数学一考什么全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第11讲 勾股定理与应用

2020年11月20日发(作者：郝振贤)

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第十一讲 勾股定理与应用
在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理．
勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
a
2
+b
2
=c
2
．
勾股定理逆定理 如果三角形三边长a，b，c有下面关系：
a
2
+b
2
=c
2

那么这个三角形是直角三角形．
早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．
关于勾股定理，有很多证法， 在我国它们都是用拼图形面积方法来证
明的．下面的证法1是欧几里得证法．
证法1 如 图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正
方形ABDE，BCHK，ACFG， 它们的面积分别是c
2
，a
2
，b
2
．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．
过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为
AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，
所以△ACE≌△AGB(SAS)．而





所以 S
AEML
=b
2
． ①
同理可证 S
BLMD
=a
2
． ②
①+②得
S
ABDE
=S
AEML
+S
BLMD
=b
2
+a
2
，
即 c
2
=a
2
+b
2
．
证法2 如图2-17 所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到
D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形 CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截
取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH， HB．由作图易知
△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，
所以
AG=GH=HB=AB=c，
∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，
因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正
方形AGHB的面积与四个全 等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)
的面积和，即

化简得 a
2
+b
2
=c
2
．




证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上 向外作正方形ABDE，
延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作 AF，
DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△
ABC全等：
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．
设五边形ACKDE的面积为S，一方面
S=S
ABDE
+2S
△ABC
， ①
另一方面
S=S
ACGF
+S
HGKD
+2S
△ABC
． ②
由①，②

所以 c
2
=a
2
+b
2
．

关于勾股定 理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，
我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中 国古代数学家的名字命
名．


利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．
定理 在三角形中，锐角(或钝角 )所对的边的平方等于另外两边的平
方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线 )上的射
影的乘积的2倍．

证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D， 则CD就是
AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，
AB
2
=AD
2
+BD
2
， ①
在直角三角形ACD中，
AD
2
=AC
2
-CD
2
， ②
又
BD
2
=(BC-CD)
2
， ③
②，③代入①得
AB
2
=(AC
2
-CD
2
)+(BC- CD)
2

=AC
2
-CD
2
+BC
2
+CD
2
-2BC·CD
=AC
2
+BC
2
-2BC·CD，
即
c
2
=a
2
+b
2
-2a·CD． ④
(2 )设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，
则CD就是AC在BC(延长 线)上的射影．在直角三角形ABD中，
AB
2
=AD
2
+BD
2
， ⑤
在直角三角形ACD中，



AD
2
=AC
2
-CD
2
， ⑥
又
BD
2
=(BC+CD)
2
， ⑦
将⑥，⑦代入⑤得
AB
2
=(AC
2
-CD
2
)+(BC+CD)
2

=AC
2
-CD
2
+BC
2
+CD
2
+2BC·CD
=AC
2
+BC
2
+2BC·CD，
即
c
2
=a
2
+b
2
+2a·cd． ⑧
综合④，⑧就是我们所需要的结论

特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：
c
2
=a
2
+b
2
．
因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角
形中的推广)．
由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影
响．在△ABC中，
(1)若c
2
=a
2
+b
2
，则∠C=90°；
(2)若c
2
＜a
2
+b
2
，则∠C＜90°；
(3)若c
2
＞a
2
+b
2
，则∠C＞90°．


勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在
解决三 角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．
例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD 中，∠BAC的平分线交BC
于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB
2=2FG
2
．

分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所 以△AGF是等腰直角三角
形，从而有AF
2
=2FG
2
，因而应有 AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．
证 因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公
共边，所以
Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，
所以 AF=AB． ①
在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以
AG=FG，
AF
2
=AG
2
+FG
2
=2FG
2
． ②
由①，②得
AB
2
=2FG
2
．
说明 事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”
应使我们意识到两个直角三 角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”
到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三 角形中，可以利用勾股定理
进行证明了．
例2 如图2-22所示．AM是△ABC的B C边上的中线，求证：
AB
2
+AC
2
=2(AM
2
+BM
2
)．



证 过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在
△ABM中，
AB
2
=AM
2
+BM
2
+2BM·MD． ①
在△ACM中，
AC
2
=AM
2
+MC
2
-2MC·MD． ②
①+②，并注意到MB=MC，所以
AB
2
+AC
2
=2(A M
2
+BM
2
)． ③
如果设△ABC三边长分别为a，b， c，它们对应边上的中线长分别为
m
a
，m
b
，m
c
，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．
推论 △ABC的中线长公式：



说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形， 其中一个是锐角三角
形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相
反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的m
a
，m
b
，m
c分别表示a，b，
c边上的中线长．
例3 如图2-23所示．求证：任意四边形四 条边的平方和等于对角线
的平方和加对角线中点连线平方的4倍．



分析 如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利
用例2的结论，不难证明本题．
证 设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．由例2，在△BDQ
中，

即
2BQ
2
+2DQ
2
=4PQ2
+BD
2
． ①
在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以

在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以


将②，③代入①得


=4PQ
2
+BD
2
，
即
AB
2
+BC
2
+CD
2
+DA
2
=AC
2
+B D
2
+4PQ
2
．

说明 本题是例2的应用．善于 将要解决的问题转化为已解决的问题，
是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面， 我们再
看两个例题，说明这种转化方法的应用．


例4 如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，A C
上的任意一点．求证：AD
2
+BE
2
=AB
2
+DE
2
．
分析 求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考
虑从勾股定理入手．
证 A D
2
=AC
2
+CD
2
，BE
2
=BC< br>2
+CE
2
，所以
AD
2
+BE
2< br>=(AC
2
+BC
2
)+(CD
2
+CE
2
)=AB
2
+DE
2

例5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等
于斜边平方的5倍．
如图2 -25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，
AC边上的中线．求证：
4(AM
2
+BN
2
)=5AB
2
．


分析 由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例
4的 方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况—
—即M，N分别是所在边的中点，那 么可直接利用例4的结论，使证明过
程十分简洁．
证 连接MN，利用例4的结论，我们有
AM
2
+BN
2
=AB
2
+MN
2
，
所以 4(AM
2
+BN
2
)=4AB
2
+4MN
2
． ①
由于M，N是BC，AC的中点，所以



所以 4MN
2
=AB
2
． ②
由①，②
4(AM
2
+BN
2
)=5AB
2
．
说明 在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的
基本性质：“MN∥AB且MN=
图2-26所示．MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S．由于M，N
分别是所在边的中点，所以S
△ACM
=S
△BCN
，两边减去公共部分△ CMN后得S
△AMN
=S
△BMN
，从而AB必与MN平行．又S
△
=高相
ABM
同，而S
△ABM
=2S
△BMN
，所以AB=2MN．

练习十一
1．用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：
(1)赵君卿图(图2-27)；

(2)项名达图(2-28)；
(3)杨作枚图(图2-29)．


2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：
PA2
+PC
2
=PB
2
+PD
2
．


(提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形
外，均有这个结论．)
3．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别
是D，E，F．求证： < br>AF
2
+BD
2
+CE
2
=FB
2
+DC
2
+EA
2
．
4．如图2-30所示．在四边形ADB C中，对角线AB⊥CD．求证：
AC
2
+BD
2
=AD
2
+BC
2
．它的逆定理是否成立？证明你的结论．
5．如图2-31所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂
线BE，CF．求证：
BC
2
=AB·BF+AC·CE．