数学物理方法 吴崇试初中数学竞赛辅导(圆)

2020年11月19日发(作者：裘穗)

初中数学竞赛辅导（圆）
北京十二中数学竞赛培训教程(圆)
指导教师:田祥彪
平面几何基础知识教程,圆,
一、 几个重要定义
外心,三角形三边中垂线恰好交于一点,此点称为外心
内心,三角形三内角平分线恰好交于一点,此点称为内心
垂心,三角形三边上的高所在直线恰好交于一点,此点称为垂心 凸四边形,四边
形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形 折四边形,有一双对
边相交的四边形叫做折四边形,如下图,

,折四边形,
二、 圆内重要定理,
1, 四点共圆
定义,若四边形ABCD的四点同时共于一圆上,则称A,B,C,D四点共圆 基本性质,
若凸四边形ABCD是圆内接四边形,则其对角互补 证明,略
判定方法,
1,定义法,若存在一点O使OA=OB=OC=OD,则A,B,C,D四点共圆 2,定理1,若凸
四边形ABCD的对角互补,则此凸四边形ABCD有一外接圆 证明,略
特别地,当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时,此四边形有一外接圆


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，,，ADBACB3,视角定理,若折四边形ABCD中,,则A,B,C,D四点共圆

证明,如上图,连CD,AB,设AC与BD交于点P
，,，ADBACB因为,所以
ΔCPB?ΔDPA
PCPB所以有,PDPA
再注意到，,，CPDBPA
因此ΔCPDBPA?Δ
因此，,，PCDPBA
由此，，，,，，，，，,BCDBADBCAPCDBAD
，，，，，,BDAPBABAD180,ΔABD的内角和,
因此A,B,C,D四点共圆
，,，ADBACB特别地,当=90时,四边形ABCD有一外接圆 2,圆幂定理,
圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形
式。
PAPBPCPD,,,相交弦定理,P是圆内任一点,过P作圆的两弦AB,CD,则



证明,
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连ACBDCABCDB,,则，,，,等弧对等圆周角,
而,，,，APCDPB对顶角相等,
因此ΔAPC?ΔDPB PAPC即,因此,,,,PAPBPCPDPDPB
,切,割线定理,P是圆外任意一点,过P任作圆的两割,切,线PAB,PCD,则
PAPBPCPD,,,

证明方法与相交弦定理完全一样,可仿前。


特别地,当C,D两点重合成为一点C’时,割线PCD变成为切线PC’
2PAPBPCPDPC,,,,'而由割线定理,,此时割线定理成为切割线定理
22PCPAPBPA'',,,而当B,A两点亦重合为一点A’时,由切割线定理 因此有
PC’=PA’,此时切割线定理成为切线长定理
现考虑割线与切线同时存在的情况,即切割线定理的情况,
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如图,PCD是圆的割线,PE是圆的切线 设圆心为O,连PO,OE,则由切割线定理有,
2PCPDPE,,而注意到黄色Δ是RTΔ,由勾股定理有,
222PEPOOE,,,结合切割线定理,我们得到
222PCPDPEPOOE,,,,,这个结果表明,如果圆心O与P是确定的,那么 PC与PD之
积也是唯一确定的。
以上是P在圆外的讨论
现在再重新考虑P在圆内的情形,如下图,PCD是圆内的现,PAB是以P为中点的
弦



2PAPBPAPD,,,(因为P是弦AB中点)=PC则由相交弦定理有 连OP,OA,由垂径定
理,ΔOPA是RTΔ由勾股定理有
222PAOAOP,,,结合相交弦定理,便得到
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222PAPBPAPDOAOP,,,,,(因为P是弦AB中点)=PC
这个结果同样表明,当O与P是固定的时候PC与PD之积是定值 以上是P在圆
内的讨论
当P在圆上时,过P任作一弦交圆于A,即弦AP,,此时
22POOA,,0也是定值
综上,我们可以把相交弦定理,切割线定理,割线定理,切线长定理统一起来,得
到圆幂定理。
圆幂定理,P是圆O所在平面上任意一点,可以在圆内,圆上,圆外,,过点P任作
一直线交圆 O于A,B两点,A,B两点可以重合,也可以之一和P重合,,圆O半径为r
22PAPBPOr,,,||则我们有,
22POr,,0由上面我们可以看到,当P点在圆内的时候,,此时圆幂定理为相交弦
定理
22POr,,0当P在圆上的时候,


22POr,,0当P在圆外的时候,此时圆幂定理为切割线定理,割线定理,或切线长
定理
以下有很重要的概念和定理,根轴
先来定义幂的概念,从一点A作一圆周上的任一割线,从 A起到和圆周相交为止
的两线段之积,称为点对于这圆周的幂
对于已知两圆有等幂的点的轨迹,是一条垂直于连心线的直线。 根轴的定义,
两圆等幂点的轨迹是一条直线,这条直线称为两圆的根轴 性质1 若两圆相交,其根
轴就是公共弦所在直线
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由于两圆交点对于两圆 的幂都是0,所以它们位于根轴上,而根轴是直线,所以根
轴是两交点的连线
性质2 若两圆相切,其根轴就是过两圆切点的公切线,即性质1的极限情况, 性
质3 若三圆两两不同心,则其两两的根轴交于一点,或互相平行 所交的这点称为根
心
证明,若三圆心共线,则两两圆的根轴均垂直于连心线,因此此时两两的根轴互
相平行 若三圆心不共线,则必成一三角形,因此两两的根轴必垂直于两两的连心线。如
图,设CD与EF交 于点O,连AO交圆分O2圆O3于B’,B’’,则
OAOBOEOFOCODOAOB,,,,, ,,'''其中前两式是点O对圆O2的幂,后二式是点O对圆
O3的幂,中间是圆O对圆O1的幂进行 转化
由此B’与B’’重合,事实上它们就是点B,圆O2与圆O3的非A的交点,,由此
两两的根轴共点



圆幂定理是对于圆适用的定理,今使用圆幂定理对圆内接四边形判定方法的补
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充,
圆内接四边形判定方法
4,相交弦定理逆定理,如果四边形ABCD的对角线AC,BD交于点P,且满足
PAPCPBPD,,,,则四边形ABCD有一外接圆
5,切割线定理逆定理,如果凸四边形ABCD一双对边AB与DC交于点P
PAPCPBPD,,,且满足,则四边形ABCD有一外接圆 这样我们就补充了两种判定方
法
例,射影定理,,RTΔABC中,BC是斜边,AD是斜边上的高 则
2(1)ADBDCD,,
2(2)ABBDBC,, 2(3)ACCDBC,,
证明,



如图，延长至ADA'，使AD=DA'，连A'B,A'C
则ΔABC,，，，,ΔA'BC,因此BACBAC'180
因此，，，四点共圆ABCA'
,1, 由相交弦定理有:
2ADDAADBDCD,,,,'
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指导教师:田祥彪 ,2,,3, (2)(3)同理,现证(3)

作RTΔADB的外接圆,则RTΔADB的外接圆圆心为E其中E是AB的中点
则EAAC,,因此AC是圆ABD的切线 由切割线定理有
2CA,,CDCB
例2,垂心


ΔABC中,三边所在的高的所在的直线交于一点 证明,
设BE与CF交于H,连AH延长交BC于D
即证ADBC,
因为，,，,BECBFCBF90,因此,,E,C四点共圆同理A,F,H,E四点共圆
所以，,,，,，,,，,，BHDAHFBHFAEFEHC180180 ,,，,，,，180BAC
因此,,,四点共HDEC圆
由此，,HDC90

3,Miquel定理
之前1,2的重要定理都是讨论关于点共圆的情况。那么反过来,圆共点的情况
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又如何,
从最简单的开始了解,在本文之后讨论圆共点问题中,甚至其他类型的问
题,Miquel定理都给予莫 大的便利,我们将要不止一次地用到它。 先看一个事实,



如图,ΔABC中,AD,BE,CF分别是三边上的高,则分别以AEF,BDF,CDE作圆
这三个圆共于一点,而且可以通过观察,这个点就是垂心刚好是AD,BE,CF的交
点
在介绍Miquel定理之后,我们将会给这题与垂心一个阐释
Miquel定理,ΔABC中,X,Y,Z分别是直线AB,BC,AC上的点,则 AXZBXYCYZO,,共
于一点

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指导教师:田祥彪 这样的点O称为X,Y,Z对于ΔABC的Miquel点 证明,

如图,设AXZBXYOOYOZ与交于,连OX,,
即问题转化为证OZYC,,,四点共圆


因为AX,,O,Z与B,X,Y,O为两组四点圆
则，,,，,,,，,，AZOAXOBXOBYOOYC180180
即，，，,OZCOYC180
因此,,,四点共OZYC圆
事实上这个证明隐含着对一般证圆共点的方法 在发掘Miquel定理的证明方法
时可以得到一种更一般的证题方法 注意这个证明只在X,Y,Z在AB,BC,AC边上时可
以 当在直线AB,BC,AC上时需要改一下,这里略去了。 现在回到之前关于垂心的问
题。为什么D,E,F关于ΔABC的Miquel点就是ΔABC
的垂心
证明,
如图,,,是ADBECFABCΔ的三条高,垂心为H,则
AEFH,,,
BDFH,,,
CDEH,,,
共三组四点共圆 由此可见AEFBDFCDEH,,共于一点

而H就是垂心

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指导教师:田祥彪 有了Miquel定理,我们可以对垂心有一个新的看法
HDBDFCDE是与的根轴

对HEHF,同理
而，,，,ADBADC90

因此BDF与CDE的连心线平行于BC,中位线定理,
因此HD垂直于BC
HE,HF同理
因此垂心可以被认为是这三圆的根轴的交点,根轴性质3,用同样的方法可以 对
内心,外心以同样的解释,

由此可见,共点圆与三角形的特殊点有很大的关系,上述3种只是最简单的最容
易发现的
提起外心就会联想到外接圆,这里不得不提一个常用定理,正弦定理 正弦定
理,ΔABC中,外接圆半径R,则
BCACAB,,,2R sinsinsinABC


证明,
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作直径AOD,连BD
则，,，,，ABDADBACB90,
因此在RtABDΔ中其余同理 ABAB,,,ADR2sinsin，ADBC
想到三角函数里面的函数名,那么自然会想到余弦定理 余弦定理, ΔABC
AB=c,AC=b,BC=a
222abcbcA,，,2cos
222bacacB,，,2cos
222cbaabC,，,2cos


中

证明,
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作BC边上的高AD
CDACCbC,,,coscos
BDBCCDabC,,,,cos
2222因此ABBDACCD,,,
2222即c,,,,(cos)(cos)abCbbC
2222222 cabCabCbbC,,，,,cos2coscos
222即cababC,，,2cos
其余同理
接着便就是著名的费马点,它也与共点圆有关系 费马点,即ΔABC内一点,使其
到三顶点距离之和最小的点 当ΔABC任一内角都<120时,费马点存在于内部,当Δ
有一内角>=120时费马
点与此角顶点重合



设ΔABC中任一内角均<120,则费马点F可以通过如下方法作出来, 分别以
AB,AC,BC向外作正Δ,连接对着的顶点,则得 事实上,点F是这3个正Δ的外接圆
所共的点
而FA+FB+FC其实就是顶点到对着的正Δ顶点的连线的长 而且之后将会有一
种方法计算FA+FB+FC的长度
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而这将会在之后进行讨论
4,Simson定理



Simson定理是常用而且著名的定理,多用于证明点共线,其逆定理也成立
Simson定理,P是ΔABC外接圆上一点,过点P作PD垂直BC,PE垂直于AB,同理PF
则D,E,F是共线的三点
直线DEF称为点P关于ΔABC的Simson线
引理,完全四边形的Miquel定理,,四条直线两两交于A,B,C,D,E,F六点

ABFBCECDFDAE，，，则共点

先从ΔABFECDBCECDFDAE对,,三点运用密克定理,则,,共点

ΔDAEBCFABFBCECDF对,,三点运用密克定理,则,,共点 因此,,,共点
ABFBCECDFDAE

其中所共的点叫做完全四边形的Miquel点
证明,这里运用Miquel定理作为证明
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指导教师:田祥彪 设PDBCPEABDECAF垂直,垂直,延长交于
则问题等价于证明垂直PFAC
连PF
四边形是完全四AFCDBE边形
所以由完全四边形的定理,引理,Miquel

ABCBDEAEFCDF,,,共点
注意到，,，PEBPDB
所以,,D,E四点共PB圆

所以与交于点和BABCBDEP
因此完全四边形FACDBE的点非MiquelP则B
而A,E,B是同一直线上三点
因此A,E,F,B不可能共圆
因此P是完全四边形FACDBE的点Miquel由此P,E,F,A四点共圆
则，PFA=90
今逆定理证略
从这个证明我们看到Miquel定理的威力不仅在于圆共点,而且对于共点圆也同
样
适用
在有了Simson定理之后,我们可以运用Simson定理来给予完全四边形的< br>Miquel
定理一个新的证明,即前面的引理,



证明,
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设BCECDFC与非的一个交点为M,过M作MP垂直BE ,MQ垂直EC,其余同理。因
为M在上,由定理,是共BCESimsonPQR线的三点

同理对ΔCDF运用Simson定理,有QRS也是共线的三点
因此P,Q,R,S四点共线
而注意到,,是点MPQSADE对Δ三边的垂直且共线
欲Simson定理逆定理,得A,M,D,E四点共圆
同理A,B,F,M四点共圆

因此,,,共点于BCECDFADEABFM


由这个证明,我们可以知道完全四边形的Miquel定理和Simson定理是等价的
能够运用Simson定理证明的必也可用完全四边形的密克定理证明,反之亦然 这
样,Simson定理便与密克定理产生了莫大的关联
PABC‘,PBAC‘,直线例.如图,P为ΔABC外接圆上一点,作交圆周于A’,作交

AABBCC’‘’圆周于B’,C’同理。求证,

证明,设PA’ 交BC于D,PB’交AC于E,F同理,则由Simson定理知,DEF三点共
线
由图形看来,题断三条互相平行的线均与Simson线平行,因此可以试证 连PB
，,，,，,，EDBFDBPBAPAA‘而注意到P,B,D,F四点共圆,因此
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因此AA’与Simson线平行。其余同理
事实上,Simson定理可以作推广,成为Carnot定理
Carnot定理,通过ΔABC外接圆上的一点P,引与三边BC,CA,AB分别成同向