高一的数学题全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第28讲 怎样把实际问题化成数学问题(一)

2020年11月20日发(作者：吕南公)

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集
第二十八讲 怎样把实际问题化成数学问题(一)
数学从逻辑上讲，是训练思维的工具．通过学习数学可以使人 更加聪
明，办事更有条理，思维更加灵活而富于创造性．另一方面，如果从应用
上讲，数学也是 一种应用技术，应用数学知识、原理和方法可以解决各种
实际问题．那么怎样把一个实际问题化成数学问 题来解决呢？这是一个比
较复杂的过程，大体上可以通过以下步骤进行：
(1)了解实际问题中量的关系和图形元素的关联；
(2)根据量或图形间的关系，寻找相应的数学模式；
(3)考虑数学模式中的条件与结论的蕴涵关系，提出数学问题；
(4)应用数学知识、原理，求出数学问题的解答；
(5)由数学问题的解答，对实际问题作出解释与讨论；
(6)推广数学模式所能解决的更广泛的实际问题．
但是由于实际问题千变万化，特别复杂，所以 当把实际问题化成数学
问题求解时，也有不同的思考方法．下面提出几点较为常见的方法，供读
者参考．
1．抽象分析法
例1 “七桥问题”．在18世纪东普鲁士的首府哥尼斯 堡有一条河，
叫作布勒格尔河，横贯城区，在这条河上共架有七座桥(图2-146)．所谓
“ 七桥问题”就是：一个人要一次走过这七座桥，但对每一座桥只许通过
一次，问如何走才能成功？这个问 题，引起当时德国人的好奇，很多人都
热衷于解决它，但谁也没有成功．

欧拉 (Euler)是一位大数学家，由于千百人的失败，使他猜想：这种
走法可能根本不存在．但是怎样证 明这种走法不可能呢？欧拉运用抽象分


析法，将之化成数学问题， 于1736年证明了他的猜想，使“七桥问题”
得到圆满的解决．那么欧拉是怎样抽象成数学问题进行思 考的呢？
使问题简单化．
作为解决实际问题的第一步，要尽可能使问题简单化．为 此要抓住问
题的要点，做初步的抽象处理．显然岛的大小和桥的长短与问题无关，因
此可以不加 考虑．如果把岛及陆地用点表示，桥用线表示，那么这个问题
就成了一笔画问题(图2-147)．

在图2-147中，由A到B有桥1；由B到D有桥2，桥3；由D到C
有桥4 ，桥5；由C到A有桥7；由A到D有桥6，共七座桥．这样，就把
实际问题数学化了，使问题的解决推 进了一步．
一般说来，在数学思考中，常把原问题不改变本质地加以变形，使其
简单化， 以利于找到解答．例如，列方程解应用问题就是这种思想的一种
体现．先把实际问题化成含有已知量和未 知量的方程，然后再把方程作同
解变形，化为最简方程，较容易地求出方程的解，实际问题也就解决了．
寻找解决问题的方法．
问题简化了，也不一定能得到解决，关键是如何抓住本质加以 分析，
从中发现规律性．为此，我们还是从更特殊的情况进行观察分析．
(1)假如只有 三座桥(图2-148)．对于图2-148(a)来说，无论从哪个
端点起一笔画出总是可能的．但对 图2-148(b)来说，无论从哪个端点起，
一笔画完总是不可能的．



(2)假如有四座桥(图2-149)．对于图2-149(a)，(b)来说，显然 可以
一笔画成．但对图2-149(c)来说，却不能一笔画成．

研究了这些 简单例子，对我们有什么启发呢？为此，数学家提出了网
络这一概念，以便利用新概念的特性，解决已经 提出的问题．
定义 网络是由有限个点(称作网络的顶点)和有限条线(称作网络的
弧) 所组成的图形．这些点和线满足以下条件：
(i)每条弧都以不同的两个顶点作为端点；
(ii)每个顶点至少是一条弧的端点；
(iii)各弧彼此不相交．
这样，所谓一笔画问题，就是网络中的同一条弧不许画两次，而把网
络全部勾画出来的问题．
(3)研究网络能一笔画出的特点，寻找解决问题的方法．我们假定一
个网络能一笔画出来，那么这个网 络中显然有一点为起点，另一点为终点，
其他各点为通过点．设某点为起点，如果以某点为顶点的弧不只 一条，那
么由某点沿一条弧画出去，必沿另一条弧画回来，因此，最初是画出去，
然后进出若干 次后，把集中在某点的弧全部通过完毕为止，最后一次必须
是画出去，所以在起点集中的弧必须是奇数条 ．而终点的情况刚好与起点
相反，先是画进，再画出，进出若干次，最后一次必是画进，因此终点也集中奇数条弧．但起点与终点同为一点时，必是先出后进，中间或许经过
若干次进出，最终回到起点 ．因此在该点集中的弧必是偶数条，而在中途
通过的点所集中的弧显然也必定是偶数条．
通过上面分析可知：一个网络中的点可分为两类，一类顶点集中了偶
数条弧，另一类顶点集中了奇数条弧 ．我们称前者为偶点，后者为奇点．例
如，在图2-149(b)中，A，B为奇点，C，D为偶点．通 过对图2-148和图
2-149的考察，我们可以直观地想到如下结论：
(i)一个网络若能一笔画出来，其中偶点个数必须是0或2．


(ii)一个网络中的奇点个数若是0或2，那么这个网络一定能一笔画
出来．
欧拉证明 了以上两条猜想，得到了著名的欧拉定理：一个网络能一笔
画的条件是当且仅当这个网络的任意两个顶点 都有弧连接，并且奇数点的
个数等于0或2．
(4)回到原问题．利用欧拉定理，“七桥 问题”很容易就解决了．因
为在图2-147中，奇点个数是4，不满足欧拉定理的条件，因此不可能按
约定条件通过七座桥．
(5)推广．如果一个网络的奇点个数不是0或2，则这个网络不 可能
一笔画成．那么要多少笔才能画成呢？这就成为多笔画的问题了．多笔画
的研究发展了网络 理论的研究与应用，后来发展成现代数学的一个分支—
—图论．
归纳上述分析方法，可以大致看出利用抽象分析法解决实际问题的思
维过程：
(1)把实际问题简单化，抽象成数学问题．
(2)解决问题是靠发现事物间由简单到复杂、由特殊到一般的内在联
系．
(3)发现的 思路是以具体实例作为经验观察，由简到繁地考察构成实
例间的基本事实和关系；再由诸特例作出一般的 归纳猜想，并加以理论证
明．
(4)应用论证后的法则，解决各种难题，实际上是化难为易．
(5)把法则加以推广，以解决更多的实际问题，并扩展数学的理论和
应用．
2．数据处理法
有些实际问题需要收集问题中的若干对应数据，从数据中观察相关变
量的 依存关系或对应关系，可以得到大致体现实际问题有关变量变化规律
的数学模型，从而解答实际问题．下 面举一个实例，说明这种方法的应用．
例2 怎样由树的断面直径来推断树的高度．
解 第一步：设计变量．根据这个问题，我们可以设预测的某种树的
高度为y，离地面1.5米处的直径 为x厘米．
第二步：收集x，y的对应数据，为此我们测量12棵树的x，y的对
应值，列表如表28．1．



第三步：由对应数据求出y对x的函数关系式．
常用的方法是作图法．把直径x看作自变量，高度y看作因变量．每
一对(x，y)看作一 个点，画在坐标纸上(图2-150)，作成散点图．从散点
图可以直观地看出两个变量之间的大致关系 ．我们从图2-150可看出，y
随x的增大而增大，并且这些点的分布近似一条直线．
这时，我们在图上画出尽可能接近这些点的一条直线，自然，有些点
正好在直线上，有的点却有所偏离， 不在直线上，这说明有些误差，但如
果重复测量几次，误差不会太大．因此，我们所画出的直线近似地表 示着
x和y之间的线性关系，所以这条直线的函数表达式——一次函数式就可
作为树的高度y和 直径x间的关系式了．下面我们就来求出这个一次函数
式．

设这条直线的一次函数式为：
y=ax＋b．
为了求出常数a，b，在直线上取两点， 取点的原则是：为使直线位
置稳定，取直线上距离较远的两点；为便于计算，取坐标数据整齐些的两点．为此，我们取点(4，8.6)和(40，26)，将此两点的坐标代入y=ax＋b，
得方程 组




所以 y=0.48x+6.68．

第四步：利用上述函数关系式，根据直径x的数值，预报 树高y的数
值．例如，当x=15厘米时，树高y等于多少米？显然，此时
y=0.48×15＋6.68=13.88(厘米)．
这就是说，当树的直径为15厘米时，树高为13.88米．
上面是用两对实验数据(两个点)求 出的直线方程．利用实验数据的信
息较少，因此准确性较差．下面利用平均值法改进一下，作法是：在直 线
的上、下取两组靠近直线的点，如(4，8.6)，(9.3，10.7)，(14.3，13.5)
为一组；(32，22.4)，(40，26)，(42，28)为一组，用每组x，y的平均
值(9.2，10.93)和(38，25.47)作为两点，再按上面的方法求出直线方程
y=0.5 0x＋6.28，以此作为实验数据，y对x间的函数关系就比较准确些．
说明 上面的方法，是 数学在解决实际问题时的一种应用，经常用在
处理实验数据中，当实验数据为有序数对(x，y)时，相 应地在直角坐标系
中描出点(x，y)的散点图．如果散点图近于一条直线，要找出变量x，y
间的函数关系时，就可用这种方法．然而由实验数据作出的散点图不一定
近于直线，而近于一条曲线时， 也可找到x，y间的函数关系式，不过需
要更多的数学知识，我们在此就不介绍了．
3．运筹优化法
有些实际问题，可以根据问题的要求，首先筹划一些可行的处理方案，
然 后比较这些方案的优劣，选择其中一种或几种方案加以优化组合，并用
数学方法加以处理，以便得到最佳 的解决方案．下面举一个实例说明这种
方法的应用．
例3 要做20个矩形钢框，每个由 2.2米和1.5米的钢材各两根组成，
已知原钢材长4.6米，应如何下料，使用的原钢材最省？
分析与解 要做成20个矩形的钢框，就需要2.2米和1.5米的钢材各
40根．一种简 单的想法是：在每一根原料上截取2.2米和1.5米的钢材
各一根，这样每根原钢材剩下0.9米的料 头，要做20个钢框，就要用原
钢材40根，而剩下的料头总数为0.9×40=36米．
显然，上述想法，浪费材料，不太合理．因此，我们可以考虑合理套
裁，就可以节省原料．下面有三种下 料方案可供采用．



为了省料而得到20个钢框， 需要混合使用各种下料方案．设用第Ⅰ
种方案下料的原材料根数为x
1
；用第Ⅱ种方案 下料的原材料根数为x
2
；用
第Ⅲ种方案下料的原材料根数为x
3
． 所谓原材料最省，也就是使所剩下的
料头总和最少．为此根据表28．2的方案，可以列出以下的数学模 型
y=0.1x
1
+0.2x
2
＋0.9x
3
，

解之得

其中0≤x
3
≤40．把x
1
，x
2
代入y得

可以看出，x
3
越大，y的值也越大，所以x
3
的取值应尽量小．
当x
3
=0时，可取x
1
=14，x
2
=20．
当x
3
=1时，x
1
=13，x
2
=20，都是用原材料3 4根，料头的总数为
y=34×4.6-(2.2+1.5)×40=8.4(米)．
所以，原材料最省的下料方案是：按方案Ⅰ下料13(或14)根，用方
案Ⅱ下料20根，用方案Ⅲ下料 1(或0)根，这样只需34根原材料就可做
出20个钢框．


练习二十八
1．下列图形是否可以一笔画出？

2．图2-15 4是3×3的方格型道路网，如果每个小方格的边长为1千
米，那么由A点出发走完全部路段，最后又回 到A点，最少要走多少千米？

3．设x表示排在弹簧上的物品的重量(千克)，y表示 弹簧伸长的长
度(厘米)，已知(x，y)有如下的对应测量值：
(1)画出此组数据的散点图；
(2)求出y关于x的函数表示式；
(3)当x=2.3千克时，试预报弹簧伸长的长度．

4．有一批长50米的钢筋，现 要截成长度为9.5米和7米的两种钢筋
备用，问怎样截法可使原材料的利用率最高？并求利用率是多少 ？