王朝霞数学中考数学专题新概念型问题.doc

2020年11月19日发(作者：杨思敏)

















中考数学专题







新概念型问题

新运
一、中考专题诠释
所谓 “新概念 ”型问题， 主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、

算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推
理、迁移的一种题型

.“新概念 ”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点

学生应用新的知识解决问题的能力
二、解题策略和解法精讲
“新概念型专题 ”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其 问题解决的思想方
法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典 例剖析
.在复习中应重视



考点一：规律题型中的新概念
例 1 我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，
叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如
称这个数列为二阶等差数列．例如数列
如 1 ，3，9 ，19 ，33 ， 就是一个数列，
那么这个数列就
就是一个等差数

如果一个数列从第二个数起， 每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，

2，4，6，8，10
列，它的公差为 2 ．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则
1 ， 3 ， 9 ， 19 ， 33 ， ，它的后一个数与前一个数
1 ，
1，3，7，13， 的








的差组成的新数列是
2 ， 6， 10 ， 14 ， ，这是一个公差为 4 的等差数列，所以，数列
3 ， 9 ， 19 ， 33 ， 是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列
第五个数应是
对应训练
1 ．若 x 是不等于 1





．


















的实数，我们把

1
1 x
称为 x 的差倒数，如 2

的差倒数是
1
1 2

=-1 ，
-1
的差倒数为

1
1 ( 1)
=
1

2

，现已知 x
1
=-
1
3



，x
2
是 x
1
的差倒数， x
3
是 x
2
的差倒数， x
4















是 x
3
的差倒数， ，依次类推，则 x
2012
=
考点二：运算题型中的新概念

例
2 将 4 个数 a， b ，c ， d










．


排成 2 行、 2
列，两边各加一条竖直线记成









a b

c d






，概念
a b
c d

=ad-bc ，上述记号就叫做 2 阶行列式．若
x 1 1 x
=8 ，则 x=
．
1 x x 1
点评： 此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，
去括号、合并同类项法 则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．对应训练







2 ．若（ x
1
， y
1
） ?（ x
2
， y
2
） =x
1
x
2
+y
1
y
2
，则（ 4 ，5 ） ?（6 ， 8 ） =

．
考点三：探索题型中的新概念
例 3 如果一条抛物线 y=ax
2
+bx+c （ a ≠0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和
这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的
“抛物线三角形 ”．
（1 ） “抛物线三角形 ”一定是

三角形；








（2 ）若抛物线 y=-x
2
+bx （ b ＞ 0 ）的 “抛物线三角形 ”是等腰直角三角形，求

b 的值；
（3 ）如图， △ OAB

是抛物线

y=-x
2
+b ′x（ b ′＞ 0 ）的 “抛物线三角形 ”，是否存在以原点

O
为对称中心的矩形 ABCD ？若存在，求出过 O 、 C、 D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明
理由．


















考点四：开放题型中的新概念
例 4

在平面直角坐标系

xOy 中，对于任意两点

P
1
（ x
1
，y
1
）与 P
2
（ x
2
，y
2
）的 “非常距离 ”，
给出如下概念：
若|x
1
-x
2
| ≥|y
1
-y
2
| ，则点 P
1
与点 P
2
的 “非常距离 ”为 |x
1
-x
2
| ；
若|x
1
-x
2
| ＜ |y
1
-y
2
| ，则点 P
1
与点 P
2
的“非常距离 ”为 |y
1
-y
2
| ．

例如：点 P
1
（ 1 ，2 ），点 P
2
（ 3 ，5 ），因为 |1-3| ＜ |2-5| ，所以点 P
1
与点 P
2
的 “非常距离 ”
为|2-5|=3 ，也就是图 1 中线段 P
1
Q 与线段 P
2
Q 长度的较大值（点 Q 为垂直于 y 轴的直线 P
1
Q 与垂

直于 x 轴的直线 P
2
Q 交点）．
（1 ）已知点

A （ - ， 0 ）， B 为 y 轴上的一个动点，
1



2
①若点 A 与点 B 的“非常距离 ”为 2 ，写出一个满足条件的点

②直接写出点

A 与点 B 的“非常距离 ”的最小值；
（2 ）已知 C 是直线 y=
B 的坐标；
3
4
x+3 上的一个动点，



①如图 2 ，点 D 的坐标是（ 0 ，1 ），求点 C 与点 D 的 “非常距离 ”的最小值及相应的点 C 的
坐标；
②如图 3 ，E 是以原点 O 为圆心， 1 为半径的圆上的一个动点， 求点 C 与点 E 的 “非常距离 ” 的
最小值及相应的点 E 与点 C 的坐标．























思路分析：（ 1 ） ① 根据点 B 位于 y 轴上，可以设点 B 的坐标为（ 0， y ）．由 “非常距离 ”的

概念可以确定 |0-y|=2 ，据此可以求得 y 的值；
②设点 B 的坐标为（ 0 ，y）．因为 |-
1
2


-0| ≥|0-y| ，所以点 A 与点 B 的 “非常距离 ”最小值
为|--0|=
1 1
2
；
2







（2 ） ① 设点 C 的坐标为（ x
0
，

3
x
0
+3 ）．根据材料 “若|x
1
-x
2
|

≥|y
1
-y
2
|

，则点

P
1
与点

P
2
4






的“非常距离 ”为|x
1
-x
2
| ”知， C 、D 两点的 “非常距离 ”的最小值为 -x
0
=


3
4
x
0
+2 ，据此可以
求得点 C 的坐标；
②当点 E 在过原点且与直线 y=

3
4





x+3 垂直的直线上时，点 C 与点 E 的 “非常距离 ”最小，



即 E（-




3
5
，
4
5
）．解答思路同上．





解：（ 1 ） ①∵ B 为 y 轴上的一个动点，
∴设点 B 的坐标为（ 0 ， y）．
∵|-

1
-0|=

≠2

，
2
1
2



∴ |0-y|=2 ，
解得， y=2 或 y=-2 ；
∴点 B 的坐标是（ 0， 2）或（ 0， -2 ）；
1
2
























（2 ） ①∵ C 是直线 y=

3
4

x+3

上的一个动点，







∴设点 C 的坐标为（ x
0
，
3
x
0
+3 ），
∴-x
0
=
3
4
x
0
+2 ，






4








此时， x
0
=-
8
7
，














∴点 C 与点 D 的 “非常距离 ”的最小值为：



8


，
此时 C（-
8
7
，
）；

15
7











7







②E （-
，）．


34





- -x
0
=
3
5 5

3 4
x
0
+3-
，
5

4

5






解得， x
0
=-

8
5
，
则点 C 的坐标为（ -



8

5

，

9
），
5
最小值为 1 ．
点评： 本题考查了一次函数综合题． 对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本
题中的 “非常距离 ”的概念是正确解题的关键．
对应训练


4 ．（ 2012 ?）请你规定一种适合任意非零实数 a ， b 的新运算 “a ⊕b ”，使得下列算式成立：
1⊕2=2 ⊕1=3 ，（-3） ⊕（-4 ）=（-4 ）⊕（ -3 ）=-






7
6

，（-3 ）⊕5=5 ⊕（-3 ）=-




4
15
，
你规定的新运算 a⊕ b= （用 a ， b 的一个代数式表示） ．

考点五：阅读材料题型中的新概念
将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转
θ度，并使各边长变为原来
的
n 倍，得 △AB ′C′，即如


图① ，我们将这种变换记为
[θ， n] ．





′′
△

（1 ）如图 ① ，对 △ABC 作变换 [60 °，
3
]得△

AB

′C′，则

S
AB C
：S
ABC
=
△
；直线





BC 与直线 B ′C′所夹的锐角为

度；

（ 2 ）如图 ② ，△ ABC 中， ∠ BAC=30 °，∠ ACB=90 °，对 △ ABC 作变换 [θ，n] 得 △ AB'C' ，
使点 B 、 C、 C ′在同一直线上，且四边形

ABB'C' 为矩形，求

θ和 n 的值；
（ 3 ）如图 ③ ，△ ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36 °，BC=l ，对 △ABC 作变换 [θ，n] 得△ AB ′C′，
使点 B 、 C、 B ′在同一直线上，且四边形

ABB'C' 为平行四边形，求

θ和 n 的值．