龙门山地震带：奥数行程问题要点及解题技巧

2020年11月19日发(作者：平畴)
奥数行程问题

一、 多人行程的要点及解题技巧
行程问题是小学奥数中 难度系数比较高的一个模块，在小升初考
试和各大奥数杯赛中都能见到行程问题的身影。行程问题中包括 ：火
车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程等等。
每一类问题都有自己 的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题
无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：
这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)
三个关系：
1.简单行程：路程=速度×时间
2.相遇问题：路程和=速度和×时间
3.追击问题：路程差=速度差×时间
牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行
程问题还是有很多方法可循的。
如“多人行程问题”，实际最常见的是“三人行程”
例：有甲、乙、丙三人同时同地出 发，绕一个花圃行走，乙、丙二
人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走< br>38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。
问：这个花圃的周长是多少 米？
分析：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中
所给的条件只有三个 人的速度，以及一个“3分钟”的时间。
第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）
×3=228（米）
第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、
丙两人的速度差造成的，是逆向的追 击过程，可求出甲、乙相遇的时
间为228÷（38-36）=114（分钟）
第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程
所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）
我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使
解题思路更加清晰。
总之 ，行程问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。只
要理解好“三个量”之间的“三个关系”，解 决行程问题并非难事！


二、奥数行程：追及问题的要点及解题技巧
1、多人相遇追及问题的概念及公式
多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间
的相遇追及问题。
所有 行程问题都是围绕这一条基本关系式展开的，比如我们遇到
的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质 也是这三个量之间的关
系转化．由此还可以得到如下两条关系式：
多人相遇与追及问题虽 然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步
表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．
2、多次相遇追及问题的解题思路
所有行程问题都是围绕这一条基本关系式展开的，多人相遇与追
及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的
数量，问题即可迎刃而解．
多次相遇与全程的关系
1.两地相向出发：
第1次相遇，共走1个全程；
第2次相遇，共走3个全程；
第3次相遇，共走5个全程；
…………，………………；
第N次相遇，共走2N-1个全程；
注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第
次如果走了N米，以后每次都走2N米。
2.同地同向出发：
第1次相遇，共走2个全程；
第2次相遇，共走4个全程；
第3次相遇，共走6个全程；
…………，………………；
第N次相遇，共走2N个全程；
3、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键几个全程
多人相遇追及的解题关键路程差

1
三、奥数行程：二次相遇的要点及解题技巧
1、概念：
两个运动物 体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间
的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题 。
2、特点：
它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。
小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。
3、类型：
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，
求速度。
4、三者的基本关系及公式：
它们的基本关系式如下：
总路程=（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度

四、奥数行程：火车过桥的要点及解题技巧

1、什么是过桥问题？
火车过桥问题是行程问题的一种，也有路程、速度与时 间之间的
数量关系，同时还涉及车长、桥长等问题。基本数量关系是火车速度×
时间=车长+桥 长
2、关于火车过桥问题的三种题型：
（1）基本题型：这类问题需要注意两点： 火车车长记入总路程；
重点是车尾：火车与人擦肩而过，即车尾离人而去。
如：火车通过 一条长1140米的桥梁用了50秒，火车穿过1980
米的隧道用了80秒，求这列火车的速度和车长 。（过桥问题）
一列火车通过800米的桥需55秒，通过500米的隧道需40秒。
问 该列车与另一列长384、每秒钟行18米的列车迎面错车需要多少秒
钟？（火车相遇）
（2）错车或者超车：看哪辆车经过，路程和或差就是哪辆车的车
长
如：快、慢两列火车 相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长
是80米，快车的速度是慢车的2倍，如果坐在慢车的人见 快车驶过窗
口的时间是5秒，那么，坐在快车的人见慢车驶过窗口的时间是多少？
（3） 综合题：用车长求出速度；虽然不知道总路程，但是可以求
出某两个时刻间两人或车之间的路程关系
如：铁路旁有一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米
的速度向南驶去，8点 时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，
8点6分迎面遇到一个向北走的农民，12秒后离开这 个农民。问军人
与农民何时相遇？

五、奥数行程：流水行船的要点及解题技巧

1、什么叫流水行船问题



船在水中航行时，除了自身的速度外，还受到水流的影响，在这
种情况下计算船只的航 行速度、时间和行程，研究水流速度与船只自
身速度的相互作用问题，叫作流水行船问题。
2、流水行船问题中有哪三个基本量？
流水 行船问题是行程问题中的一种，因此行程问题中的速度、时
间、路程三个基本量之间的关系在这里也当然 适用．
3、流水行船问题中的三个基本量之间有何关系？
流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速，（1）
逆水速度=船速-水速.（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走
过的路程.水速 ，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度
分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里 所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
船速=顺水速度-水速。
由公式（2）可以得到：
水速=船速- 逆水速度，
船速=逆水速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速
这三个量中的任意两个，就可以求出第三 个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），
相加和相减就可以得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。



六、奥数行程：环形跑道的要点及解题技巧

1、什么是环形跑道问题？
环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）
多次相遇或追及 的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们
是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作 出正确合理的线
段图进行分析。
2、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：
路程和=相遇时间×速度和
路程差=追及时间×速度差
3、解环形跑道问题的一般方法：
环形跑道 问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一
圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇 一次．这个等量关
系往往成为我们解决问题的关键。





环线型



同一出发点 直径两端
同向：路程差

nS

nS
+0.5
S

相对(反向)：路程和




nS

nS-
0.5
S

七、奥数行程：钟面行程问题的要点及解题技巧


1、什么是钟面行程问题？
钟面行程问题是研究钟面上的时针和分针关系的问题，常见的有
两种：⑴研究时针、分针成一定角度的问 题，包括重合、成一条直线、
成直角或成一定角度；⑵研究有关时间误差的问题．
在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶
时针，或是分针 超越时针的局面，因此常见的钟面问题往往转化为追
及问题来解．
2、钟面问题有哪几种类型？
第一类是追及问题（注意时针分针关系 的时候往往有两种情况）；
第二类是相遇问题（时针分针永远不会是相遇的关系，但是当时针分
针与某一刻度夹角相等时，可以求出路程和）；第三种就是走不准问
题，这一类问题中最关键的一点：找 到表与现实时间的比例关系。
3、钟面问题有哪些关键问题？
①确定分针与时针的初始位置；
②确定分针与时针的路程差；
4、解答钟面问题有哪些基本方法？
①分格方法：
时钟的钟面圆周被均匀分成6 0小格，每小格我们称为1分格。
分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走
1分格，时针每分钟走1／12分格。
②度数方法：
从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转36060度，
即6° ，时针每分钟转36012*60度，即12度。

八、奥数行程：走走停停的要点及解题技巧

1、行程问题里走走停停的题目应该怎么做
1.画出速度和路程的图。
2.要学会读图。
3.每一个加速减速、匀速要分清楚，这有利于你的解题思
路。
4.要注意每一个行程之间的联系。
2、学好行程问题的要诀
行程问题可以说是难度最大的奥数专题。
类型多：行 程分类细，变化多，工程抓住工作效率和比例关系，而
行程每个类型重点不一，因此没有一个关键点可以 抓
题目难：理解题目、动态演绎推理——静态知识容易学，动态分析需要较高的理解能力、逻辑分析和概括能力
跨度大：从三年级到六年级都要学行程——四年的跨度，需要不断
的复习巩固来加深理解、夯实基础
那么想要学好行程问题，需要掌握哪些要诀呢？
要诀一：大部分题目有规律可依，要诀是学透基本公式
要诀二：无规律的题目有攻略，一画（画图法）二抓（比例法、
方程法）
竞赛考试中的行程题涉及到很多中数学方法和思想（比如：假设
法、比例、方程）等的熟练运用，而这些 方法和思想，都是小学奥数
中最为经典并能考察孩子思维的专项。

九、奥数行程：发车问题的要点及解题技巧
1、发车问题的基本解题思路
空间 理解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助。一旦掌握了3
个基本公式，一般问题都可以迎刃而解。
在班车里。即柳卡问题。不用基本公式解决，快速的解法是直接
画时间-距离图，再画上密 密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完
成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说 不容易。
2、对“发车问题”的化归与优化
“发车”是一个有趣的数学问题。解决 “发车问题”需要一定的
策略和技巧。本文重点解决这样两个问题：一是在探索过程中，如何
揭 示“发车问题”的实质？二是在建模的过程中，如何选择最简明、
最严谨和最易于学生理解并接受的方法 或情景？
为便于叙述，现将“发车问题”进行一般化处理：某人以匀速行
走在一条公交车线路 上，线路的起点站和终点站均每隔相等的时间发
一次车。他发现从背后每隔a分钟驶过一辆公交车，而从 迎面每隔b
分钟就有一辆公交车驶来。问：公交车站每隔多少时间发一辆车？（假
如公交车的速 度不变，而且中间站停车的时间也忽略不计。）
（1）把“发车问题”化归为“和差问题”
因为车站每隔相等的时间发一次车，所以同向的、前后的两辆公
交车间的距离相等。这个相 等的距离也是公交车在发车间隔时间内行
驶的路程。我们把这个相等的距离假设为“1”。
根据“同向追及”，我们知道：公交车与行人a分钟所走的路程
差是1，即公交车比行人每分钟多走1a ，1a就是公交车与行人的速
度差。
根据“相向相遇”，我们知道：公交车与行人b分钟 所走的路程
和是1，即公交车与行人每分钟一共走1b，1b就是公交车和行人的
速度和。
这样，我们把“发车问题”化归成了“和差问题”。根据“和差
问题”的解法：大数=（和 +差）÷2，小数=（和-差）÷2，可以很容
易地求出公交车的速度是（1a+1b）÷2。又因为公 交车在这个“间
隔相等的时间”内行驶的路程是1，所以再用“路程÷速度=时间”，
我们可以 求出问题的答案，即公交车站发车的间隔时间是1÷
【（1a+1b）÷2】=2÷（1a+1b）。
（2）把“发车问题”优化为“往返问题”
如果这个行人在起点站停留m分钟，恰好 发现车站发n辆车，那
么我们就可以求出车站发车的间隔时间是m÷n分钟。但是，如果行人
在 这段时间内做个“往返运动”也未尝不可，那么他的“往返”决不
会影响答案的准确性。
因为从起点站走到终点站，行人用的时间不一定被a和b都整除，
所以他见到的公交车辆数也不一定是整 数。故此，我们不让他从起点
站走到终点站再返回。那么让他走到哪再立即返回呢？或者说让他走
多长时间再立即返回呢？
取a和b的公倍数（如果是具体的数据，最好取最小公倍数），
我们这里取ab。假如刚刚有一辆公交车在起点站发出，我们让行人从
起点站开始行走，先走ab分钟 ，然后马上返回；这时恰好是从行人背
后驶过第b辆车。当行人再用ab分钟回到起点站时，恰好又是从 迎面
驶来第a辆车。也就是说行人返回起点站时第（a+b）辆公交车正好从
车站开出，即起点 站2ab分钟开出了（a+b）辆公交车。
这样，就相当于在2ab分钟的时间内，行人在起点站 原地不动看
见车站发出了（a+b）辆车。于是我们求出车站发车的间隔时间也是
2ab÷（a +b）=2÷（1a+1b）。
这样的往返假设也许更符合“发车问题”的情景，更简明、更严< br>谨，也更易于学生理解和接受。如果用具体的时间代入，则会更加形
象，更便于说明问题。

十、奥数行程：电梯问题的要点及解题技巧

1、自动扶梯的速度有哪两条关系式？
与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题， 与行船问题类
似的，自动扶梯的速度有以下两条关系式：

2、自动扶梯上的行走速度有哪两种度量？

与流水行船不同的是，自动扶梯上的行走速度有 两种度量，一种
是单位时间运动了多少米，一种是单位时间走了多少级台阶，这两
种速度看似形 同，实则不等，拿流水行程问题作比较，单位时间运动
了多少米对应的是流水行程问题中的船只顺(逆) 水速度，而单位时
间走了多少级台阶对应的是船只静水速度，一般奥数题目涉及自动
扶梯的问题 中更多的只出现后一种速度，即单位时间走了多少级台阶，
所以处理数量关系的时候要非常小心，理清了 各种数量关系，自动扶
梯上的行程问题会变得非常简单．
3、电梯问题需要注意哪两点问题？
电梯问题其实是复杂行程问题中的一类。有两点需要注意，一 是
“总行程＝电梯可见部分级数±电梯运行级数”，二是在同一个人上
下往返的情况下，符合流 水行程的速度关系，（注意，其总行程仍然
是电梯可见部分级数±电梯运行级数）

十一、奥数行程：猎狗追兔问题的要点及解题技巧
猎狗追兔问题是行程问题中比较典型的一类 题，该类问题除考察
追及问题的基本公式外，还要综合运用比例、份数等手段解决。解题
思想是 将两种动物单位化为统一，然后用路程差除以速度差得到追及
时间，或者由速度比得出路程比，再引入份 数思想，进而解决问题。
以下题为例：
【例1】一猎狗正在追赶前方20米远兔子,已知 狗一跳前进3米,
而兔子一跳前进2.1米,但狗跳3次的时间兔子可以跳4次,问猎狗跑多
少 米能追上兔子?
【分析】狗跳3次的时间兔子可以跳4次，设都等于一秒
则狗速度 为9米秒，兔速度为8.4米秒，狗和兔子的速度都得以
确定，接下来将是一个非常简单的追及问题，路 程差为20米，可列式
子20÷（9－8.4）=1003（秒）能够追上兔子。
用时20(9-8.4)秒时间追上，即狗跑了9×1003=300米
从以上例题我们可以看出 ，解决此类问题的关键在于：根据时间
相同，将其设为单位时间（1秒），问题简单解决。
我们再看下一道题：
【例2】猎狗前面26步远有一只野兔,猎狗追之,兔跑8步的时间
狗跑5步,兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离,问:兔跑多少步后被猎
狗抓获?此时猎狗跑了多少米?
【分析】兔8步的时间狗跑5步,设都为1秒…………（一次设数）
再根据兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离
设兔子一步4米，狗一步9米……………………（二次设数）