数学培优网全国初中数学竞赛辅导初方程组的解法

2020年11月19日发(作者：申屠亨)





全国初中数学竞赛辅导
初方程组的解法
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第五讲 方程组的解法
二元及多元(二元以上)一次方程组的求解 ，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为
一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元， 主要的消元方法有代入消元和加
减消元两种，下面结合例题予以介绍．
例1 解方程组


解 将原方程组改写为

由方程②得x=6+4y，代入①化简得
11y-4z=-19． ④
由③得
2y+3z=4． ⑤
④×3+⑤×4得
33y+8y=-57+16，
所以 y=-1．
将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以



为原方程组的解．
说明 本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组 成的方程组时，若
用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程 中z的
系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．
解方程组消元时 ，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，
灵活地采用各种方法与技巧，使解 法简捷明快．
例2 解方程组

解法1 由①，④消x得

由⑥，⑦消元，得

解之得

将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以



解法2 由原方程组得

所以
x=5-2y=5-2(8-2z)
=-11+4z=-11+4(11-2u)
=33-8u=33-8(6-2x)
=-15+16x，
即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4 ．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥
得y=2．所以

为原方程组的解．
解法3 ①+②+③+④得
x+y+z+u=10， ⑤
由⑤-(①+③)得
y+u=6， ⑥
由①×2-④得
4y-u=4， ⑦
⑥+⑦得y=2．以下略．
说明 解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．
例3 解方程组



分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：
①+②得
x+u=3， ⑥
②+③得
y+v=5， ⑦
③+④得
z+x=7， ⑧
④+⑤得
u+y=9． ⑨
又①+②+③+④+⑤得
x+y+z+u+v=15．⑩
⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x =0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把
y=6代入⑦得v=-1．所以

为原方程组的解．
例4 解方程组