生活中的数学应用初中数学几何题(超难)与答案分析

2020年11月19日发(作者：冯德瑜)









几何经典难题

1、已知：如图，

O 是半圆的圆心， C、E 是圆上的两点， CD ⊥ AB ， EF⊥ AB ，EG⊥ CO．求
证： CD＝ GF．（初三）

C

E









G

A

D

A





B

O

F

D





2、已知：如图， P 是正方形 ABCD 内点，

∠ PAD＝∠ PDA ＝ 15
0
．








P



求证：△ PBC 是正三角形．（初二）


B

C

3、如图，已知四边形

ABCD 、A
1
B
1
C
1
D
1
都是正方形， A
2
、B
2
、 C
2
、D
2
分别是 AA
1
、 BB
1
、 CC
1
、 DD
1
的中点．


A

D

求证：四边形 A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形．（初二）

A
2
D
2
A
1

D
1














B
1
B
2
B



C
1
C
2
C


4、已知：如图，在四边形

MN 于 E、F．







ABCD 中， AD ＝ BC， M、 N 分别是 AB 、 CD 的中点， AD 、BC 的延长线交


F

求证：∠ DEN ＝∠ F．

E

N

D

A

C








5、已知：△ ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点）

（ 1）求证： AH ＝2OM ；

M

， O 为外心，且

OM ⊥ BC 于 M ．

A

B

（ 2）若∠ BAC ＝ 60
0
，求证： AH ＝ AO ．（初三）

O

·



H

E

B
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M

D

C














6、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OA ⊥MN 于 A ，自 A 引圆的两条直线，交圆于

B 、 C 及 D、 E，

直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q．

求证： AP＝ AQ ．（初三）





G

E

O
·

C





B





D

N

M















P

A

Q

7、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

AP ＝ AQ．（初三 ）
C

M

P

CD
设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、 DE ，设求证：
、EB 分别交 MN 于 P、Q．


















E

A

·

Q

N



·

O

B

D



8、如图，分别以△ ABC 的 AC 和 BC 为一边，在△ ABC 的外侧作正方形

是 EF 的中点．

求证：点 P 到边 AB 的距离等于










ACDE 和正方形 CBFG ，点 P



D

AB 的一半．（初二）







G

C


E




P

F

Q

B



















A

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9、如图，四边形 ABCD 为正方形， DE∥ AC ，AE ＝ AC ， AE 与 CD 相交于 F．

求证： CE＝CF ．（初二）

A

D

F

E

B

C

10、如图，四边形 ABCD 为正方形， DE ∥ AC，且 CE＝ CA ，直线 EC 交 DA 延长线于 F．

求证： AE ＝AF ．（初二）

A

D

F

B

C

E

11、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PF⊥ AP ，CF 平分∠ DCE ．

求证： PA＝ PF．（初二）

A
D


F

B

P

C

E

12、如图， PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线， AE 、AF 与直线 PO 相交于 B、 D．求
证： AB ＝DC ， BC ＝ AD ．（初三）

A

B

O

D

P

E

F

C

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13、已知：△ ABC 是正三角形，

P 是三角形内一点， PA＝ 3，PB ＝ 4， PC＝ 5．求：
∠ APB 的度数．（初二）





























A

P


































C

B

14、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠

求证：∠ PAB ＝∠ PCB ．（初二）

PBA ＝∠ PDA ．

A

D


P

B

15、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：

C

AB · CD ＋ AD · BC＝ AC ·BD ．（初三）
















A

D

B







C

16、平行四边形

ABCD 中，设 E、 F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且 AE ＝

CF．求证：∠ DPA＝∠ DPC．（初二）

A

F

D









P

E



B










C

17、设 P 是边长为 1 的正△ ABC 内任一点， L ＝ PA ＋PB ＋ PC，求证：

≤ L ＜ 2．

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18、已知： P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求

PA＋ PB＋ PC 的最小值．


A
AD


P

P

B

C

B

C

19、 P 为正方形 ABCD 内的一点，并且

PA＝ a， PB＝ 2a，PC＝3a，求正方形的边长．

A

D

P

B

C

20、如图，△ ABC 中，∠ ABC ＝∠ ACB ＝80
0
， D、E 分别是 AB 、AC 上的点，∠ DCA ＝ 30
0
，∠
20
0
，求∠ BED 的度数．

A

E

D

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B
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C

EBA ＝

























































































解答

1.如下图做 GH ⊥ AB, 连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以∠ GFH ＝∠ OEG,
即△ GHF∽△ OGE,可得
EOGOCO
= = ,又 CO=EO ，所以 CD=GF 得证。


























GF GH CD



































2. 如下图做△ DGC 使与△ ADP 全等，可得△ PDG 为等边△，从而可得
△ DGC ≌△ APD ≌△ CGP,得出 PC=AD=DC, 和∠ DCG= ∠ PCG＝15
0

所以∠ DCP=30
0
，从而得出△ PBC 是正三角形


3.
如下图
连接 BC
1
和 AB
1
分别找其中点 F,E. 连接 C
2
F 与 A
2
E 并延长相交于 Q点，
连接 EB
2
并延长交 C
2
Q于 H点，连接 FB
2
并延长交 A
2
Q于 G点，
由 A
2
E=

1
A
1
B
1
=

1
B
1
C
1
= FB
2
，EB
2
=
1


2

2 2
1
1
，又

∠GFQ+

∠

Q=90

0

和

















AB=
2
BC=F
C

∠ GE
2
∠Q=90

0

2
∠GFQ

又∠

B

2
FC
2
=∠

A
2
EB
2
，

B +


,所以∠ GE
B =


可得△ B
2
FC
2
≌△ A
2
EB
2
，所以 A
2
B
2
=B
2
C
2
，

0
和∠ GFQ=∠EB
2
A
2
,
2
F=90

又∠ GFQ+ ∠ HB
从而可得∠ A
2
B
2
C
2
=90
0
，

同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形

A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形。




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4.
如下图
连接 AC并取其中点 Q，连接 QN和 QM，所以可得
∠

QMF=

∠

F，∠

QNM=

∠DEN

和∠

QMN=

∠ QNM ，从而得出∠ DEN ＝∠ F。

5.(1) 延长 AD到 F 连 BF，做 OG
⊥

AF,

又∠ F= ∠ ACB= ∠ BHD ，

可得 BH=BF, 从而可得 HD=DF ，

又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
























(2) 连接 OB，OC,既得
∠

BOC=120

0
，

从而可得∠ BOM=60
0
,

所以可得

OB=2OM=AH=AO,

得证。

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