数学头脑初中数学规律题汇总(全部有解析)27247

2020年11月19日发(作者：裘和)
初中数学规律题拓展研究


“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事 物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化
规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量， 要求我们根据这些已知的量找出
一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列 号放在一起加以比
较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：
一、基本方法——看增幅
（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比 较，如增幅相等，
则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅， (n-1)b为第一位
数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)
6＝6n－2
（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也 即增幅为等差
数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也 有一
种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。

此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当 然此题也可用其它技巧，或用分析观察的
方法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不 相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为
1、2、4、8.
（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概
没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也
有一些技巧。
二、基本技巧
（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一 系列量，要求我们根据
这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号 放在一起

1
加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是 100 ，
第n个数是 n。
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个 数。我们把有关的量
放在一起加以比较：
给出的数：0，3，8，15，24，……。
序列号： 1，2，3， 4， 5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是-1，第100
项是—1
（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n
有 关。
例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（ ），

1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2× 3-1
的平方，以此类推。
（三）看例题：
A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18
答案与3有关且是n的3次幂，即：n+1
B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：
（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、< br>（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。
例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……， < br>序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2 -1
得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在< br>的基础上加2，得到原数列第n项 （五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除
以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。
例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数）
同除以4后可得新数列：1、4 、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n，
原数列是同除以4得到的新数列，所以 求出新数列n的公式后再乘以4即，4 n，则求出第
一百个数为4*100=40000
（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一

2
般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。
（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找
规律。
三、基本步骤
1、 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。
2、 如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律
3、 如不行，就运用技巧（四 ）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、
（三）找出新数列的规律
4、 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题
四、练习题
例1：一道初中数学找规律题
0，3，8，15，24，······ 2，5，10，17，26，····· 0，6，16，30，48······
（1）第一组有什么规律？

答：从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。
（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？

答：第一组是位置数平方减一，那么第 二组每项对应减去第一组每项，从中可以看出都等
于2，说明第二组的每项都比第一组的每项多2，则第 二组第n项是：位置数平方减1加2，
得位置数平方加1即。

第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍，则第三组第n项是：
（3）取每组的第7个数，求这三个数的和？

答：用上述三组数的第n项公式可以求 出，第一组第七个数是7的平方减一得48，第二
组第七个数是7的平方加一得50，第三组第七个数是 2乘以括号7的平方减一得96，
48+50+96=194
2、观察下面两行数
2，4，8，16，32，64， ．．．（1）
5，7，11，19，35，67．．．（2）
根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他 们的和。（要求写出最后的计算结果和详细解
题过程。）

解：第一组可以看出是2，第二组可以看出是第一组的每项都加3，即2+3，

则第一组第十个数是2=1024，第二组第十个数是2+3得1027，两项相加得2051。

3
3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子，前2002个中有几个是黑
的？

解：从数列中可以看出规律即：1，1 ，1，2，1，3，1，4，1，5，…….，每二项中后项
减前项为0，1，2，3，4，5……，正 好是等差数列，并且数列中偶项位置全部为黑色珠子，
因此得出2002除以2得1001，即前200 2个中有1001个是黑色的。

4、=8 =16 =24 ……用含有N的代数式表示规律

解：被减数是不包含1的奇数的平方，减数是包括1的奇数的 平方，差是8的倍数，奇数
项第n个项为2n-1，而被减数正是比减数多2，则被减数为2n-1+2 ,得2n+1，则用含有n的
代数式表示为：=8n。
写出两个连续自然数的平方差为888的等式

解：通过上述代数式得出，平方差为888即8n=8X111,得出n=111，代入公式：

（222+1）-（222-1）=888
五、对于数表
1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律
2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差

六、数字推理基本类型
按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：
1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。
(1)等差关系。
12，20，30，42，( 56 )
127，112，97，82，( 67 )
3，4，7，12，( 19 )，28
(2)移动求和或差。从第三项起，每一项都是前两项之和或差。
1，2，3，5，( 8 )，13
A.9 B.11 C.8 D.7
选C。1 +2=3，2+ 3=5，3+ 5=8，5+ 8=13
0，1，1，2，4，7，13，( 24)
A.22 B.23 C.24 D.25
选C。注意此题为前三 项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前四项之和，
所以个人感觉这属于移动求和或差中最难 的。

4
5，3，2，1，1，(0 )
A.-3 B.-2 C.0 D.2
选C。前两项相减得到第三项。
2.乘除关系。又分为等比、移动求积或商两种
(1)等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。
8，12，18，27，(40.5)后项与前项之比为1.5。
6，6，9，18，45，(135)后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，2.5，3
(2)移动求积或商关系。从第三项起，每一项都是前两项之积或商。
2，5，10，50，(500)
100，50，2，25，(2/25)
3，4，6，12，36，(216) 从第三项起，第三项为前两项之积除以2
1，7，8，57，(457)第三项为前两项之积加 1
3.平方关系
1，4，9，16，25，(36)，49 为位置数的平方。
66，83，102，123，(146) ，看数很大，其实是不难的，66可以看作64+2，83可以看< br>作81+2，102可以看作100+2，123可以看作121+2，以此类推，可以看出是8，9，1 0，11，
12的平方加2
4.立方关系
1，8，27，(81)，125 位置数的立方。
3，10，29，(83)，127 位置数的立方加 2
0，1，2，9，(730) 后项为前项的立方加1
5.分数数列。
关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案
()分子为等比即位置数的平方，分母为等差数列，则第n项代数式为：
2/3 1/2 2/5 1/3 (1/4) 将1/2化为2/4，1/3化为2/6，可得到如下数列：2/3, 2/4, 2/5,
2/6, 2/7, 2/8 …….可知下一个为2/9，如果求第n项代数式即：，分解后得：
6.、质数数列
2，3，5，(7)，11 质数数列
4，6，10，14，22，(26) 每项除以2得到质数数列
20，22，25，30，37，(48) 后项与前项相减得质数数列。

5
7.、双重数列。
又分为三种：
(1)每两项为一组，如
1，3，3，9，5，15，7，(21) 第一与第二，第三与第四等每两项后项与前项之比为3
2，5，7，10，9，12，10，(13)每两项中后项减前项之差为3
1/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，(104 ) 两项为一组，每组的后项等于前项倒数
*2
(2)两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化的数列就可
得出结果。
22，39，25，38，31，37，40，36，(52) 由两个数列，22，25，31，40，( )和39，38，
37，36组成，相互隔开，均为等差。
34，36，35，35，(36)，34，37，(33) 由两个数列相隔而成，一个递增，一个递减
(3)数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数列。
2.01， 4.03， 8.04， 16.07，(32.11)整数部分为等比，小数部分为移动求和数列。双
重数列难题也较少。能看出是双重数列，题目一般已经解出。特别是前两种，当数字的个数
超过7个时， 为双重数列的可能性相当大。
8.、组合数列。
最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差 关系与平方立方关系组合。需要熟悉前面的几种
关系后，才能较好较快地解决这类题。
1，1，3，7，17，41，( 99 )
A.89 B.99 C.109 D.119
选B。此为移动求和与乘除关系组合。第三项为第二项*2加第一项，即1X2+1= 3、
3X2+1=7，7X2+3=17，17X2+7=41，则空中应为41X2+17=99
65，35，17，3，( 1 )
A.1 B.2 C.0 D.4
选A。平方关系与和差关系组合，分别为8的平方加1，6的平方减1，4的平方加1，< br>2的平方减1，下一个应为0的平方加1=1
4，6，10，18，34，( 66 )
A.50 B.64 C.66 D.68
选C。各差关系与等比关系组合。依次相减，得2，4，8，16( )，可推知下一个为32，

6
32 +34=66
6，15，35，77，( )
A.106 B.117 C.136 D.143
选D。此题看似比较复杂，是等差与等比组合 数列。如果拆分开来可以看出，6=2X3、
15=3x5、35=7X5、77=11X7，正好是质 数2 、3，5，7、11数列的后项乘以前项的结果，
得出下一个应为13X11=143
2，8，24，64，( 160 )
A.160 B.512 C.124 D.164
选A。此题较复杂，幂数列与等差数列组合。2=1X2的1次方，8=2X2的平方 ，24=3*X2，
64=4X2，下一个则为5X2 =160
0，6，24，60，120，( 210 )
A.186 B.210 C.220 D.226
选B。和差与立方关系组合。0=1的3次方-1，6=2的3次方-2，24=3的 3次方-3，60=4
的3次方-4，120=5的3次方-5。空中应是6的3次方-6=210
1，4，8，14，24，42，(76 )
A.76 B .66 C.64 D.68
选A。两个等差与一个等比数列组合依次相减，原数列后项减前项得3，4，6，10，18，
( 34 )，得到新数列后，再相减，得1，2，4，8，16，( 32 )，此为等比数列，下一个为32，倒推到3，4，6，8，10，34，再倒推至1，4，8，14，24，42，76，可知选A。
9.、其他数列。
2，6，12，20，( 30 )
A.40 B.32 C.30 D.28
选C。2=1*2，6=2*3，12=3*4，20=4*5，下一个为5*6=30
1，1，2，6，24，( 120 )
A.48 B.96 C.120 D.144
选C。后项=前项X递增数列。1=1*1，2=1*2，6=2*3，24=6*4，下一个为1 20=24*5

1，4，8，13，16，20，( 25 )
A.20 B.25 C.27 D.28
选B。每4项为一重复，后期减前项依次相减得3，4，5。下个重复也为3，4，5，推
知得25。

7