世纪金榜数学初中数学压轴题及标准答案.docx

2020年11月19日发(作者：龚全安)











中

考

数

学

压

轴

题

1.


已知 : 如图 , 抛物线 y=-x
2
+bx+c 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A（-1 ， 0）、 B（ 0， 3）两点，其

顶点为 D.

（1）

（2）

（3）





求该抛物线的解析式；

若该抛物线与 x 轴的另一个交点为 E. 求四边形 ABDE的面积；

△AOB与△ BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由

y=ax +bx+c(a ≠ 0)

的顶点坐标为













































































































2

.

（注：抛物线






























b

2a

























,

4ac b

4a






























2
）























































2.

如图，在

Rt△ ABC
中，

A 90
o

，

AB

6
，

AC

8
，

D， E
分别是边

AB， AC
的

中点，点

P
从点

D
出发沿

DE
方向运动， 过点

P
作

PQ

BC

于
Q
，过点

Q
作
QR ∥ BA

交



AC
于













R
，当点

Q
与点

C
重合时，点

P
停止运动．设

BQ










x
，
QR

y
．


（ 1）求点
D
到
BC
的距离
DH
的长；
（ 2）求
y
关于
x
的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点

P
，使

△

PQR

为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的

x
的值；

若不存在，请说明理由．

A

R

D

P



E

C

B







H Q

3 在△

形

ABC

中，∠

＝90°，

A

AB

＝4，

AC

＝ 3，

是

M

AB

上的动点（不与

A

，

重合），过

B


M

点作

MN
∥
BC
交
AC
于点
N
．以
MN
为直径作⊙
O
，并在⊙
O
内作内接矩
AMPN
．令
AM
＝
x
．










（ 1）用含
x
的代数式表示△
Ｍ

NP
的面积
S
；
（ 2）当
x
为何值时，⊙
O
与直线
BC
相切？
ＭNP
与梯形
BCNM
重合的面积
（ 3）在动点
M
的运动过程中，记△

为

函数表达式，并求



y
，试求
y
关于
x
的

x
为何值时，
y
的值最大，最大值是多少？







A



A

M

O





A

O


P


M





O





N


N



M

N

B


C

B





P

图 3







D

图 2





C
B





C



图 1





























4. 如图

1 ，在平面直角坐标系中，己知




AOB是等边三角形，
点





A的坐标
是




(0

， 4) ，

点 B在第一象限，点


P是 x 轴上的一个动点，连结





AP，并把



向旋转








.

使边

AO
AOP绕着
点





A按逆时针方




与 AB重
. 得到



ABD. （ 1）求直线



合

AB的解析式；

（


2）当点

P运动到




点（


3
，

0

）时，求此时

DP的长及
点

D的坐标；
（

3 ）是否存在点

P，使

OPD的面积

等于




















3
4

，若存在，请求出符合条件的点

P的坐标；若不存在，请说明理由

.

5 如图，菱形 ABCD的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边

AD，CD上的两个动点， 且满足 AE+CF=2.

（ 1）求证：△ BDE≌△ BCF；
（ 2）判断△ BEF的形状，并说明理由；
（ 3）设△ BEF的面积为 S，求 S的取值范围 .





























6 如图，抛物线

L : y


1

x


2
2x 3
交
x
轴于 、


两点，交


轴于


点

抛物线


向右平

A

B


y



M


.


L
1



移 2 个单位后得到抛物线

L
2

，
L
2

交
x
轴于

C、

D

两点

.


（1）求抛物线
L
2
对应的函数表达式；

（2）抛物线
L
1
或
L
2
在
x
轴上方的部分是否存在点

平行四边形 . 若存在，求出点



N，使以 A， C， M， N 为顶点的四边形是

N 的坐标；若不存在，请说明理由；


（3）若点 P 是抛物线
L
1
上的一个动点（ P 不与点 A、B 重合），那么点


Q是否在抛物线

L
2

上，请说明理由

.

P 关于原点的对称点























7. 如图，在梯形





ABCD

AB CD AB

CD

AD

BC

上运动，并保持

MN
∥
AB
，
ME
⊥
AB
，
NF
⊥
AB
，垂足分别为

（ 1）求梯形
ABCD
的面积；
（ 2）求四边形
MEFN
面积的最大值．
（ 3）试判断四边形
MEFN
能否为正方形，若能，
求出正方形
MEFN
的面积；若不能，请说明理由．
D

M

C

N

中，

∥ ， ＝7，

＝ 1，

＝

＝5．点

M

N


，

分别在边

AD BC

，

E
，
F
．














A

E

F

B

8. 如图，点
A
（
m
，
m
＋ 1），
B
（
m
＋ 3，
m
－ 1）都在反比例函数 y


k
的图象上．

x












（ 1）求
m
，
k
的值；
（ 2）如果
M
为
x
轴上一点，
N
为
y
轴上一点，
以点
A
，
B
，
M
，
N
为顶点的四边形是平行四边形，
试求直线
MN
的函数表达式．






y






A

B

O

x

友情提示 ：本大题第（ 1）小题


4 分，第（ 2）小题

7


分．对完成第（ 2）小题有困难的同学可以做下面的











（ 3 ）
（3）选做题 ：在平面直角坐标系中，点

P
的坐标



y






Q

1



为（ 5， 0），点
Q
的坐标为（ 0， 3），把线段
PQ
向右平



移 4 个单位，然后再向上平移

2 个单位，得到线段

P
1
Q
1
，

Q

则点
P
1

的坐标为

，点
Q
1

的坐标为

．

2



1








1

P




O
1 2

3
P

x

9. 如图 16，在平面直角坐标系中， 直线
y

抛物线
y ax
2
3x

3
与
x
轴交于点

A

，与

y

轴交于点

C

，

2 3
3

x


c(a


0)
经过

A，B，C

三点．











（1）求过
A，

B，

C
三点抛物线的解析式并求出顶点

（2）在抛物线上是否存在点

若不存在，请说明理由；


标；若不存在，请说明理由．






F
的坐标；


P
，使
△ ABP
为直角三角形，若存在，直接写出


P
点坐标；


（ 3）试探究在直线
AC
上是否存在一点
M
，使得
△MBF
的周长最小， 若存在， 求出
M
点的坐
y

A










O

F

B

x

C

图 16
10. 如图所示， 在平面直角坐标系中，

轴的正半轴上，且
AB 1
，

OB

矩形
EFOD
．点
A
的对应点为点

矩形
ABOC
的边
BO
在

x

轴的负半轴上， 边
OC
在
y


3
，矩形

ABOC

绕点

O

按顺时针方向旋转

60
o

后得到

E
，点
B
的对应点为点
F
，点
C
的对应点为点

D
，抛物








线
y


ax
2
bx c
过点

A，E，D

．




（ 1）判断点
E
是否在
y
轴上，并说明理由；
（ 2）求抛物线的函数表达式；
（ 3）在
x
轴的上方是否存在点

P
，点

Q

，使以点

O，

B，

P，

Q

为顶点的平行四边形的面

积是矩形
ABOC
面积的

2

倍，且点
P
在抛物线上，若存在，请求出点

不存在，请说明理由．









P
，点

Q

的坐标；若








y

E

A

F

C











D








B

O

x






11. 已知：如图 14，抛物线
y


3

x
2
3
与

x

轴交于点

A
，点
B
，与直线
y






4

3
x

b
相

4


交于点
B
，点
C
，直线
y

（1）写出直线
BC
的解析式．

（2）求
△

ABC
的面积．

3
x

b
与
y
轴交于点
E
．


4













A
向
B
运动（不与
A， B
重合），

同时，点
N
在射线
BC
上以每秒

2 个单位长度的速度从

B
向
C
运动．设运动时间为

t
秒，

请写出
△MNB
的面积
S
与
t
的函数关系式， 并求出点
M
运动多少时间时，
△MNB
的面积最
（3）若点
M
在线段
AB
上以每秒

1 个单位长度的速度从

大，最大面积是多少？







































12. 在平面直角坐标系中△ ABC的边 AB 在 x 轴上，且 OA>OB,以 AB为直径的圆过点

C 若 C 的








坐标为 (0,2),AB=5, A,B




两点的横坐标

X
A
,X
B
是关于 X 的方程
x
2

(m 2) x n 1

0
的两

根 :
(1) 求 m， n 的值
(2)

若∠ ACB的平分线所在的直线
l

交 x 轴于点 D，试求直线
l
对应的一次函数的解析式

`
过点 D 任作一直线
l
分别交射线

CA，CB（点 C 除外）于点 M， N，则

(3)



1

1

的值是

CM

CN


否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由

C

M

A

O

B

D

N

L`

13. 已知 : 如图 , 抛物线 y=-x
2
+bx+c 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A（ -1 ，0）、 B（ 0，
顶点为 D.

(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 若该抛物线与 x 轴的另一个交点为 E. 求四边形 ABDE的面积；
(3) △ AOB与△ BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由

（注：抛物线
2

y=ax +bx+c(a

≠ 0)
b


的顶点坐标为

,
4ac b

2

）


2a

4a


14. 已知抛物线 y 3ax
2
2bx

c ，

3）两点，其
.




































































（Ⅰ）若
a b 1
，
c

1
，求该抛物线与

x 轴公共点的坐标；











（Ⅱ） 若
a b 1
，且当
1 x 1
时，抛物线与

x

轴有且只有一个公共点，

求 c 的取值范围；












（Ⅲ）若
a b c 0
，且

x
1

0 时，对应的 y
1
0 ；x
2
1 时，对应的 y
2
0 ，试判断当
0

x

时，抛物线与 x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．






























15. 已知：如图①，在 Rt △ ACB中，∠ C＝90°， AC＝ 4cm， BC＝ 3cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方
向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s ；点 Q由 A 出发沿 AC方向向点 C匀速运动， 速度为 2cm/s ；连

接 PQ．若设运动的时间为 t （ s）（ 0＜ t ＜ 2），解答下列问题：
（1）当 t 为何值时， PQ∥ BC？

（ 2）设△ AQP的面积为 y（
cm

2
），求 y 与 t 之间的函数关系式；

（ 3）是否存在某一时刻 t ，使线段 PQ恰好把 Rt△ ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出

此时 t 的值；若不存在，说明理由；
（ 4）如图②，连接 PC，并把△ PQC沿 QC翻折，得到四边形 PQP′C，那么是否存在某一时刻
t ，使四边形 PQP′ C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．


B


B

P


P




C

Q

A

Q

C
A


图①
图②



P


1































































16. 已知双曲线
y


左侧）是双曲线


y



k

与直线
y

x


k

x


1
4




x
相交于

A、B

两点

.

第一象限上的点

M（ m，n）（在 A 点





上的动点 . 过点 B 作 BD∥ y 轴于点 D.过 N（ 0，－ n）作 NC∥x 轴交双

曲线
y


k

x

于点 E，交 BD于点 C.







（ 1）若点 D 坐标是（－ 8， 0），求 A、 B 两点坐标及 k 的值 .
（ 2）若 B是 CD的中点，四边形 OBCE的面积为 4，求直线 CM的解析式 .
（3）设直线 AM、 BM分别与 y 轴相交于 P、 Q两点，且

MA＝ pMP， MB＝ qMQ，求 p－ q 的值 .

y

M

A

D

B

C E

O

N
x








压轴题答案





1. 解：（ 1 ）由已知得：

c

3

解得

1

b

c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为
yx
2






c 0


2x

3

(2) 由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）
所以对称轴为 x=1,A,E 关于 x=1 对称，所以
设对称轴与 x 轴的交点为

F

E(3,0)



y



D

B

G

所以四边形 ABDE的面积 =
S

ABO

S
梯形

BOFD

S
DFE

=
AO BO

1
2

1
2

(BO

DF ) OF


1


EF

DF












=
1
2



1

3





1
2

2






A

O





















E

(3




4)

1






1

2

4


2








F

x

=9



（3）相似

如图， BD=


BE=

DE=

BG
2

DG
2


3
2

3
2

2
2

4
2


20

,

1
2

1
2

3

2

2

5

2

2



BO
2


OE
2


DF
2


EF
2


2



所以
BD


BE
2

DE
20

即：

BD
2

BE
2


DE
2

,

所以

BDE
是直角三角形


所以


AOB


DBE


90

, 且
AO

BD

BO

BE

2

,

2

AOB : DBE
.


2 解：（ 1）
Q

A

Rt

，
AB 6

，
AC

8
，

所以

Q
点

D

为

AB

中点，


BD

B

1
2

BC 10
．

AB

3
．








Q


DHB

A 90
o

，

B
．

gAC

△ BHD ∽△ BAC
，

DH

AC



BD
BC


，
DH

BD
BC

3

8

12

．

10

5

A

90
o

．


（2）
Q QR

∥

AB
，

QRC

Q C

C
，

△ RQC ∽△ ABC
，







RQ


QC


，

y


10

x


，




AB


BC

6


10


即
y
关于

x

的函数关系式为：


（3）存在，分三种情况：




y






3

5

x 6
．
























①当
PQ

PR
时，过点

P

作
PM

2 90
o

，
C




QR
于

M

，则
QM RM

．


A

R

D

P

Q 1



2


90
o

，

1

C
．


E

1
M

2


cos

1

cosC


8


4

，

QM

QP




4

5

，

B

10


5










H Q

C

1

2


3
x

6

5


A

4

，

x



18

5


．



12

5

5



D






P

Q

E

R

C

B






②当
PQ


RQ
时，



3
x

6

12

，

5


5



H

x


6
．

A

③当
PR

QR
时，则

R

为
PQ
中垂线上的点，

D


E
P

R

C

于是点
R
为
EC
的中点，

CR


1
2

CE



1
AC

2
．




B

Q tanC

3

5

x




4

QR

BA

，

CR

CA

6




2

6

，
x

8


15

2

．














H

Q

综上所述，当

x
为

18
5


或

6

或

15

时，
△ PQR
为等腰三角形．



A

M

N

2


O

P

3 解： （ 1）∵
MN
∥
BC
，∴∠
AMN
=∠
B
，∠
ANM
＝∠
C
．


∴ △

∽ △

．


AMN

ABC

∴
AM


AN
，即

x


AB

∴
AN
＝
x
．2 分 4

3
AC

4

AN
．

3

B



C

图 1

∴
S
=
S
MNP


S

AMN


1

2

4

O
3
x x

3

8

D
x
2

．（

0＜

x

＜

4）

3 分


AO OD



（2）如图 2，设直线

BC

与⊙



相切于点

，连结






，




，则

= =

AO OD
1


MN

．


2

A




在 Rt △
ABC
中，
BC
＝

AB






2

AC
=5．



2


M


O

N





B

Q

D

C


图 2






由（ 1）知

△
AMN
∽ △
ABC
．

∴
AM MN
，即



x MN
4


．
AB

∴
BC

5

MN x
，
4

5

8

M
5

∴
OD



x
．


??????? 5 分


Q





MQ OD
点作


⊥

MQ BC

于


，



5

8

x ．


在 Rt△
BMQ
与 Rt△
BCA
中，∠
B
是公共角，
∴ △
BMQ
∽△
BCA
．

∴
BM QM
．
BC AC

5
5 x


8

∴

BM

3


∴
x
＝


25

x
，

AB BM MA

24


25

24

x x 4
．

96



．

49
∴ 当
x
＝

96

，

⊙
O
与 直
BC
相 切

． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

7

分

49
AP
，
O
点
AP
的中点．

A








（ 3）随点
M
的运 ，当
P
点落在直
BC
上 ，

∵
MN
∥
BC
，∴

∠
AMN
=∠
B
，∠
AOM
＝∠
APC
．

∴ △


∽ △


．




AMO

ABP




∴
AM

AB

AO

AP

1
．



＝

＝2．

M


N

O








2

AM MB










故以下分两种情况 ：

① 当 0＜
x
≤ 2 ， y







B

2
3

x ．

8



P

图 3


C






S
PMN









∴

当
x
＝

2

，
y
最大


3

2
2

8




3

.
??????????????

2




8 分





A

O




② 当 2＜
x
＜ 4 ，
PM
，
PN
分 交
BC
于
E
，
F
．

∵

四 形
AMPN
是矩形，


∴ ∥

， ＝

＝

．



M




N



PN AM PN AM x









又∵
MN
∥
BC
，


∴ 四 形


是平行四 形．

MBFN


∴
FN
＝
BM
＝

4－
x
．







B


E


F


C

图

4

∴
PF x

4 x

2x

4
．

又△
PEF
∽ △
ACB
．


2


∴



PF

S

∴


S
AB

PEF
S
2

PEF

．


ABC

2

3
x


2
．

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 分








yS


MNP
S


＝
PEF
3

x
2

8



3

x 2

2


2



当 2＜
x
＜ 4 ，
y


9
x
2

6x 6

8






9

x
2

8

8


2
．



6x 6
． ??? ???? ?

1 0

分


2
9
x
8

3

2
．

∴

当
x

上所述，当
x





8


3

8

3

， 足

2＜
x
＜4，
y
最大



???????? 11 分









，
y
最大，最大 是


2． ??????????
12分


4
解：（

1）作

BE

⊥

OA

，
∴
AOB

是等 三角形
∴ BE=OB·sin60=
2










o
3
，∴





































B(
2 3
,2)

∵A(0,4),

AB的解析式




y kx 4
,

所以
2 3k 4 2
,

解得
k














3

3

,

以直 AB的解析式
y



3
3

x 4

o


（2）由旋 知，

AP=AD, ∠ PAD=60,

∴Δ APD是等 三角形，

PD=PA=
AO
2

OP
2

19


如 ，作 BE⊥ AO,DH⊥ OA,GB⊥DH, 然

∴GD=
GBD中∠ GBD=30°

1

BD=

3
2

,DH=GH+GD= +
2

3
=

35 3
2




y


,



A



G

B

D

2


∴GB=

2


H

3
2

BD= ,OH=OE+HE=OE+BG=
33

2

, )
2


2

7

2















E


∴ D(
5 37
2

O


P







x

2

(3)OP=x, 由（2）可得 D(
2 3


x, 2

3
x
)

若

OPD的面 ：


1
2

2 3

3

2


xg(2

3
x)

2

3

4

解得：
x




2 321

所以 P(

3


21
,0)




5