-如何提高工作效率
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几何经典难题
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初三）
C
E
G
A
B
D O
F
A D
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，
P
∠PAD＝∠PDA＝15
0
．
求证：△PBC是正三角形．（初二）
C
B
3、如图，已知四边形ABCD、A
1
B
1
C
1
D
1
都是正方形，A
2
、B
2
、C
2
、D< br>2
分别是AA
1
、BB
1
、CC
1
、DD< br>1
的中点．
A
D
求证：四边形A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形．（初二）
A
2
D
2
A
1
D
1
B
1
C
1
B
2
C
2
B C
4、已知：如图，在四边形ABCD中 ，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交
MN于E、F．
F
求证：∠DEN＝∠F．
E
N C
D
A
B
M
5、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
（1）求证：AH＝2OM； A
（2）若∠BAC＝60
0
，求证：AH＝AO．（初三）
O
·
H
E
B
C
M D
1
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6、设MN是圆O外一直线， 过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，
直线EB及CD分别交MN于P 、Q． G
E
求证：AP＝AQ．（初三）
O
·
C
B
D
M N
Q
P
A
7、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初三 ） E
C
A
Q
M
·
N
P
·
O
B
D
8、如图，分别以△ ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P
是EF的中点 ．
D
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）
G
2
E
C
P
F
B
A
Q
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9、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初二）
D
A
F
E
B
C
10、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE＝AF．（初二）
A D
F
B
C
E
11、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
D
A
F
B
P C E
12、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求< br>证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
A
O D
B
P
E
F
C
3
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13、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．（初二）
A
P
B C
14、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
A
D
P
B
C
15、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
A
D
B
C
16、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
A
D
F
P
B
E
C
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17、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：
≤L＜2．
18、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
B
A
P
A
D
P
C
C
B
19、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
5
B
C
A
P
D
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20、如图，△ABC中， ∠ABC＝∠ACB＝80
0
，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30
0< br>，∠EBA
＝20
0
，求∠BED的度数．
A
E
D
C
B
解答
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,
即 △GHF∽△OGE,可得
EOGOCO
==,又CO=EO，所以CD=GF得证。
GFGHCD
2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝15
0
所以∠DCP=30
0
，从而得出△PBC是正三角形
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3.
如下图
连接BC
1
和 AB
1
分别找其中点F,E.连接C
2
F与A
2
E并延长相 交于Q点，
连接EB
2
并延长交C
2
Q于H点，连接FB
2
并延长交A
2
Q于G点，
111
0
由A
2E=
1
2
A
1
B
1
=
2
B< br>1
C
1
= FB
2
，EB
2
=
2
AB=
2
BC=F
C
1
，又
∠GFQ+∠Q=90和
∠GE
B
2
+
∠Q =90
0
,所以∠GE
B
2
=
∠GFQ又∠B
2< br>FC
2
=∠A
2
EB
2
，
可得△B2
FC
2
≌△A
2
EB
2
，所以A
2
B
2
=B
2
C
2
， 又∠GFQ+∠HB
2
F=90
0
和∠GFQ=∠EB
2
A
2
,
从而可得∠A
2
B
2
C
2
=90
0
，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得 出四边形A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形。< br>
4.
如下图
连接AC并取其中点Q，连接QN和QM， 所以可得
∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=
∠QNM，从而得出∠DEN＝∠ F。
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5.(1)延长AD到F连BF，做OG
⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB，OC,既得
∠BOC=120
0
，
从而可得∠BOM=60
0
,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
6.证明：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，
FC，
∵OA⊥MN，EF⊥OA，
则有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，
∵∠PAF=∠AFE=∠AEF=180-∠FCD，
∵∠PAF=180-∠FAQ，
∴∠FCD=∠FAQ，
∴FCAQ四点共圆，
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