优学猫数学2011-2012第一学期《数学建模》试题卷及答案

2020年11月19日发(作者：屠呦呦)

2012-2013第一学期
《数学建模》选修课试题卷



班级：
姓名：
学号：
成绩：


一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)
1．模型
模型是所研究的系统，过程事物或概念的一种表达形式，也可只根据实验。图样放
大或缩小而制成的样品 ，一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子。

2．数学模型
当一个数学结构作为某种形式语言（既包括常用符号,函数符号，谓词符号等符号
集合）解释时，这个数 学结构就称为数学模型。

3．抽象模型




二、简答题（每小题满分8分，共24分）
1．模型的分类


按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类. 形象模型：直
观模型、物理模型、分子结构模型等; 抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。


2．数学建模的基本步骤

1.模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的及要求，收集各
种必要的信息。
2.模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题作出必要的合理的假设，是，
问题的主要特征 凸显出来，忽略问题的次要方面。
3.模型构成：根据说做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之 间的关系，
把问题化为数学问题。
4.模型求解：利用已知的数学方法来求上一步所得到的数 学问题词时往往还
要做进一步的简化。
5.模型分析：对所得到的解答进行分析，特别注意当数据变化时所得到的结
果是否稳定。
6.模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较看是否符合实
际；
7.模型应用：所建立的模型必须在实际中才能产生效益。




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3．数学模型的作用
数学模型 的根本作用在于它将客观模型比繁为简。化难为易，便于人们采用
定量的方法，分析和理解实际问题，正 因为如此数学模型在科学发展，科学预见，
科学管理，科学决策调控市场乃至个人能高效个工作和生活等 众多方面发挥着重
要作用。











三、解答题（满分20分）
F 题 (9n+5, 9n+1)
某金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额$$540万的基金,分开放 置在位
于A城和B城的两个公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍
为$$5 40万.经过相当一段时期业务情况,发现每过一周,各公司的支付基金在流通
过程中多数还是留在自己 公司内,而A城公司有10％支付基金流动到B城公司，B
城公司则有12％支付基金流动到A城公司. 此时,A城公司基金额为$$260万,B城公
司基金额$$280万.按此规律,两公司支付基金数额变化 趋势如何?如果金融专家认
为每个公司的支付基金不能少于$$220万,那么是否在什么时间需要将基金 作专门
调动来避免这种情形?
解：设此后第K周末结算时，A城公司和B城公司的支付基金数 分别是Ak和
Bk(单位：万美元)，那么此刻有：
Ak+1=0.9Ak+0.12Bk
Bk+1=0.1AK+0.88Bk
k=0,1…… 其中，初始条件：A0=260，B0=280
给出了这个问题的数学模 型。通过一次迭代，可以求出各周末时Ak和Bk的
数值，以下的表列出了1至12周末两公司的基金属 （单位：万美元）
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可以看出 A城公司支付基金数在逐步增加，但增加布幅变小；B城公司支付
基金数恰好相反。然而Ak是否有上界 、Bk是否有下界？Bk是否会小于200？
利用线性代数的知识将差分方程组写成矩阵的形式
Ak+1 0.9 0.12 Ak
Bk+1 = 0.1 0.88 Bk
其中 A0 260
B0 = 280 是初始值，利用矩阵对角化方法可以求解。
.

四、综合题（21分）
M. 飞机降落曲线(7n+3, 7n+5, 7n+6)
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在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分
析飞机的降落曲线（图1）. 根据经验，一架水平飞
行的飞机，其降落曲线是一条五次多项式. 飞行的高
度为
h< br>，飞机着陆点
O
为原点，且在这个降落过程中，
飞机的水平速度始终保持为常数
u
. 出于安全考虑，
飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过
g
10
图1

，此处
g
是重力加速度. 1.若飞机从距降落点水平距离
s
处开始降落，试确定出飞机的降落
曲线. 2. 求开始下降点
s
所能允许的最小值.
答：
1. 论文题目；
飞机着陆问题
2. 论文摘要（不得超过300字）：
飞机着陆问题是 研究飞机在降落时的关键问题，这关系着飞机
上乘客的安全问题，故而为减少飞机降落期间的问题，从而 提出此论
文。
3. 关键词（不得少于三个）：
飞机着陆问题，垂直速度，水平速度，飞行距离
4. 论文正文：
问题提出； < br>如今飞机已经成了人们日常旅行的交通工具之一，所以需要解
决飞机的安全着陆，那么怎样才能安 全呢？
问题分析
可以用不同的函数来模拟飞机的降落曲线。由于有4个隐藏的假定条件，< br>因此我采用三次抛物线（方程假设如下）来模拟飞机的降落曲线

模型假设
f（0）=0，f＇（0）=0；
f（l）=h，f＇（l）=0；
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