趣味数学脑筋急转弯全国初中数学竞赛辅导初不等式的应用

2020年11月19日发(作者：薛志学)





全国初中数学竞赛辅导
初不等式的应用
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第八讲 不等式的应用
不等式与各个数学分支都有密切的联系，利 用“大于”、“小于”关系，以及不等式一
系列的基本性质能够解决许多有趣的问题，本讲主要结合例题 介绍一下这方面的应用．
例1 已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy
2
按由小到大的顺序排列．
分析 用作差法比较大小，即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b．
解 因为x- xy=x(1-y)，并且x＜0，-1＜y＜0，所以x(1-y)＜0，则x＜xy．
因为xy
2
-xy=xy(y-1)＜0，所以xy
2
＜xy．
因为x-xy
2
=x(1+y)(1-y)＜0，所以x＜xy
2
．
综上有x＜xy
2
＜xy．
例2 若

试比较A，B的大小．

显然，2x＞y，y＞0，所以2x-y＞0，所以A-B＞0，A＞B．
例3 若正数a，b，c满足不等式组


试确定a，b，c的大小关系．
解①+c得



②+a得

③+b得

由④，⑤得


所以 c＜a．
同理，由④，⑥得b＜C．
所以a，b，c的大小关系为b＜c＜a．
例4 当k取何值时，关于x的方程

3(x+1)=5-kx
分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．
解 将原方程变形为(3+k)x=2．
(1)当 3+k＞0，即 k＞-3时，方程有正数解．
(2)当3+k＜0，即k＜-3时，方程有负数解．
(3)当方程解不大于1时，有

所以1+k，3+k应同号，即





得解为 k≥-1或k＜-3．

注意 由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。
例5已知

求｜x-1｜-｜x+3｜的最大值和最小值．

｜x-1｜-｜x+3｜



达到最大值4．结合x＜-3时的情形，得到：在已


说明 对含有 绝对值符号的问题，无法统一处理．一般情况下，是将实数轴分成几个区
间，分别进行讨论，即可脱去绝 对值符号．
例6 已知x，y，z为非负实数，且满足
x+y+z=30，3x+y-z=50．
求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．