卷三数学文全国初中数学竞赛试题及答案解析

2020年11月19日发(作者：杨采妮)
全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正
确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若，则的值为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
解： 由题设得．
代数式变形，同除b
2．若实数
a
，
b
满足
（A）
a
解．C
，则
a
的取值范围是（ ）．
或
a
≥4 （D）≤
a
≤4 （B）
a
4 （C）
a
≤
因为
b
是实数，所以关于
b
的一元二次方程
的判别式 ≥0,解得
a
≤或
a
≥4．
方程思想，判别式定理；要解一元二次不等式
3．如图，在四边形
ABCD
中，∠
B
＝135°，∠
C
＝120°，
AB
=
则
AD
边的长为（ ）．
（A）
（C）
（B）
（D）


，
BC
=，
CD
＝，

解：D
如图，过 点
A
，
D
分别作
AE
，
DF
垂直于直线< br>BC
，垂足分别为
E
，
F
．
由已知可得
BE
=
AE
=
于是
EF
＝4＋
，
CF
＝
．
，
DF
＝2，
过点
A
作
AG
⊥
DF
，垂足为
G
．在Rt△
ADG
中，根据勾股定理得
AD
勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法
＝．

4．在一列数……中，已知，且当
k
≥2时，

（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于
（ ）．
(A) 1 (B)
3 (D) 4
解：B
2 (C)
由和
，
，
……
，
，
可得
，
，，
，
因为2010=4×502+2，所以
高斯函数；找规律。
=2．
5．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，等腰梯形
ABCD
的顶点坐标分 别为
A
（1，1），
B
（2，
－1），
C
（－2， －1），
D
（－1，1）．
y
轴上一点
P
（0，2）绕点< br>A
旋转180°得点
P
1
，点
P
1
绕点B
旋转180°得点
P
2
，点
P
2
绕点
C
旋转180°得点
P
3
，点
P
3
绕点
D
旋转180°得点
P
4
，……，重复操作依次得到点
P
1
，
P
2
，…， 则点
P
2010
的坐标是
（ ）．
（A）（2010，2） （B）（2010，
（C）（2012，
）
） （D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点
记，其中
，的坐标分别为（2，0），（2，
．
）．
根据对称关系，依次可以求得：
，
令，同样可以求得，点
，
的坐标为（
）．
，
），即（
．
），
由于2010=4502+2，所以点
二、填空题
6．已知
a
＝
解：0
的坐标为（2010，
－1，则 2
a
＋7
a
－2
a
－12 的值等于 ．
32
由已知得 (
a
＋1)＝5，所以
a
＋2
a
＝4，于是
2< br>a
＋7
a
－2
a
－12＝2
a
＋4
a
＋3
a
－2
a
－12＝3
a
＋6
a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在 某一时
刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上
了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过
t
分钟，货车追上了客车，则
t＝ ．
解：15
323222
22
设在某 一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为
S
千米，小轿车、货车、客车的速度分
别为（ 千米/分），并设货车经
x
分钟追上客车，由题意得
， ①
， ②
③
由①②，得



8．如图，在平面直角坐标系
xO y
中，多边形
OABCDE
的顶点坐标分别是
O
（0，0），
A
（0，
6），
B
（4，6），
C
（4，4），
D
（6，4），
E
（6，0）．若直线
l
经过点
M
（2，3），且
将多边形
OABCDE
分割成面积相等的两部分，则直线
l< br>的函数表达式
是 ．
，所以，
x
=30． 故 （分）．
．


解：
如图，延长
BC
交
x
轴于点
F
；连接
OB
，
AFCE
，
DF
，且相交于点
N
．
由已知得点
M
（2，3）是
OB
，
AF< br>的中点，即点
M
为矩形
ABFO
的中心，所以直线把矩
形ABFO
分成面积相等的两部分．又因为点
N
（5，2）是矩形
CDEF
的中心，所以，
过点
N
（5，2）的直线把矩形
CDEF
分成面积相等的两部分．
于是，直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为，则

解得 ,故所求直线的函数表达式为．

9．如图，射线
AM
，
BN都垂直于线段
AB
，点
E
为
AM
上一点，过点
A
作
BE
的垂线
AC
分别交
BE
，
BN< br>于点
F
，
C
，过点
C
作
AM
的垂线
CD
，垂足为
D
．若
CD
＝
CF
，则 ．

解：
．
．
见题图，设
因为Rt△
AFB
∽Rt△
ABC
，所以
又因为
FC
＝
DC
＝
AB
，所以 即 ，
解得，或（舍去）．
又Rt△∽Rt△，所以， 即=．