-雪代巴
第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题
对于一元二次方程ax
2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b
2
-4ac来判
别， 但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那
么就没有统一的方法了， 只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性
的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法 ．
例1 m是什么整数时，方程
(m
2
-1)x
2
-6(3m-1)x＋72＝0
有两个不相等的正整数根．
解法1 首先，m
2
-1≠0，m≠±1．Δ=36 (m-3)
2
＞0，所以m≠3．用求根公式可得
由于x
1
，x
2
是正整数，所以
m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
解得m=2．这时x
1
=6，x
2
=4．
解法2 首先，m< br>2
-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x
1
，x
2
，则由根与系
数的关系知
所以m-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即
m
2
＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，
只有m
2
=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．
说明 一般来说，可以先把方程的根求出来 (如果比较容易求的话)，然后利用整数
的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样 做的．有时候也可以
利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最
自然的做法．
例2 已知关于x的方程
a
2
x
2< br>-(3a
2
-8a)x＋2a
2
-13a＋15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．
分析 “至少有一个整数根”应分两种情况 ：一是两个都是整数根，另一种是一个
是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个 根解出来．
解 因为a≠0，所以
2
所以
所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．
例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程
mx
2
-(m-1)x＋1＝0
有有理根，求m的值．
解 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
Δ=(m-1)
2
-4m＝n
2
，
其中n是非负整数，于是
m
2
-6m+1=n
2
，
所以 (m-3)2-n2=8，
(m-3＋n)(m-3-n)＝8．
由于m-3＋n≥m-3-n，并且
(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以
说明 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是
完全平方数，然后利用 平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
例4 关于x的方程
ax
2
+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．
解 当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．
当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式
Δ＝4(a-3)
2
-4a(a-2)＝4(9-4a)
为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n
2
，则n是正奇数，
要使x
1
为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而 a=2．要使x
2
为整数，即n-3｜4，
n可取1，5，7，从而a=2，-4，- 10．
综上所述，a的值为2，-4，-10．
说明 本题是前面两种方法的“综 合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有
时候，往往是几种方法一同使用．
例5 已知关于x的方程
x
2
＋(a-6)x＋a=0
的两根都是整数，求a的值．
解 设两个根为x
1
≥x
2
，由韦达定理得
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本文更新与2020-11-20 00:03，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/448378.html