一对一数学补习2020年中考数学解答25题阅读题专项训练集锦(学生)

2020年11月19日发(作者：凤来仪)
1．阅读下列材料：
关于x的方程：x+＝c+的解是x
1
＝c，x
2
＝；
x﹣＝c﹣（可变形为x+＝c+）的解为：x
1
＝c，x
2
＝；
x+＝c+的解为：x
1
＝c，x
2
＝；
x+＝c+的解为：x
1
＝c，x
2
＝；……
（1）①方程x+＝2+的解为 ，②方程x﹣1+
为 ；
（2） 请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+＝c+（m≠0）与
它们的关系，猜想它的解是什么 ，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（3）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如 果方程的左边是
未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中
的未 知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接求解．请用这个结论解关
于x的方程：x+














1

＝2+的解
＝a+（a≠1）．
2．阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式
形式．
解：由分母为﹣x
2
+1，可设﹣x
4
﹣x
2
+3＝（﹣x
2
+1）（x
2
+a）+b
则﹣x
4
﹣x
2
+3 ＝（﹣x
2
+1）（x
2
+a）+b＝﹣x
4
﹣ax
2
+x
2
+a+b＝﹣x
4
﹣（a﹣1）x
2
+
（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴
∴
，∴a＝2，b＝1．
＝
拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的
+．
这样，分式
解答：
（1）将分式
形式．
被拆分成了一个整式（x
2
+2）与一个分式的和．
拆分成一个整式与一个 分式（分子为整数）的和的
（2）当﹣1＜x＜1时，试求
（3）如果








2

的最小值．
的值为整数，求x的整数值．
3．已知方程x+＝2+的解是x
1
＝2，x
2
＝
方程x+＝3+的解是x
1
＝3，x
2
＝
方程x+＝4+的解是x
1
＝4，x
2
＝ ……
观察上述方程及方程的解，回答下列问题：
（1）关于x的方程x+＝a+的解是什么？并用方程解的概念验证你的猜想
是否正确；
（2）根据结论求出关于x的方程x+





















3

＝b+的解．
4．自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．如：
么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其
字母表达式为：
（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；
（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．
反之：①若＞0，则 或
＞0；＜0等．那
②若＜0，则
根据上述规律，
①求不等式
或．
＜0的解集．
②直接写出不等式解集为x＞3或x＜1的最简分式不等式．














4

5．阅读材料：
关于x的方程：x +
x+
的解为：x
1
＝a，x
2
＝x﹣
x+
（可变形为
）的解为：x
1
＝a，x
2
＝的解为：x
1< br>＝a，x
2
＝x+
的解为：x
1
＝a，x
2
＝
…
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程x+
②方程x﹣1+
的解为 ．
的解为 ．
（2）解关于x方程：
①x+
②x﹣
















5

（a≠1）
（a≠2）
6．如果一 个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们
称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式中， 是和谐分式（填写序号即可）；
；
（2）若分式
（3）在化简
；；④
为和谐分式，且a为整数，请写出所有a的值；
时，小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式＝＝＝
小强：原式＝＝＝．
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原
因是： ，请你接着小强的方法完成化简．















6

7．阅读下面材料，并解答问题．
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为x
2< br>﹣1，可设x
4
+x
2
﹣3＝（x
2
﹣1）（x2
+a）+b．
则x
4
+x
2
﹣3＝（x
2
﹣1）（x
2
+a）+b＝x
4
﹣x
2
+ax2
﹣a+b＝x
4
+（a﹣1）x
2
﹣a+b
∴
∴
，∴
＝

＝﹣＝（x
2
+2）﹣
这样，分式被拆分成了一个整式x
2
+2与一个分式﹣的和．
根据上述作法，将分式
的和的形式．
















拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）
7

2．下面材料： 已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距
离表示为|AB|．
当A 、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝
|b|＝|a﹣b|
当A、B两点都不在原点时，
（1）如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB| ﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a
＝|a﹣b|
（2）如图3，点A、B都在原点的左边 ，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b
﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|
（3）如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）
＝a﹣b＝|a﹣b|
综上，数轴上A、B两点的距离|AB|＝|a﹣b|
回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是 3 ；
（2）数 轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那
么x为 ；
（3）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤
2 ．








8

3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之
间的距离是 ；一般 地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m
﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是 3，那么a＝ ．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为 ；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这
些点 表示的数的和是 ．
（4）当a＝ 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ．









4．阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的
代数式，现在我们可以用这 一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数
式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2 ＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣
1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围 内，零点值x＝﹣1和，x
＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
9

②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．
（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．





5．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的
距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝ ；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数 a、b在数轴上表示的数分别是点A、点
B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝ ．










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6．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示 ，
点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝
|a﹣b |．

根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ﹣ ．
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为 ，此时x的取值是 ﹣ ；
（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值 和
最小值 ．





7．阅读下面材料：
在数轴上5与﹣2所对的两点之间的距离：|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离：|﹣2﹣3|＝5；
在数轴上﹣8与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣8）﹣（﹣5）|＝3
在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b
﹣a|
回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为 ；
数轴上表示数 和 的两点之间的距离表示为|x+2|；
（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子|x+ 2|+|x﹣3|进行探
究，①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在﹣2与3之间移动时，|x
﹣3|+|x+2|的值总是一个固定的值为： ．
11

②请你在草稿纸上画出数轴，要使|x﹣3|+|x+2|＝7，数轴上表示点的数x
＝ ．

8．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距
离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，
|AB|＝|OB| ＝|b|＝|a﹣b|，当A、B两点都不在原点时，

点A、B都在原点的右边，如图2， |AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a
﹣b|；
点A、B在原点的 左边，如图3，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）
＝|a﹣b|； < br>点A、B在原点的两边，如图4，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a
﹣b|．
综上，数轴上A、B两点的距离|AB|＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的
两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|＝2那
么x为
（3）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应x的取值范围是 ．
9．阅读下列材料并解决相关问题．
化简代数式|x+5|+|2x﹣3|的关键在于去掉两 个绝对值符号，我们知道，只去
掉一个绝对值符号很容易，如|x+5|，只要考虑x+5的正负，可以 分为x＜﹣5
与x≥﹣5两种情况来讨论，这里的x＝﹣5是使x+5＝0的x值，我们称它为
x+5的一个零点．同理，对于2x﹣3，也有一个零点x＝．为了同时去掉两
12

个绝对值符号我们可以将x的取值范围分成三段，即x＜﹣5，﹣5≤x＜，x
≥进行讨论，这种令各 个绝对值内的代数式为0，找出零点，确定讨论范围
的方法称为“零点分段法”．
（1）填空：|x+5|+|2x﹣3|＝
（2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有哪些？
（3）化简||x﹣1|﹣2|+|x+1|．







10．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x|＝，现在我们可
以 用这个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，
可令x+1＝0和x ﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别叫做|x+1|
与|x﹣2|的零点值．）在有 理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理
数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
（2）当﹣1≤x≤2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
（3）当x＞2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．
综上所述，原式＝．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值；
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（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|；
（3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整数解；
（4）|x+2|+|x﹣4|是否 有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，
请说明理由．

























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11．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是 ；表示﹣2和1两点之间的
距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝2，那么x＝ ；
（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且 数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点
B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝ ．
（5）当a＝ 时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ．
< br>12．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，
在数轴上A 、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问
题：
（1）数轴上表示1和3两点之间的距离 ．数轴上表示﹣12和﹣6的两点
之间的距离是 ．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为 ．
（3）若x是一个有理数，且﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝ ．
（4）若x是一个有理数，且|x﹣2|+|x+4|＞6，则有理数x取值范围是 ．
1 3．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，
在数轴上A、B两点 之间的距离AB＝|a﹣b|．
回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间
的距离是 ．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 ．
③若x表示一个有理数，则当x在什么 范围内时，|x﹣1|+|x+3|有最小值？
请写出x的范围及|x﹣1|+|x+3|有最小值．




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