解答：
解：，
由①得：x≥3，
由②得：x＜5，
故不等式组的解集为：3≤x＜5．
点评： 此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正 确解出两个不等式，掌握解集的规律：同大取
大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

21．（5分）（2013?苏州）先化简，再求值：÷（x+1﹣），其中x=﹣2．

考点： 分式的化简求值．
分析： 将原式括号中各项通分并利用同分母分式的减 法法则计算，整理后再利用平方差公式分解因式，
然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算 化为乘法运算，约分得到最简结果，即可
得到原式的值．
解答：
解：÷（x+1﹣）
=÷[﹣]
=
=
=
当x=
原式=

÷
×


﹣2时，
=．
点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关 键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的
乘除运算关键是约分，约分的关键是找出公因式，约分时 ，分式的分子分母出现多项式，应将多
项式分解因式后再约分．

22．（6分） （2013?苏州）苏州某旅行社组织甲乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已知这两旅游团共
有55 人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团个有多少人？

考点： 二元一次方程组的应用．
分析： 设甲、乙两个旅游团个有x人、y人，根据题意可 得等量关系：甲团+乙团=55人；甲团人数=乙团
人数×2﹣5，根据等量关系列出方程组，再解即可 ．
解答： 解：设甲、乙两个旅游团个有x人、y人，由题意得：
，
解得，
答：甲、乙两个旅游团个有35人、20人．
点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用 ，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，找出等
量关系，列出方程组．

23．（6分）（2013?苏州）某企业500名员工参加安全生产知识测试，成绩记为A，B，C，D，E共 5个
等级，为了解本次测试的成绩（等级）情况，现从中随机抽取部分员工的成绩（等级），统计整理并 制作
了如下的统计图：
（1）求这次抽样调查的样本容量，并补全图①；
（2）如 果测试成绩（等级）为A，B，C级的定位优秀，请估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等
级） 达到优秀的员工的总人数．


考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析： （1）抽查人数的样本容量可由A级所占的比例 40%，根据总数=某级人数÷比例来计算；可由总数
减去A、C、D、E的人数求得B级的人数，再补 全条形统计图；
（2）用样本估计总体，用总人数×达到优秀的员工的百分比，就是要求的结果．
解答： 解：（1）依题意有：20÷40%=50（人），
则这次抽样调查的样本容量为50．
50﹣20﹣5﹣8﹣5=12（人）．
补全图①为：