大学数学建模论文初中数学解题技巧(史上最全)

2020年11月19日发(作者：乌力吉)
woed版-精品资料
目录
一
二
三
四
选择填空题解 题技巧（一）
选择填空题解题技巧（二）
初中数学常用十大解题技巧举例
数学思想在初 中数学解题中的应用
选择题与填空题解题技巧（一）
选择题和填空题是中考中必考的题目，主要 考查对概念、基础知识的理解、掌握及其应用．
题所占的比例较大，是学生得分的重要来源．近几年，随 着中考命题的创新、改革，相继推出了
一些题意新颖、构思精巧、具有一定难度的新题型．这就要求同学 切实抓好基础知识的掌握，强
填空
化训练，提高解题的能力，才能在中考中减少失误，有的放矢 ，从容应对．
解题规律：要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确计算能力、严密的推理能力 外，
还要有解选择题、填空题的方法与技巧．常用方法有以下几种：
(1)直接推演法：直接从 命题给出的条件出发，运用概念，公式、定理等进行推理或运算，得出
结论，选择正确答案，这就是传统 的解题方法，这种解法叫直接推演法．
(2)验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正 确答案，亦可将供选择的答
案代人条件中去验证，找出正确答案．此法称为验证法
此法．
(3)特值法：用合适的特殊元素
方法叫特殊元素法．
精品资料分享
woed版-精 品资料
(也称代入法)．当遇到定量命题时，常用
(如数或图形)代人题设条件或结论中去，从 而获得解答．这种
(4)排除、筛选法；对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演 算，把
不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法．
(5)图解法：借助于符合题设条件的图形或图像的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解
法．图 解法是解选择题常用方法之一．
(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽地分析、归纳和 判断，从而选出正确的结
果，称为分析法．
(7)整体代入法：把某一代数式进行化简，然后并 不求出某个字母的取值，而是直接把化简的结
果作为一个整体代入。
【典例剖析】
1. （直接推演法）下列命题中，真命题的个数为（）
②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它
④
①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
的面积等于两条对角线长的积的一半，③在 一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等，
已知两圆半径分别为
A．1
B．2
C．3
D．4
2
5，3，圆心距为2，那么两圆内切（）
x1x xy(m，0)
，则代数式与轴的一个交点为．
）
（整体代入法）已知抛物线2
2
mm2008
的值
为（
2
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
A（1，2），B（33．（图解法）已知二次函数，2），C（5，< br>2
bxaxcy的
（）
bxcyax的图象过点
图象上，，y）也在二 次函数
A．y＜y＜y
K），）．若点M（-2，yN（-1，y），（87
312< br>则下列结论正确的是
22
B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1x2yx
轴上方的如图所示是二
次函数．4（特值法）的图象在y
2
精品资料分享
Ｏ
x
woed版-精品资料
x
轴 所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（）一部分，对于这段图象与．
16
2π8
3
（
．．D B．
22
CA．4
的图像为下列图 像之一，二次函数筛选法）5．（排除、已知：
a
的值为
0aabyaxbx
）则
4－3 D. B． 1 C. －1 A.－，，AD=4cmAB=28cm，
ABCD中，DC的速度2cm/s从点BDC=24cm∥ AB，∠A=90°，图解法）6.（如图，在直角梯形
同时出发，以出发，以1cm/s的速度向点C 运动，点N点M从点D则四边形.运动，当其中一个
A
2
）（ts）的函数图象大致是 动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动向点
（AMND的面积y（cm ）与两动点运动 的时间
）为锐角，则m=sinα+cosα的值（
B．=D
2
cac
α7.（分析法）已知
1
1m1mm1m
≥
程
22
C． ．A．＜＞
0bab
04acb
，则一元，则下列命题：①若；
）．3.2或 其
. Ｂ．只
②若（8.验证法：）
2
c
中正确的是（
有①③④
2a3b
0caxbx
，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③ 若二次方
Ｄ．只有②③④．Ｃ．只有①④只有①②③Ａ
0acbxc0b4ax
，则二 次函数的图像与坐标轴有两个不相等的实数根；④若
的公共点的个数是
EFGHABCD
）的形状、大小完全（图）与菱形
请从下列序号中选择正确选项的序号填写；
woed版-精 品资料
21（直接推理法）9．如图，菱形（图（相同．ww1）
精品资料分享
；②点
E，F，G，HG，F，E，HE，H，G，FG，H，E，F
．
H
①点；④点；③点D
G
E
A
2
图C
1
图F B
2，那么点如果图1
DC，，AB，
；对应点分别是经过一次平移 后得到图
如果图1经过一次轴对称后得到图2，那么点；
D，A，B，C
对应点分别是
DC，，B，A
；，那么点如果图1经过一次旋转后得到图2 对应点分别是
O
关于点成中心对称，请画出对称中心（保留画图痕迹，不写画法）；（2）①图1，图
以结合所画图形 叙述）性质：②写出两个图形成中心对称的一条．．
10．（图象信息法）每条灌
26条,
1、2所示．
3则灌装生产线有
2．（可
绍兴黄酒是中国名酒之一．某黄酒厂 的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成
装、瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间，该车间有灌装、装箱生产线共
，车间内的生产线全部投11:008:00～某日装箱生产线的生产流量分别如图
条．表示该 时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况，入生产，图
OOCOOCO
的直的半径垂直于圆是小圆
1
, 的直径且有大圆直接计算法11. ( ) 如图,
11
OCOO
DEADABr
则径. 圆的切线的半径为交的延长线于点,, 切点为. 已知圆
AO
DE
_______ ________
1lll
是直线B，，垂足为点O如图所示，直线
绕点OB=2上的两点，且，
精品 资料分享
精品资料版-woed
12．（分析法）A、
211
2
l< br>按逆时针方向旋转，
OAB=．直线
1
1800
）。（旋转角度为l
的等腰三角形，此时为顶角是以∠
2
。B上找点P，使得△（1）当BPA=6 0°时，在直线．．．．．
OP=___ ___
l
BBPA是以∠上存在点P，使 得△（2）当在什么范围内变化时，直线．．
2
。
的取值范围：为顶角的等腰三角形， 请用不等式表示___ ___．．．为坐标原点，已知，如图：
在平面直角坐标系中，O13．（分类 讨论法）4），C（0，C的坐标分别为
BC边上运动，当△
A（10，0）、A四边形
D是OA的中OABC是矩形，点、P5的等腰三角形时，点
点，点P在。的坐标为
ODP是 腰长为点
【强化训练】
3
，的长为cm2AOB为120°，弦AB圆心角∠1．现有 一扇形纸片，则该圆锥底面圆的半（接
缝忽略不计），用它围成一个圆锥的侧面新课标第一网
A ．C．cm
）径为（
3232
．cm cm B．Dcm
2323
，14,Ｅ为ＡＢ上一点
）∠CFB的值等于（Ｅ且ＡＥ：ＥＢ＝：∠Ｃ＝90°,∠Ａ＝30°如图 ，2．在Ｒt△ＡＢＣ中，
Ｆ⊥ＡＣ于Ｆ，连结ＦＢ，则
323533
tan
Ｄ.5Ｂ.A.Ｃ.333
命题的是（）3. 下列命题是
假．yx4
yx
-4
32
单项式+2008<的系数是+2008 B. A.
D. 平移不改变图形的形状和大小
比例函数＝二次函数
分享
woed版- 精品资料
若，则yx
与正比例函数
7
2
0,3)1x(y C. 则 若
3x1,ya
2
y＝yaxbx＋＋c的图象如图所示，反
ybcx）精品资料
4. x在同一坐标系中的大致图象可能是（）＋＝（
．李老师给出了一个函数， 甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它
的图像经过第一象限；乙：它的图像也经过第 二象限；丙：在第一象限内函数值
5增随x
y大而增大．在
你学过的函数中，写出一个 满足上述特征的函数解析
．式
2
y
y=ax3 0；c＋bx＋的图象，在下列说法中：①ac＜6.如图为二次函数
2
b＋c0 ＞=c=0的根是x－1, x= 3③a＋ax②方程＋bx＋
P
21
O
1 –1 3
x
。x的增大而增大。正
填序号()
，7.
确的说法有 _____________时，④当x＞1y随
将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个 圆柱（如右图）
___________cm. 当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是______ 4，它的侧面积是，
母线长是8.已知一圆锥的底面半径是1
°为△9.若O②平行
; x
．下列命
11
321
2
BACABC的外心，且∠BOC＝60° ，则∠=
四边形的对角线互相则
③若∣x∣=2,则＝２垂直平分;
ab>0; ．已知下列命题：①若10a>0,b>0,④圆的切线垂直于经过切点的
（填序号）直径，其中真命题 是
题：①正多边形都是轴对称图形；②通过对足球迷健康状况的调查可以了解我
如果一个角的两 边与国公民的健康状况；③方程的解是
序另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等地。其中真命题的 有
0x
；④
1xx11x
（填
号）、3)C( 2，，0)、B( 02)、，12．在平面直角坐标系中，将A( 1
y
。用线段依次连接起来形成一个图案< br>的面积：（1
）请按要求对图案作如下变换：
C B
（图案①）D(3，1) ；）直接写出图案①
（2
①D
x
A
O 精品资料分享
woed版-精品资料
a
．将图案①绕点O逆时针旋转90°得到图案② ；
2∶1将图案①
b
．以点O为位似中心，位似比为
在位似中心的异侧进行放 大得到图案③；
（3）若图案①上某点P（在第一象限内）的坐标为（a，b），图案②中与之对应的点
．
PQR△
为点Q，图案③中与之对应的点为R。则S＝
初中数学选择题、填 空题解题技巧（二）
选择题目在初中数学试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保 证这
些分数全部得到。因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，
空题与大题有所不同，< br>巧，跟同学们分享一下。
1.排除选项法：
选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确 答案那么我们就可以采用排除法从四个选项中排
帮助我们更好的答题，选择填
只求正确结论，不 用遵循步骤。我们从日常的做题过程中得出以下答题技
除掉易于判断是错误的答案那么留下的一个自然就 是正确的答案。
例1 一次函数y=-3x+2的大致图象为（）
y
y
y y
x
o
o
o
x
x
x
o
x
A B C D
DCxy0k=-3解析：因为＜，所以随着的增大而减 小，故排除
轴正半轴，故排除y，所以图象交于＞
征
、。又因为。B，因此符合条件的 为
b=20A对于正确答案有且只有一个的选择题，利用题设的
条件，运用数学知识推理、演算 ，把不正确的选项排除，最后剩下一个选项必是正确的。在排查
过程中要抓住问题的本质特
精品 资料分享
-精品资料woed版
赋予特殊值法：2.
）mnnm有些问题从理论上论证
它是错误的比较容易，此时，我
即根据题目中的条件，选取 某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理
的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合 条件，且易于计算。
达式中错误的是（例2.如果m11 >1
D. A.m-9-n C. <
它的正确性比较 困难，但是代入一些满足题意的特殊值，验证
们就可以用这种方法来解决问题。
点，则例3 已 知
60A
BOCACBO△ABCABC
的，，中，的平分线交于
．度数为< br>60A
ABC△
中，此题已知条件中就是分析：说明只要满足此条件的三角形都一
120
BOC△ABC
。定能够成立。故不妨令为等边
三角形，马上得出=
2
. 象限x轴的对称点是在第
_______a<0，那么，点P(-a-2，2-a)关于 例4、填空题：已知，-3}在第三象限，所以点P(-a^2-23}
关于x轴的对称点是 {-3，解：设a=-1，则P{-3，. x轴的对称点是在第三象限
观察猜想法：
这类方法 在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是
运用不完全归纳法，通过试验、 猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。
大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规 律摆下去，则第例5
2-a)关于 3.
n
个用同样
n
. 图形需 棋子枚（用含的代数式表示）
…
个图个图
分析：从第
精品资料分享
w oed版-精品资料
第3第1个图2第
3n+1枚.
1个图中有4枚棋子4=3×1+1，从第2个图中有7枚棋子7=3×2+1, 从第3个图中
n个图中有棋子有10枚棋子10=3×3+1,从而猜想：第
25811
bbbb例6 一 组按规律排列的式子：
，第个式子是
，，，，…（），其中第7个式子0ab
334< br>aaaa
是（为正整数）．nn分析：观察题干及选择支
特点，区别各选择支差异及相互 关系作出选择。
通过观察已有的四个式子，发现这些式子前面的符号一负一正连续出现，
a的指 数都是连续的正整数，分子中的
7个式子是，第个式子是
也就是序号为奇数时负，
b的
7
20
序号为偶数时正。同时式子中的分母b指数为同个
式子中a的指数的3 倍小1，通过观察得出第
n
n
a
3n1
b
n
。1) (
a 4、直接求解法：
有些选择题本身就是由一些填空题、判断题解答题改编而来的因此往往 可采用直接法直接由从
我们在做解题目的条件出发通过正确的运算或推理直接求得结论再与选择项对照来 确定选择项。
答题时大部分都是采用这种方法。
DAC15DBC110D
的度在线段
_____________
AB，的延长线上，，则如图，点例7 C数是
DAC15DBC110
95D
C
，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的分析：由题设知
=
D
．两个内角的和知识，通过计算可得出
5、数形结合法：
B A 数学中大量数的问 题后面都隐含着形的信息，
用数的规律、数值的计算，来寻找处
数缺形时少直观，形缺数时难入 微。图形的特
征上也体现着数的关系。我们要将抽象、复杂的数量关系，
何背景的填空题，若能 数中思形，数促形理形的方法，来达到
决问题，得出正确的结果。
woed版-精品资料
精品资料分享
通过形的形象、直观同时我们又要运
以形助数，则往往可以简捷地解
; 的目的揭示出来，以达到形帮数的目的。对于一些含有几
例8、在直线l上依次摆放着七个正方形
2、3，正放置的四个正方形的面积依次是
(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是S1、S2、S3、S4，，则
1、
S1+S2+S3+S4=_______。
，由d、c、、S3S4，可设它们的边长分别为a、b解：四个正方形的面积依次是S1、S2、直角
三角形全等可得
S1+S2+S3+S4=4. 解得a^2+b^2+c^2+d^2=4，则
、代入验证法 6与直接法的思考方向相反，它将选择支 中给出的答案逐一代入已知条件中进行
验证，与已知相矛盾的为错误选项，符合条件的为正确选项。=-4.x=2 x=-4 D B
2
））=9的根是（ x+1
22112
=9
例
9 方程（ .x=4 x=-2 C
-2、、-4分别代入方程（）
．Ax=2.x中x+14x=2把、
解析： 4能使方程左右两边相等，所以选择答案C=-和x发现只有
=2x
7、枚举法：精品资料woed版-
精品资料分享
列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。
足够面值为2元，例10:，把一张面值10( )
法有种。种(D)10 (A)5
如果设面值2元的人民币
元的人民币，换1元的人民币换成零钱，现有
y1元的人民币分析：种 (B)6种(C)8元，不难列出方程，此方程的非负
x张， B. 6对，故选整数解有、待定系数法：8，通过解方程组) 要
( )，求得待定系数，从而确定求某个函 数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程
函数关系式，这种方法叫待定系数法。
( )
D.y=x+3
的方程，用
结果．
AB，20）代入直线
对应 的函数表达式是
(组
ABA.y=-x+3 B.y=x+3 C.y=-x+3 例11:如图，直线
0，3），B（（解析:把点A 待定系数法求出函数关系式，从而得出
y =kx+b解：设直线）代入，，03），B（2（把A0，，AB对应的函数表达式是
得，
． 对应的函数表达式是
－y2的值是如果
y=-x+3．故选A故直线AB、整体法9 c
x2例的值，再代入求
易出错，而采用整体代换法，
10.如图所示，
形是（
12. x+y=-4，x-y=8，那么代数式
值，则过程稍显复杂，且y，x+y= -4，x-y=8解得x分析：若直接由
则过程简洁，妙不可言．8=-32 =-4×x-yy2=分析：x2－（x+y）（）实践操作法
13. ）将正方形纸片三次对折，并剪 出一个等腰直角三角形后铺平，得到的图例
精品资料分享
精品资料版-woed
A B C D
以上是我们给同学们介绍的初中数学选择题的答题技巧，
定要拿下。初中数学答题技巧有 以上十种，能全部掌握的最好
适合自己的初中数学选择题做题方法。
希望同学们认真掌握，选择 题的分数一
;不能的话，建议同学们选择集中
初中数学十大解题方法详解
1、配方法< br>所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整
其 中，用的最多的是配成完全平方式。数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
配方法是 数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、
解方程、证明等式 和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
例题：
2
)
到( 过配方，得程用配方法解方
C．－2)=3 A若半的系次是数则
品资料分享
精品资料版- woed
x+4x+1=0，经
2 2 2 2
=3 D(x+2)． (x － (x+2)．=5 B．(x2)=5
精
1数项二：方【分析】配法若次系为，常项 一项数一的，平方
算。1后再计二1，则可先提取次项系数，将其化为为二次项系数不
将
2
2
，方程x+4x+1=0【解】
－x+4x=1，移向得：
2
+4x+4=－1+4，配方得：x
2
(x+2)=3；即选D。因此
、因式分解 法2
因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它三角等的解题中起着重要的作用。作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、
方法有许多，除中学课 本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字
有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等 等。
例题：
2
几何、因式分解的
相乘法等外，还
为（）x-1）（x +3），则m的值（若多项式x因+mx-3式分解的结果为1
． D 2 C
根【分析】
因此选B。
．0 ．A．-2 B）x+3（，先将（x-1） 变乘因式分解与整式法是相反方向的形据
2
出m的值。系，再根据对应项数相等求开法乘公式展 ），（结果为x-1）（x+3的因
∵x+mx-3式分解【解】
2
），）+mx-3 =（x-1（x+3即x
22
+2x-3，）=x x+3∴x（+mx-3=x-1）（∴m=2；
3、换元法
精品资料分享
woed版-精品资料
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或 变数称为元，
所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部
来的式子，使它简化，使问题易于解决。
例题：
222222
+y
分或改造原
，则+y+3)=8+1)(xx+y
C5
）的值为（已知
．A-5或1
(x
B
22
+y当成一个整体来考虑，
0+y=t，t≥x【解】设 ，
-1 D．5或．．1
再运用因式分解法就比较简单
化简得：(t+1)(t+3 )=8
，(t+5)(t-1)=0
=1=-5，tt
．
解得：
2 1
【分析】解题时把x
22
，则原方程变形得
0又t≥t=1∴
22
+y．∴x1的值为只能是
因此选B
、判别式法与韦达定理
22
，不 仅用来判定）根的判别，△
4
=b-4acRb（a、、c属于，a≠0+bx+c=0一元二 次方程ax，解不
等式，研究函数乃)(根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程组至 几何、三
角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，
次 曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
精品资料分享
-精品资料woed版
求另一根 ；已知两个数的和与积，求这两个数等简单
一些有关二应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根 的符号，解对称方程组，以及解
22
，方程有两个相等的实数-4ac＜0，方程无实数根，即 无解；②△=b-4ac =0注意：①△=b
2
0，
还是一元一次方程，
方程有两个不相等的实数根。
关于有实根。当的方程
所以应分＝
2
2
=b-4ac＞根；③△例题：
22
01)x2(m1)x(m4xm
为什么值时，< br>【分析】题设中的方程未指明是一元二次方程，
4m
0
4m
和两种情形 讨论。≠0
2
4m)m2(1
2m
≠0【解】当，方程为一元一次方程，总有实根；即＝0时，
2
4m
2m
时，方程有根的条件是：≠当0即5
25m
22
m20m4m)812(m)4(
≥0≥△＝，解得
≥综上所述：当时，方程有实根。
25m
2m
≥∴当且时，方程有实根。
2
、待定系数法5
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定 的系数，而后根
据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间 的某种
常用的方法之一。关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中例题：
2
nxmx34
，最小值为－1，求此函数式。
2
7＝已 知函数例1. y的最大值为
1x
精品资料分享
woed版-精品资料
的值 ；已知最大值、最小值实际是【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数
已知函数的值域，对分子或 分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”
已知得y－m(y－n)＝0，【解】函数式变 形为：
＋n)y(△＝－＋4(mn) y－4(y－m)(y－n)≥0 即：∴
2
m、n 就是
。
2
3
0 ≠由
(y－m)x x－∈4R, x＋
22
3
①－12)≤0 －(m
(- 1,7)1、7是方程y－的两根，12)＝0－(m＋n)y＋(mn，则－不等式①的解集为
解得： 或代入两根得：
22
5m012(mn)mnm11
1n012n)mn497(m5 n
22
5x435x143xx
＝或者∴ yy＝
y。
然后与不等式 ①比较系＋此题也可由解集
xx11
2
－6y－7≤0－7)≤0,即y，
数 而得：，解出m、n而求得函数式(-1,7)而设(y1)(y
mn6mn127
它可以是一
六、构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，
个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥
梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法．运用构造法解题，可以使代
数、三 角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决．
例一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是 4m时，拱高是2m．当水面下降1m后，水面
宽度是多少？（结果精确到0.1m）
【点拨】 本题和实际问题结合紧密，图象是我们学过的抛物线，
坐标系，通过这种方法，可以很巧妙地利用我们学 过的知
所以要学会构造数学模型，建立
识．
轴轴，以抛物线的对称轴为
坐标系 ，则点
woed版-精品资料
y解：如图所示，以桥面为
拱桥抛物线的函数为
x）设-2，），-2，-2B（2（），，（建立
O00A
2
cbxaxy
精品资料分享
又因为抛物线过点O、A、B,由图可知点A、B关于y轴对称，点
可得：
C、D关于y轴对称．将
0c24a2bc
、、
BAO点的坐标代入抛物线的函数，
22
24a2bc11
2
xy0、c0a、
可的m设点
的< br>b
，则抛物线的方程为解得：
C（-m
662
=，那么=CDm,-3 ）,D(,-3)
23
62
所以，若水面下降1．米，水面的宽度为
：
8xaxbx
2x1x
值是+b有两个因式 ,则a 练习如果和
(
)
注：此题难度较大，学有余力的同学可以挑战一下！
七、反证法
反证法是一种间接证法 ，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，
过正确的推理，导致矛盾，从而否 定相反的假设，
分为归谬反证法(结论的反面只有一种
命题的步骤，大体上分为：
达到 肯定原命题正确的一种方法．
经
反证法可以
)与穷举反证法(结论的反面不只一种)． 用反证法证明一个
(1)反设；(2)归谬；(3)结论．
反设是反证法的基础，为了正确地作 出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，
例如：是/不是；存在/不存在；平行于大(小)于；都是/不都是；至少有一个
至少有两个；唯一/至少有两个．
导出矛盾的过程 没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无
/不平行于；垂直于
/一个也没有；至 少有
/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不
/n个/至多有(n一1)个；至多有一个< br>归谬是反证法的关键，
源之水，无本之木．推理必须严谨，导出的矛盾有如下几种类型：与已知条 件矛盾；与已知的公
理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．
例已知:如图，l∥ l ,l∥l，求证：l∥l
322311
【点拨】此题直接证，证起来不太容易，如果
能够采用从反面来证的话，非常容易达到目的．
相交，设交点为，则证明：假设
精品资料wo ed版-
llll
P.
3131
不平行与
精品资料分享
则 过点P就有两条
llll
∥, ∵, ∥
3122
lll
平行，这与 “经过直线外一点，有且只有一条都与、
31
直线
213
直线平行于已知直线 ”矛盾．∥所以假设不成立，即求证的结论成立，即
ll
练习：
∠∠1 ≠
b被直线c所截，已知：如图，直线
a∥
b2
a、
c
2
a1
b 求证：
八、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与 面积计算有关的性质定理，
积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果．
何题的 方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法．
用归纳法或分析法证明平面几何题，
面积公 式联系起来，
到．
其困难在添置辅助线．面积法的特点是把已知和未知各量用
几何元素 之间关系变
不仅可用于计算面
运用面积关系来证明或计算平面几
通过运算达到求证的结 果．所以用面积法来解几何题，
成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置辅助线，即使需要添置 辅助线，也很容易考虑
AD
°，ABC = 90中，AD∥BC，∠ABCD例如图，已知在直角梯形
E
= BE．．求证：
BE⊥CD，CD =BCAB初【点拨】一般的四边形问题，
这两条线段，它 们之间并没有什么明显的联系．在这里，
现了转化．作DMBC
通常就是把它转化为三角形来处 理．
BE看AB与
BC
AD
⊥
，连接BD就实
E
B D，作DM．于⊥BCM证明：连接
分别BDCAB=DMABMD
精品资料woed版-则四边形为矩形，有，在△中，和BEDM
BCM
精品资料分享
11BEDMDC BC
即得可，是边CD、BC上的高，由面积相等，
由条件，且AB=DM，可得AB = BE．CD =BC，可得DM=BE
22
BDCBCDM
，
练习：上一点， D是AC如图，
在△ABC中，∠A=90°，A
⊥⊥
求．，PFFACBD=DC， P是BC上任一点，PE于BD于EDEF
+PF=AB．证：PEBCP
九、几何变换法在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问
有一些看来很难甚至于无法 下手的习
的认
如图，
题而得到解决．中学数学中所涉及的变换主要是初等变换．
题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易．另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学
教学中 ．将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质
识．3）对称．）旋转； （几何变换包括：（1）平移；（2°，AOC=60相交于点O，且∠
线段AB=CD，AB与CD例 A是小关系AB，则AC+BD与的大平CE是由AB移所得
CO______________ BDCBAA
【答案】
，由平移的特征、DE平移到CE，连结BEAB【解析】将沿AC BDE°，∠AOC=60=可知
精品资料分享
AB=CE，AC=BE，∴∠OCE，=CE =又∵CDAB，∴CD
=CDE=
，DEAB所以△=是等腰三角形，
即CDCEA B，，所以∵DB+BEDEDB+AC
-精品资料woed版
，时，∥而当ACDBDB+ AC=AB
ABBDAC
一点，将
故ABC已知在△“全等三角形”的知识时，老师布 置了一道作业题：“如图①，
AB=AC，P是ABC内部任意
ABC
ABQ≌△AC P小亮是个爱动脑筋的同学，他
A
练习：复习，BACQAP=∠AQAP绕A顺时针旋转至， 使∠△中，
CPBQ=．”连接BQ、CP，则，从而证得
通过对图①的分析，证明了△仍然< br>“BQ=BQ=CP之后，将点
QPPBCBC图②图①
CP”之外，原题中的条件不变 ，发现移到等腰三角形
PQA成立，请你就图②给出证明．
十、客观性题的解题方法
选 择题是给出条件和结论，
覆盖面．
填空题是标准化考试的重要题型之一，
以防止学生猜 估答案的情况．
要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选 择题、
填空题的方法与技巧．下面通过实例介绍常用方法．
（1）直接推演法：直接从命题给出 的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运
5月18日晚举办了《爱的奉献》赈灾晚会，晚【】
算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法．
（0 8河南）为支援四川地震灾区，中央电视台于
会现场捐款达
精品资料分享
woed版- 精品资料
要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型．选择题的题型构思精
巧，形式灵活，可 以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识
它同选择题一样具有考查目 标明确，知识覆盖面广，评卷
可准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是 填空题未给出答案，
1514000000元．1514000000用科学计数法表示正确的是
68910
101.5141.514
n
1015141015.1410．D B．C A．．
【解析】
2）验证法：（
定量
为整数）10,naa10(1
C 本题可直接按照科学计数法的定义来解题，
由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案 ，亦可将供
选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）
命题 时，常用此法．
A．（1，-6）
．当遇到
）（08
6y
图象上的是 （
B．（2，4）
江西）下列四个点，在反比例函数
C．（3，-2）D．（-6，- 1）
x
【解析】D直接采用代入验证的方法即可．
（3）特殊元素法：用合适的特殊元 素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得
解答．这种方法叫特殊元素法．
2
PC·+BPBC上异于BC的一点，求APP在△如图，ABC中，AB=AC=4，是
BP在点在 因为点
．
16
的
值
22
=16
PBC上的位置 不便，所以可以考虑点【解析】
=·PC=4的特殊情况，那么AP，则原式APAP+BP
） 排除、筛选法：（4
选
211
对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推 理、演
法．
k
2
kk0xkyy
算，把不正确的结论排除，余下的结 论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛
07（甘肃）已知），则函数和的函数图象大致是（
x
精品资料分享
woed版-精品资料
此题D 【解析】可以通过排除的方法 由来出，比如做
x0ykk
得可
2
112
k0ky
过一三象 限，
从而排可以得出过二、四象限，从而排除Ａ、Ｂ两项，同时由
x
除Ｃ
初中 数学各类解题思想分类详解
--初中数学
的实质是揭示联系，
转化与化归思想解题要点梳理】一：【
将未知解法或难以
解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思想的过 程，选化归为在已知知识范围内已经解决
或容易解决的问题思择运用的数学方法进行交换，
实现 转化。除简单的数学问题外，
想叫做转化与化归的思想，转化与化归思想
每个数学问题的解决都 是通过转化为已知
解题的过程实际上就是一步步转化的问题实现的，化归月转化思想是解决数学问题的根 本思想，
的过程，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，空间向平面的
转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转
的转化等，都是转 化思想的体现。熟练，扎实的掌握基础知识、
础；丰富的联想，
机敏细微的观察、比较、类比是 实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定
要积极主动有意识的去发现事
钥 匙。
化，无限向有限
基本技能和基本方法是转化的基
理、公式、法则有本质上的深刻理 解和对典型习题的总结和提炼，
物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金
二 ：【例题与练习】
或； C. 1 A.1
111
2
x0xx
那么的值是
( )
x1.已知实数满足,
xx
2
x
D.-2 ；2-2或； B. -1
CS
2
S
1
精品资料分享
ABS
3．< br>woed版-精品资料
2.如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，
其面积分别用S，S，S表示，则不难证明S=S=S
331122
ABC 之间有什么， SS表示，那
ABC三边为边
S，
321123S
并
3
三边 为边向外作三个正方形，
么S，S，其面积分别用
向外作三个正三角形，
2
( 1)如图②，分别以直角三角形
1
S，
S32132
关系（不求证明）如图③ ，分别以直角三角形
(2
A
SS，S表示，请你确定，S，S之间的关系，其面积分 别为
加以证明。ABC三边为边想外作三个一般三角形，
S，S，S表示，为使
1(3)若分别以直角三角形
S
321312
CS
）相同的关系，所作三角 形应满
2
，，SS之间仍具其面积分别用
足什么条件？证明你的结论；有与（
（2）（(4)类比（
ABS
3
2
S
3）的结论，请你总结出一个 更具一般意义的结论。1）
把的中线CDBC=6，沿斜边AB如图①所示，一张三角形纸片
形 （如图②所示），将纸片三角形
直线上），当点（点A，D，DACD沿直线DB（AB方向平移0CD与BC
222112
ABC，角ACB=90，AC=8，3.两个三角
21 21
BCDACD和三角形这张纸片剪成三角形
121112
与点D，B始终在同一< br>分别交于BCD，E，AC与C，交于点
DE(1)当三角形AC加
B重合时，停止平移 ，在平移过程中，
，点F的数量关系，并
以证明你的猜想
，请你写出
y
P
2111
F与DD平移到如图③所示的位置时，猜想图中的
D重叠部分 面积设为yD1为X，三角形AC与三角形BCD(2)设平移距离
ABC的值，使重叠部分的面积等于 原三角形
D
21221
x的函数
关系式，以几自变量的取值范围；与
是否存在这样的
2）中的结论，
x对与（(3) 的值：若不存在，请说明理由。1/4/？ 若存在，求x的
CCCC
1
PC
2
21
FE
DBA DABDBADD
2112
①②③
，余20m，长32m 4.如图，在宽为
540m2.求道路的宽yx
32m
8与17如的矩形地面上修筑同样宽的道路（如图阴影部 分）
图反比例函数下的部分种上草，要使草坪的面积为
B两点的图像交于一次函数
精品资料分享
y=-x+2A， A求，B两点坐标(1)
20m
求三角形(2)AOB的面积
woed版-精品资料< br>5.如图，在直角坐标系中，点
y轴交于原点
O'的坐标为（2，0），圆O与x (-10M（0.3），（0，b），且0＜b＜3
B(2)当点E在线段OC上移动时，直线BE
b
yx2y4x4xy
117.如图，
22
O和点A，又B，C， E三点坐标分别为
B，C两点的直线的解析式E(1)求点A的坐标和经过点
与圆有哪几种位< br>2
x的取值范围。关系？并求出这种位置关系
4yxx
6.
22< br>已知
的值。求代数式0,258yx6yx
1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把 面积为的矩形把一个面积为22111等分成两
844个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两 个面积为的矩形，如
此进行下去……试利用图形揭示的规律计算：
错误! 不能通过编辑域代码 创建对象。
2
解方程：8.
025(x2(x1)1)
9.△ABC中，BC ＝错误! 不能通过编辑域代码创建对象。
代码创建对象。，AB＝c．若如图l，根据勾股定理，则< br>若△ABC不是直角三角形，如图
码创建对
2
，AC＝错误! 不能通过编辑域
C90
，
错误! 不能通过编辑域代码创建对象。。
2和图3，请你类比勾股定理，试猜想错误! 不能通过编辑域代象。与c的关系，并证明你的结论．
10.已知：如图所示，在△ABC中，E是BC的中点，D在 AC边上，
若AC=1且∠BAC=60°，∠ABC＝100°，∠DEC=80°，
求:.
+2SS
CDEABC
初中数学---
数形结合思想
.数是形的抽象 概括,形是数的直观表
,它常借用数轴、函:一是利用几何图形的直观表示数的问题
,常需要建 立方程
一：【要点梳理】
1.数
形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法现,用数形结合的思想解题可分两类
2.热点内容
数图象等;二是运用数量关系来研究 几何图形问题(组)或建立函数关系式等
精品资料分享
woed版- 精品资料
(1).利用数轴解不等式(组)
,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数 解析式和解决与函(2).研究函数图象隐含的信息
数性质有关的问题.
(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.
(组),求得有 关结论等问(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程
题.
选择：1.（件）个月生产某种产品的总量c（1）某村办工厂今年前5 ）
（月）的图象如图所示，则该厂对这种产品来说（关于时间t 两月生产总量逐月减少、54 A.1
月至3月每月生产总量逐月增加，
月持平两月生产总量与33月每月生产总量逐月增加，
4
4、5 B.1月至两月均停止生产、
4
51
D.1月至3月每月生产总量逐月增加，C.两月均停止生产、5 3月每月生产总量不变 ，
3分钟以内收费（
二：【例题与练习】
月至元每．246分钟，按通话时间收费，< br>之间的关系的图象如（元）与通话时间
2）某人从A地向B地打长途电话分）
y加 1 ）图所示，正确(分钟加收 1元，则表示电话费
的是（
小时有一班车发时,每隔23）丽水到 杭州的班车首法时间为早上
.出,且丽水到杭州需要
D.7
6时,末班车为傍晚
4个小时(
次 C.6
18（则班.已
)
次
知同一时刻有班车分别从杭州、丽水战发出车在图中相遇的次数最多为
B.5次
21-10
2.
次. A.4
填空：
X的不等式2x-a>-3的解集如图所示
x>3,则m的取值范围是
,则a的值等于
（2）如果不等式组
xm
（1）已知关于
x8??4x-1< br>的解集为
2
的图象,当x=－2考虑3.
时,y= ；当x<-2时,y的取值 范围是。当y≥-1
y
x
时,x的取值范围是
y
如果成人在试验药效 时发现
,达每毫升
,4.某医药研究所开发了一种新药
3
6
,
6
按规定剂量服用,那么2个小时
时血液中含药最高
O102x
微克(1微 克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含药
y(微克)随时间x(小时) 量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量
.当成人按规定剂量服药后. 的变化如图所示
(1)分别求出x≤2和x≥2时y与x的函数解析式;
(2)如果每毫升血液中含量为
多长?
精品资料分享
woed版- 精品资料
4微克或4微克以上时,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间有
a 设为B两窗 口前排队的人一样多
人B窗口队伍后面每分钟增加
达窗口所花的时间是多少
小杰迅速从
继续在A窗口排队到达
负半轴上,;
(如图.小杰到学校食堂买饭
,且,看到A、5.人A窗口每分钟有6
就战到A窗队伍的后面,过了2分钟他发现人,a>8),.
5买了饭离开队伍(用含,若小杰继续在A窗口排队,则他到
(1)此时的代数式表示)? a窗口所花,且到达B(2)此时,若
) 的取值范围(不考虑其他因素的时间比A窗口队伍转移到B窗 口队伍后面重新排队
A窗口的时间少,求a点,两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边
,OA=4. 角CAO=30°A在第二象限内.点B、点C在x轴的重合,6.如图①,在平面直角坐标系中
C的坐标(1)求点OA交知线, ABC绕点C按顺时针方向旋转30°到△A'CB'的位置其中A 'C(2)如
图②,将△则除△A'B'CE,A'B'分别交直线OA,CA与点F,G,≌△AOC 外,还有哪几对全等的与点
yy
三角形,请直接写出答案(不再另外天家辅助线)
G E1B'1O1Ox1BxAA
I
A
'
F
②
(-1,2) 的图象开口向上
负半轴。以下结论（
①
y=ax2+bx+c,图象过点7.如图,二 次函数）a>0；和(1,0),且与y轴相交与
7）a+c=1；1 abc<0；3）c>0；（4 ）a+b+c=0；（5））（2b>0；（正确结论的序号
（8）a>1中,（6）2a+b>0;（ . 是