小学数学比赛初中数学竞赛辅导资料(同一法)

2020年11月19日发(作者：耿恩)
初中数学竞赛辅导资料（33）
同一法
甲内容提要
1. “同一法”是 一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个
互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时 ，釆取证明它的逆命题。
2. 同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那
么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。
互逆两个命题一般是不等价的。例如
原命题：福建是中国的一个省 （真命题）
逆命题：中国的一个省是福建 （假命题）
但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如
原命题：中国的首都是北京 （真命题）
逆命题：北京是中国的首都 （真命题）
因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题
是等效的。又如
原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题）
逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题）
因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所
以互逆的两个命题是等效的。
3. 釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题
符合同一法则，则 可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：
① 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立）
② 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）
乙例题
例1. 求证三角形的三条中线相交于一点
已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中线
求证：AD，BE，CF相交于同一点
分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明 CF经过点G，这要
证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB
， ，，，
于F，证明CF就是第三条中线（即证明AF＝FB）
证明：∵∠DAB＋∠EBA＜180
∴AD和BE相交，设交点为G
，
连结并延长CG交AB于F
，
连结DE交CF于M
∵DE∥AB
∴＝＝， 即＝
＝＝， 即＝
，，，
∴＝， ∴AF＝BF，AF是BC边上的中线，
，
∵BC边上的中线只有一条， ∴AF和AD是同一条中线
∴AD，BE，CF相交于一点G。
例2.已知：△ABC中，D在BC上，AB
2
－AC
2
＝BD
2
－DC
2
求证：AD是△ABC的高
分析：从题设AB
2
－AC
2
＝BD
2
－DC
2
证明结论不易，因为BC边上的
高是唯一的，所以 拟用同一法，先作出AE⊥BC，证明在题设的条件下AE
就是AD。
证明：作AE⊥BC交BC于E A
根据勾股定理

AB
2
－AC
2
＝（AE
2
＋BE
2）－（AE
2
＋EC
2
）

＝BE
2
－EC
2

∵AB
2
－AC
2
＝BD
2
－DC
2 B E D C
∴BD
2
－DC
2
＝BE
2
－EC
2

（BD＋DC）（BD－DC）＝（BE＋EC）（BE－EC）
∴BD－DC＝BE－EC ①
BD＋DC＝BE＋EC ②
①＋②：2BD＝2BE
即点D和点E重合，即AD 是△ABC的高
例3如图已知：四边形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝15
∠CBD＝45，∠CDB＝30
求证：△ABC是等边三角形
证明：在BC或延长线上取点E，使BE＝AB
连结AE，DE，则△ABE是等边三角形
AE＝AB＝AD，∠EAD＝150－60＝90，∴∠ADE＝45
∵∠ADC＝45，且DE，DC在DA的同一侧，
∴DE和DC重合，它们与BC边的交点E，C也重合
∴△ABC是等边三角形

例4.求证：＝1
分析：直接证法，一般是把左边写成再化简为1，但没有成功。拟用同一法，
可认为要证明的
原命题是：有两个数，，它们积是－1，则它们的和是1
那么逆命题是：若u+v=1,且uv=－1，则u=,v=
证明：设 u+v=1,且uv=－1，根据韦达定理的逆定理（初三教材）
得u,v是方程x
2
－x－1＝0 的两个根
x=,即u,v分别等于，