数学第三测全国初中数学竞赛辅导初一次不等式

2020年11月20日发(作者：房雍熙)





全国初中数学竞赛辅导
初一次不等式
Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】


第六讲 一次不等式(不等式组)的解法
不等式和方程一样，也是 代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其
重要的是不等式具有一系列基本性质，而且 “数学的基本结果往往是一些不等式而不是等
式”．本讲是系统学习不等式的基础．
下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．
1．不等式的基本性质


这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定 要注意
它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质< br>(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．
2．区间概念
在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么
(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．
(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．
(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或
[a，b))．如图1－4(c)，(d)．

3．一次不等式的一般解法
一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准
型： ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．


一元一次不等式ax＞b．

(3)当a=0时，


用区间表示为(-∞，+∞)．
例1 解不等式

解 两边同时乘以6得
12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，
化简得
-7x≥-14，
两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．
例2 求不等式

的正整数解．

正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．
例3 解不等式


分析与解 因y
2
+1＞0，所以根据不等式的基本性质有




例4 解不等式


5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．
解 将原不等式变形为
为x+2＞7，解为x＞

解之得

所以原不等式的解为x＞5且x≠6．
例5 已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较
解 首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得
y＜-10+9，即y＜-1．


例6 解关于x的不等式：




解 显然a≠0，将原不等式变形为
3x+3-2a
2
＞a-2ax，
即
(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．

说明 对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．
例7 已知a，b为实数，若不等式
(2a-b)x+3a-4b＜0


解 由(2a-b)x+3a-4b＜0得
(2a-b)x＜4b-3a．


由②可求得

将③代入①得

所以b＜0．于是不等式(a-4b)x+2a-3b＞0可变形为