数学的赞美全国初中数学竞赛辅导 初 第 讲 一元一次方程

2020年11月20日发(作者：郝章)

第四讲 一元一次方程
方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元 一次方程，它是进一步学习代数方
程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主 要介绍一些解一元一次
方程的基本方法和技巧．
用等号连结两个代数式的式子叫等式．如 果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，
这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明 来确定的．
如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成 立，
这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程
的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．
只含有一个未知数(又称为一元) ，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元
一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式 ，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．
解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2 )去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最
简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系 数，得出方程的解．
一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：

(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；
(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．
例1 解方程

解法1 从里到外逐级去括号．去小括号得


去中括号得

去大括号得


解法2 按照分配律由外及里去括号．去大括号得


化简为

去中括号得

去小括号得



例2 已知下面两个方程
3(x+2)=5x，①



4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②
有相同的解，试求a的值．
分析 本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．
解 由方程①可求得3 x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定
义，把x=3代入方程 ②时，应有
4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，
7(a-3)-3(a-3)=18-12，

例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．
解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有
2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，

例4 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．

分析 这个方程中未知数是x，m，n 是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不
同值时，方程解的情况．
解 把原方程化为
m
2
x+mnx-mn-n
2
=0，
整理得 m(m+n)x=n(m+n)．

当m+n≠0，且m=0时，方程无解；
当m+n=0时，方程的解为一切实数．

说明 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有
唯 一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．
例5 解方程
(a+x-b)(a-b- x)=(a
2
-x)(b
2
+x)-a
2
b
2．
分析 本题将方程中的括号去掉后产生x
2
项，但整理化简后，可以消去 x
2
，也就是说，原
方程实际上仍是一个一元一次方程．
解 将原方程整理化简得
(a-b)
2
-x
2
=a
2
b
2
+a
2
x-b
2
x-x
2
-a
2
b
2
，
即 (a
2
-b
2
)x=(a-b)
2
．
(1)当a
2
-b
2
≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解

(2)当a
2
-b
2
=0时，即a=b或a=-b时，若a-b ≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，
即a=b，方程有无数多个解．
例6 已知(m
2
-1)x
2
-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方 程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的
值．
解 因为(m
2
-1)x
2
-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以
m
2
-1=0，即m=±1．
(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为
199(1+4)(4-2×1)+1=1991；
(2)当m=-1时，原方程无解．
所以所求代数式的值为1991．
例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．