考研数学复习资料利润最大化问题的数学建模21

2020年11月19日发(作者：费启能)
利润最大化问题的数学建模
摘要
在分析、理解的基础上，我们提出问题，并对问 题作出分析，提出了合理的假设模型，
通过对问题的深入分析计算，我们将本题归结为规划问题，并建立 了线性规划模型，处理问
题时，通过建立线性规划模型，尽可能的利用数学手段，得到问题的最优解。我 们根据不同
型号的产量及生产产品用时列出线性关系表达式，最后利用lingo软件求出最优解。
关键词：利润最大化，生产方案，Lingo。
一、 问题重述
某个制造商使用原 料A和B生产某种产品的三种型号：Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ.表2
给出了问题的数据.每件型号Ⅰ产品的劳动时间是 型号Ⅱ的2倍，是型号Ⅲ的
3倍.该厂的全部劳动力能够生产相当于1500件型号Ⅰ的产品.市场对于 三种
不同型号产品需求的特定比例是3:2:5.
表2：每件产品对原料的需求
原料
A
B

最小需求量
单位利润/元
I II III 可用量
2 3 5 4000
4 2 7 6000
200 200 150
150 100 250

从题目中我们可以知道制造商要使用
原料A和B生产某种产品的三种型号：Ⅰ ，
Ⅱ和Ⅲ，而且对于不同的产品所需要的材料，需求量和利润都不同，市场对
于三种产品的需求 也要特定的比例，我们需要建立合理的书序模型求出一个
合理的方案，使得制造商获得最大的利润。
二、模型假设
由于市场的不稳定性和一些问题的不确定性，我们做出了以下的假设：
（1） 工厂正常生产、销售连续不间断和各项费及销售价格均不发生变化。
（2） 生产的产品合格率不发生变化。
（3） 本题中给定的产品预测需求均为定值。
（4） 市场经济发展稳定。
（5）
由题我们先假设产品的三种型号：Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ分别为
x 1，x2，x3，
生产
Ⅲ
用时为2a，
Ⅱ
用时为3a，
Ⅰ< br>用时则为6a，则得出总用时
1500*6a=9000a。则最多生产
Ⅱ3000,最 多生产Ⅲ4500.

三、模型建立
由题我们引入了未知数x1，x2，x3和a来 辅助我们进行数学模型建立，由题的表格数
据我们可以得出最大利润的关系式：max=150*x1+ 100*x2+250*x3. （1）
市场对于三种不同型号产品需求的特定比例是3:2:5 .可以得出：x1：x2：x3=3：2：5，
又由于我们得出了总用时:1500*3a=4500a ，再根据题中.每件型号
Ⅰ
产品的劳动时间是型号
Ⅱ
的2倍，是型号
Ⅲ
的3倍得出：6a*x1+3a*x2+2a*x3<=9000a （2）
和关于原料A可用量的关系式：2*x1+3*x2+5*x3<=4000 （3）
和关于原料B可用量的关系式：4*x1+2*x2+7*x3<=6000 （4）

最后根据题中该厂的全部劳动力能够生产相当于1500件型号
Ⅰ
产品可以得出三种不同型号
产品的取值范围：200<=x1<=1500 （5）
200<=x2<=3000 (6)
150<=x3<=4500 (7)
四、模型求解

(1)---(7)构成一个线性规划模型，输入Lingo软件；
Model:
end

求解得产品分配方案（输出结果见附录）：当生产型号
Ⅰ为 324件，生产型号Ⅱ
为216件，生产型号Ⅲ为540件时，厂家可获利润最大
，最大利润< br>为:324*150+216*100+540*250=205200(元)。


五、分析检验
我们不难看出来还是存在一点点的误差，但是我们可以把误差尽量保持在 最
小，但是同时必须注意，这里建立的数学模型与实际产销还有一定的距离，因为
在建模的过程 中我们做了一些简化和假设，也忽略了一些其他的因素，但对于我
们仍有一定的指导作用。
优点：
（1） lingo的程序清晰明了，通用性好。
（2） 模型的建立运用了线性规划来解决问题，使问题简单化。
缺点：
（1）模型太过理想化，缺少实际运用范围，局限性太强。
（2）问题假设考虑不够全面，不够仔细。
因此，工厂安排生产不能盲目地按照最大需求量进 行，应该根据设备实际情
况、生产成本以及生产时间等多方面进行综合考虑，然后进行优化建模，进而合
理科学地安排生产计划，最终使利润最大化。
六、改进的部分
模型过于理想化，缺乏一定的合理性，不能完全与实际情况相符合，存在一定的误差。
我们这 个模型，对成本和售价的假设是静态的，成本和售价不随时间变化而
变化。这种假设只是为了解题的方便 ，模型进一步完善就要把成本和售价动态化，
更接近与实际，得到的利润也更准确更具有说服力。
在建模的时候，忽略了政府的宏观调控对价格的影响，事实上，每种原料价