数学什么难全国初中数学竞赛辅导初有理数的巧算

2020年11月19日发(作者：邵德孚)
Pleasure Group Office




全


初中数学竞赛辅
初有理数的巧算
【T985AB-B866SYT-B182C-
国导

第一讲 有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关
概 念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还
要善于根据题目条件，将 推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解
决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性 与灵活性．

1．括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和 运算律，去掉或者添上括号，以此来改变
运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
例1 计算：

分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重 涵义，它既
是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数
运 算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．



注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这
样便于计算．

例2 计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．


分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简
单．本题可将第一、第四项 和第二、第三项分别结合起来计算．
解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)
=211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789
=1000×(211+789)
=1 000 000．
说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．

例3 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)
n+1
·n．
分析 不难看出这个算 式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果
按照将第一、第二项，第三、第四项，…， 分别配对的方式计算，就能得到一系列
的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．
解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)
n+1
·n．
下面需对n的奇偶性进行讨论：
当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有
< br>当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)
n+1
·n=n，所
以有


例4 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能
的最小非负数是多少
分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，
3，…，1 998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，
3，…，1998中有19 98÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-
”之后，所得的代数和总为奇数， 故最小非负数不小于1．
现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
n-(n+1)-( n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一
组，再按上述 规则添加符号，即
(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(5+1996)-1997+1998=1．
所以，所求最小非负数是1．
说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．

2．用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
(100+2 )×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=100
2
-2
2
．
这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过
程变为 (a+ b)(a-b)=a
2
-ab+ab-b
2
=a
2
-b2
．