数学史视频全国初中数学竞赛辅导初求代数式的值

2020年11月19日发(作者：祁豹佳)





全国初中数学竞赛辅导
初求代数式的值
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第三讲 求代数式的值
用具体的数代替代数式里的字母进行计算， 求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过
程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直 接计算并不困难，但对于较复
杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式 求值的常用技
巧．
例1 求下列代数式的值：


分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有
关概念、法则， 如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大
提高运算的速度和结果的准确 性．

=0-4a
3
b
2
-a
2
b-5
=-4×1
3
×(- 2)
2
- 1
2
×(-2)-5
=-16+2-5=-19．

(2)原式=3x
2
y-xyz+(2xyz-x
2
z)+4x
2
[3x
2y-(xyz-5x
2
z)]
=3x
2
y-xy z+2xyz-x
2
z+4x
2
z-3x
2
y+(xyz- 5x
2
z)
=(3x
2
y-3x
2
y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x
2
z+4x
2
z-5x2
z)
=2xyz-2x
2
z
=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)
=12+6=18．
说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．


例2 已知a-b=-1，求a
3
+3ab-b
3
的值．
分析 由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．
解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简
a
3
+3ab-b
3
=(b-1)
3
+3(b-1)b-b
3

=b
3
-3b
2
+3b-1+3b
2
-3b-b
3

=-1．
说明 这是用代入消元法消去a化简求值的．
解法2 因为a-b=-1，所以
原式=(a
3
-b
3
)+3ab=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)+3ab
=-1×(a
2
+ab+b
2
)+3ab=-a
2
-ab- b
2
+3ab
=-(a
2
-2ab+b
2
)=-(a-b)
2

=-(-1)
2
=-1．
说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以
原式=a3
-3ab(-1)-b
3
=a
3
-3ab(a-b)-b3

=a
3
-3a
2
b+3ab
2
-b
3
=(a-b)
3

=(-1)
3
=-1．
说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab 化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-
b)3．
解法4 因为a-b=-1，所以
(a-b)
3
=(-1)
3
=1，
即 a
3
+3ab
2
-3a
2
b-b
3
=-1，
a
3
-b
3
-3ab(a-b)=-1，
所以 a
3
-b
3
-3ab(-1)=-1，
即 a
3
-b
3
+3ab=-1．
说明 这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．


解法 5
a
3
+3ab-b
3
=a
3
+3ab
2
-3a
2
b-b
3
-3ab
2
+3a
2
b+3ab
=(a-b)
3
+3ab(a-b)+3ab
=(-1)
3
+3ab(-1)+3ab
=-1．
说明 这种解法是添项，凑出(a-b)
3
，然后化简求值．通过这个 例题可以看出，求代数式
的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解 法中，用到
了几个常用的乘法公式，现总结如下：
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
；
(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
；
(a+b)
3
=a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3
；
(a-b)
3
=a
3
-3a
2
b+3ab
2
-b
3
；
a
3
+b< br>3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)；
a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)．

解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以


解 因为a=3b，所以

c=5a=5×(3b)=15b．
将a，c代入所求代数式，化简得