离散数学2初一奥数题及解答复习课程

2020年11月19日发(作者：苗永瑞)
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初一奥数复习题

2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜
-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．
3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n， 求x的取值范围．
4．设(3x-1)
7
=a
7
x
7
＋a
6
x
6
+…+a
1
x＋a
0
，试求a
0
+a
2
＋a
4
＋a
6
的值．
5．已知方程组

有解，求k的值．
6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．
7．解方程组

8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．
9．比较下面两个数的大小：

10．x，y，z均是非负实数，且满足：
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x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4，
求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值．
11．求x
4
-2x
3
＋x
2
+2x-1除以 x
2
+x＋1的商式和余式．
12．如图1－88所示．小柱住在甲村，奶奶住 在乙村，星期日小柱去看望奶奶，先在北山
坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去．请问：小柱应 该选择怎样的路线才能使路程最短？

13．如图1－89所示．AOB是一条直线，O C，OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线，∠
COD=55°．求∠DOE的补角．

14．如图1－90所示．BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=55°，∠EDF=70°． 求证：BC
∥AE．

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15．如图1－91所示．在△ABC 中，EF⊥AB，CD⊥AB，∠CDG=∠BEF．求证：∠AGD=
∠ACB．

16．如图1－92所示．在△ABC中，∠B=∠C，BD⊥AC于D．求

17．如图1－93所示．在△ABC中，E为AC的中点，D在BC上，且BD∶DC=1∶2，
AD 与BE交于F．求△BDF与四边形FDCE的面积之比．

18．如图1－94所示． 四边形ABCD两组对边延长相交于K及L，对角线AC∥KL，BD
延长线交KL于F．求证：KF= FL．
19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？说明理由．
20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂
上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同
时改变 颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？
21．如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：6｜(p＋1)．
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22．设n是满足下列条件的最小正整数，它们是75的倍数，且恰有

23．房间里凳 子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐
上后，共有43条腿(包括每 个人的两条腿)，问房间里有几个人？
24．求不定方程49x-56y+14z=35的整数解．
25．男、女各8人跳集体舞．
(1)如果男女分站两列；
(2)如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴．
问各有多少种不同情况？
26．由1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152？
27．甲火车长92米，乙火车长84米，若相向而行，相遇后经过1.5秒(s)两车错过，若同
向而 行相遇后经6秒两车错过，求甲乙两火车的速度．
28．甲乙两生产小队共同种菜，种了4天后， 由甲队单独完成剩下的，又用2天完成．若
甲单独完成比乙单独完成全部任务快3天．求甲乙单独完成各 用多少天？
29．一船向相距240海里的某港出发，到达目的地前48海里处，速度每小时减少 10海里，
到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等，求原来的速度．
30．某工厂甲乙两个车间，去年计划完成税利750万元，结果甲车间超额15％完成计划，乙车间超额10％完成计划，两车间共同完成税利845万元，求去年这两个车间分别完成税利多
少 万元？
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31．已知甲乙两种商品的原价之和为150元．因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价
20％， 调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降低了1％，求甲乙两种商品原单价各是多
少？
32．小红去年暑假在商店买了2把儿童牙刷和3支牙膏，正好把带去的钱用完．已知每支
牙膏比每把牙 刷多1元，今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样的牙刷和牙膏，因为今年的
牙刷每把涨到1.68元 ，牙膏每支涨价30％，小红只好买2把牙刷和2支牙膏，结果找回4角钱．试
问去年暑假每把牙刷多少 钱？每支牙膏多少钱？
33．某商场如果将进货单价为8元的商品，按每件12元卖出，每天可售 出400件，据经验，
若每件少卖1元，则每天可多卖出200件，问每件应减价多少元才可获得最好的 效益？
34．从A镇到B镇的距离是28千米，今有甲骑自行车用0．4千米/分钟的速度，从A 镇
出发驶向B镇，25分钟以后，乙骑自行车，用0．6千米/分钟的速度追甲，试问多少分钟后追上甲？
35．现有三种合金：第一种含铜60％，含锰40％；第二种含锰10％，含镍90 ％；第三种
含铜20％，含锰50％，含镍30％．现各取适当重量的这三种合金，组成一块含镍45％ 的新合
金，重量为1千克．
(1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；
(2)求新合金中含第二种合金的重量范围；
(3)求新合金中含锰的重量范围．
初一奥数复习题解答


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2 ．因为｜a｜=-a，所以a≤0，又因为｜ab｜=ab，所以b≤0，因为｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0，c-b≥0，a-c≤0．所以
原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．
3．因为m＜0，n＞0，所 以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当
x+m≥0时，｜x+m｜= x＋m；当x-n≤0时，｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时，
｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．
4．分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得


a
0
+ a
2
＋a
4
＋a
6
=-8128．
5．②＋③整理得
x=-6y， ④
④代入①得 (k-5)y=0．
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当k=5时，y有无穷多解，所以原方程组有无穷多组解；当k≠5时， y=0，代入②得(1-k)x=1
＋k，因为x=-6y=0，所以1＋k=0，所以k=-1．
故k=5或k=-1时原方程组有解．

＜x≤3时，有2(x＋1)-(x-3)=6，所以x=1；当x＞3时，有


舍去．
,所以应

7．由｜x-y｜=2得

x-y=2，或x-y=-2，
所以

由前一个方程组得
｜2+y｜＋｜y｜=4．
当y＜-2时，-(y+2)-y=4，所以 y=-3，x =-1；当-2≤y＜0时，(y＋1)-y=4，无解；当y≥0
时，(2＋y)+y=4，所以y= 1，x=3．
同理，可由后一个方程组解得
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所以解为



解①得x≤-3；解②得
-3＜x＜-2或0＜x≤1；
解③得x＞1．
所以原不等式解为x＜-2或x＞0．9．令a＝9999
1111
，则

于是

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显然有a＞1，所以A-B＞0，即A＞B．

10．由已知可解出y和z

因为y，z为非负实数，所以有


u=3x-2y+4z


11.

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所以商式为x
2
-3x+3，余式为2x-4．
12．小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图1－97所示)．
我们用“对称”的办法将小柱 的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它
是线段)．设甲村关于北山坡(将山坡看成一条直 线)的对称点是甲′；乙村关于南山坡的
对称点是乙′，连接甲′乙′，设甲′乙′所连得的线段分别与 北山坡和南山坡的交点
是A，B，则从甲→A→B→乙的路线的选择是最好的选择(即路线最短)．

显然，路线甲→A→B→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度．而从甲村到乙村的其他任何路线，利用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲′与乙′之间的折线．它
们的长度都大 于线段甲′乙′．所以，从甲→A→B→乙的路程最短．
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