数学 医学初中中数学竞赛辅导资料.doc

2020年11月19日发(作者：毕心璃)








初中数学竞赛辅导资料（
49）




















对称式



























甲内容提要
一 .定义
1.
在含有多个变量的代数式

f (x,y,z) 中，如果变量 x,
y,
z 任意交换两个后，代数式的值

不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.


例如：
代数式 x+y ， xy ，
x
3
+y
3
+z
3
－ 3xyz,

x
5
+y
5
+xy,

1 1


，


x y


x y y z z x


xyz xyz xyz
.
都是对称式 .




其中 x+y 和 xy 叫做含两个变量的基本对称式 .

2.
在含有多个变量的代数式

f (x,y,z) 中，如果变量 x,

y,
z 循环变换后代数式的值不变，

则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.


222


例如：代数式
a(b－ c)+b(c－ a)+c(a－ b),

2x
2
y+2y
2
z+2z
2
x,
1

1

1

1

，

a

b

c abc

1 1 1

1

1

1


（ xy+yz+zx ） (
.

)

，
2 2 2 2 2 2 2 2
2

x y z a

b

c

b

c

a

c

a

b


都是轮换式 .


显然，对称式一定是轮换式

,而轮换式不一定是对称式 .

二 .性质

1.
含两个变量 x 和 y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示

.这将在下一讲介绍
2. 对称式中， 如果含有某种形式的一式， 则必含有， 该式由两个变量交换后的一切同型式，
且系数相等 .
例如：在含 x, y, z 的齐二次对称多项式中，
如果含有 x
2
项，则必同时有 y
2
, z
2
两项；如含有 xy 项，则必同时有 yz, zx 两项，且它们的
系数，都分别相等 . 故可以表示为：
m(x
2
+y
2
+z
2
)+n(xy+yz+zx)

其中 m,

n 是常数 .
3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该 式由变量字母循环变换后所得的
一切同型式，且系数相等 .
例如：轮换式 a
3
(b－ c)+b
3
(c－a)+c
3
(a－ b)中，有因式 a－ b 一项 ,
必有同型式 b－ c 和
c－ a 两项 .

4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零） ，仍然是对称式（轮换式） .
例如：∵ x+y, xy 都是对称式，

∴ x+y ＋ xy， （ x+y ） xy ，
x y
等也都是对称式 .


xy

∵ xy+yz+zx 和
1 1 1
都是轮换式，


x y z

175/4

.















∴
1
x
1 1
＋xy+yz+z ， （
1

y z

x


1 1
）（ xy+yz+z ） . 也都是轮换式 ..
y

z









乙例题

例 1.计算：（ xy+yz+zx ）
(

1
x
1 1 1 1
)
－

xyz(
2 2
y z y

x

1
z

2
)
.
分析：∵（ xy+yz+zx ）(

1
1
)
是关于

x,y,z

的轮换式，由性质
2，在乘法展开时，只
x y z

连同它的同型式一齐写下 .




1
要用 xy 分别乘以
1
，
1
，
1

x y z

解：原式＝（




zx
＋
xy
)

＋
）＋（ z+x ＋y） +(y+z+x) － (
yz
x y z x y z

abc≠0.

2
zxxyyz
＝ 2x+2y+2z.
例 2.

已知： a+b+c=0,


2
求代数式


1

2

2
1

2

2

2
1

2

2
的值
a

b

c

b

c

a

（ 1989 年泉州市初二数学双基赛题）
c

a b

分析：这是含

a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同
型式 .



解：∵


1
a
2

b
2
c
2
a
2
＝

1
b
2
1
( a b)
2
＝
2ab
，
∴
1








a
2
b
2
c
2
b
2
c
2
a
2
c
2
a
2
b
2



1 1
＝－
1
－
1
－
1
2ab 2bc 2ca








＝
－

c
a b
2abc
＝ 0.
例 3.
计算：（ a+b+c）
3
分析：展开式是含字母a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系
数法 .





例 4.
解：设（ a+b+c）
3
＝ m(a
3
+b
3
+c
3
)+n(a
2
b +a
2
c+b
2
c+b
2
a+c
2
a+c
2
b)+pabc.
（ m, n, p 是待定系数）
令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得m=1；
令
令

a=1,b=1,c=0
比较左右两边系数得

a=1,b=1,c=1
比较左右两边系数得

2m+2n=8 ；
3m+6n+p=27.
m 1

m
得
n
1
3
6
解方程组
2m


2n 8
27 3m 6n p p
∴（ a+b+c）
3
＝ a
3
+b
3
+c
3
+3a
2
b+3a
2
c+3b
2
c +3b
2
a+3c
2
a+3c
2
b+6abc.