中南大学数学建模全国初中数学竞赛辅导初含绝对值的方程及不等式

2020年11月20日发(作者：霍思燕)





全国初中数学竞赛辅导
初含绝对值的方程及不
等式
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第七讲 含绝对值的方程及不等式
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个 数的点离开原点的距离．但除零以外，任一
个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数 的绝对值是一样的．由于这个
性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本 讲主要介绍方程
与不等式中含有绝对值的处理方法．
一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：

含绝对值的不等式的性质：

(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；
(3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．

由于绝对值的定 义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是
分别按照绝对值符号内的代数式取 值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的
代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式 的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论
时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题 予以分析．
例1 解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．
分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零

掉绝对值符号再求解．
解(1)当x≥2时，原方程化为
(x-2)+(2x+1)=7，





-(x-2)+(2x+1)=7．

应舍去．


-(x-2)-(2x+1)=7．

说明 若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的
解 不是方程的解，应舍去．
例2 求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．

为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．
｜x-(2x+1)｜=3，


即 ｜1+x｜=3，
所以 x=2或x=-4．





｜x+(2x+1)｜=3，
即 ｜3x+1｜=3，

的个数为2．
例3 若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少
解 若a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知
｜x-2｜-1=±a，
所以 ｜x-2｜=1±a．
(1)若a＞1，则｜x-2｜=1-a＜0，无解．｜x-2｜= 1＋a，x只能有两个解x=3+a和x=1-a．
(2)若0≤a≤1，则由｜x-2｜=1+a，求得
x=1-a或x=3+a；
由｜x-2｜=1-a，求得
x=1+a或x=3-a．
原方程的解为x=3+a，3 -a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只
能取0或1．当a=0时，原方 程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当
a=1时，原方程的解为x=4，0， 2，有三个解．
综上可知，a=1．
例4 已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．
解 设x为方程的负根，则-x=ax+1，即

所以应有a＞-1．反之，a＞-1时，原方程有负根．


设方程有正根x，则x=ax＋1，即

所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．
综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．
例5 设

求x+y．
分析 从绝对值的意义知

两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零．
解 由题设有


把③代入①得

解之得y=-3，所以x=4．故有
x+y=4-3=1．
例6 解方程组