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第十二章 分式和分式方程
12．1 第1课时 分式及其基本性质
知识点 1 分式的概念
1．2017·贺州 下列式子中是分式的是( )
1x12
A. B. C. D.
35
πx－1
2．下列各式中，哪些是分式，哪些是整式？
x－31＋y
2019ax2m
2
①；②；③－；④＋y；⑤；⑥.
xx2m
πx－y
知识点 2 分式有(无)意义的条件 1
3．已知分式
，当分母x＋2≠________，即x≠________时，分式有 意义；反之，
x＋2
当x＝________时，分式无意义．
x＋2
x< br>4．当x________时，分式有意义；当x______时，分式无意义．
x－5x－1
5．x取何值时，下列分式有意义：
x＋26（x＋3）x＋6
(1)； (2)； (3)
2
.
2x－3|x|－12x＋1
知识点 3 分式的值为0的条件
x－2
6．已知 分式
，当分子x－2＝________，且分母x＋1≠________时，分式的值为
x ＋1
x－2
0，故分式的值为0的条件是________．
x＋1
x－y
7．若分式的值为0，则x，y需要满足的条件为________．
x－1
x－a
8．对于分式
，当x＝a时( )
3x－2
A．分式的值为0
2
B．若a≠
，则分式的值为0
3
C．分式无意义
2
D．若a＝－
，则分式无意义
3
9．当a取何值时，下列分式的值为0?
2a－1|a|－1|a|－1
(1)； (2)
2
； (3).
a＋2a＋1a－1
知识点 4 分式的基本性质
（ ）
1
xy＋xy＋1
b
（ ）
10．填空：(1)＝(m≠0)；(2)＝；(3)
2
＝.
2
aam3xyxyx
（ ）
11．下列各式从左到右的变形不正确的是( )
－5x
5x
－y
y
A．－＝ B.＝
3y
－3y－6x
6x
－2
3x3x2
C.＝－ D.＝－
4y3y3y
－4y
12．下列式子从左到右的变形一定正确的是( )
a
a＋m
aac
A.＝ B.＝
b
b＋m
bbc
akaaa
2
C.＝ D.＝
2
bkbbb
13．教材“做一做”变式下列各分式中，与分式－x
x
A. B.
－x－yx－y
xx
C．－ D．－
x－yy－x
5x
14．如果把的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值 ( )
x＋y
A. 不变 B. 扩大为原来的50倍
1
C. 扩大为原来的10倍 D. 缩小为原来的
10
xx
2
15．若等式＝成立，则x必须满足________．
x＋1x
2
＋x
0.1x＋0.2y
的分子、分母的各项系数都化为整数， 得
0.3＋y
x
的值相等的是( )
x＋y
16．不改变分式的值，把分式
________．
17．按要求做题．
不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正．
1－3x－x
2
－2x＋3
① ；②.
－x－2x－1
18．2017·武汉洪山区校级模拟 下列关于分式的判断，正确的是( )
x＋1
A．当x＝2时，的值为0
x－2
3
B．无论x为何值，
2
的值总为正数
x＋1
3
C．无论x为何值，不可能得整数值
x＋1
x－3
D．当x≠3时，有意义
x
19．2018·莱芜若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( )
2＋x
2y2y
3
2y
2
A. B.
2
C.
2
D.
x3x
x－y（x－y）
2
20．请写出一个同时满足下列条件的分式：(1)分式的值不可能为0； (2)分式有意义时，
x的取值范围是x≠2；(3)当x＝0时，分式的值为－1.你所写的分式是_ _______．
21．已知甲车用v km/h的速度跑完AB两地的路程用了2小时，乙车每小时比甲车慢
5 km，则乙车跑完AB两地的路程需要________小时．
x－b
2b
无意义，当x＝4时此分式的值为0.求分式
2
的值．
x＋aa－ab
22．已知x＝－2时，分式
2x＋6
2
23．王老师在黑板上出了一道题：分式
2
和是不是同一分式？为什么？小强、
x－9x－3
小明两位同学是这样回答 的：
2x＋62（x＋3）2x＋6
22
小强说：因为
2
＝＝，所以分式
2
和是同一分式．
x－9（x＋3）（x－3）x－3x－9x－3
2（x＋3）2x＋62x＋6
22
小明说：＝＝
2
，所以分式和
2
是同一分式．
x－3（x＋3）（x－3）x－9x－3x－9
你 同意他们的说法吗？若不同意，请说出你的理由．
24．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数 ”和“假分数”．而假分数都可化为
8
6＋2
22
带分数，如：＝＝2＋＝2 .我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当
3333
分子的次数大于或等于分母的 次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的
x－1
x
2
3次数时，我们称之为“真分式”．如：
，
这样的分式就是假分式；再如：
，
x＋1x－1x＋1
2x
这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式(即：整 式与真分式的和
x
2
＋1
的形式)．
x－1（x＋1）－2
2
如：＝＝1－；
x＋1x＋1x＋1
x< br>2
－1＋1（x＋1）（x－1）＋1
x
2
1
再如：＝＝＝x ＋1＋.
x－1x－1x－1x－1
解决下列问题：
2
(1)分式是________分式(填“真”或“假”)；
x
x－1
(2)假分式可化为带分式________的形式；
x＋2
2x－1
(3)如果分式的值为整数，那么x的整数值为________．
x＋1
教师详解详析
1．C
2．解：分式：①③⑤⑥.整式：②④.
3．0 －2 －2 [解析] 分式有意义的条件是分母不等于0，分式无意义的条件是分
母等于0.
x＋2
x
4．≠5 ＝1 [解析] 有意义，则x－5≠0，解得x≠5；分式无意义，则x－1
x－5x－1
＝0，解得x＝1.
x＋2
5．解：(1)要使有意义，
2x－3
3
则2x－3≠0，解得x≠
，
2
x＋2
3
即当x≠时，有意义．
2
2x－3
6（x＋3）
(2)要使有意义，则
|x|－12
|x|－12≠0，解得x≠±12，
6（x＋3）
即当x≠±12时，有意义．
|x|－12
x＋6
( 3)要使
2
有意义，则x
2
＋1≠0，
x＋1
x＋6
x取任意实数时，
2
均有意义．
x＋1
6．0 0 x＝2 [解析] 分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0.
7．x＝y且x≠1 [解析] 由题意，得x－y＝0且x－1≠0，解得x＝y且x≠1.
8．B
2a－1
11
9．解：(1)∵分式的值为0，∴2a－1＝0且a ＋2≠0，解得a＝.∴当a＝时，
22
a＋2
2a－1
分式的值为0.
a＋2
|a|－1
(2)∵分式
2
的值为0，∴|a|－1＝0且a
2
＋1≠0，解得a＝±1.∴当a＝±1时，分 式
a＋1
|a|－1
的值为0.
a
2
＋1
|a| －1
(3)∵分式的值为0，∴|a|－1＝0且a－1≠0.解得a＝－1.∴当a＝－1时，分式< br>a－1
|a|－1
的值为0.
a－1
10．(1)bm (2)3y (3)x
11．A
12．C
－x－x
x
13．A [解析] ＝＝.故选A.
－x－y－（x＋y）x＋y
5×10x10×5x
14．A [解析] 分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，得＝
10x＋10y10（x＋y）
＝
5x
，可见新分式与原分式的值相等．故选A.
x＋y
15．x≠－1且x≠0 [解析] 当x≠－1时，等号左边的分式有意义．分式的分 子、分
母同时乘(或除以)的相同的数或整式不能为0，故x≠0.
x＋2y
16. [解析] 要想将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，可将分式的分子、
3＋10y
0. 1x＋0.2y10（0.1x＋0.2y）x＋2y
分母同乘10，即＝＝.
0.3＋y1 0（0.3＋y）3＋10y
3x－1x
2
＋2x－3
17．解：①；②－.
x＋2x－1
18．B [解析] A项，当x＝2时，分母x－2＝0，分式无意义，故A错 误；B项，分
3
母x
2
＋1≥1，因而
2
的值一定是正数， 故B项正确；C项，当x＋1＝1或x＋1＝－1时，
x＋1
3
的值是整数，故C项错 误；D项，当x＝0时，分母x＝0，分式无意义，故D项错误．
x＋1
19．D [解析] 根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，A项，
2＋3x2＋x
6y2y54y
3
2y
3
18y
2
≠
，错误；B 项，
2
≠
2
，错误；C项，
2
≠
2
，错误 ；D项，＝
9xx27x3x
3x－3yx－y9（x－y）
2
2y
2
，正确．故选D.
（x－y）
2
2
等
x－2
20．答案不唯一，如
2v
21. [解析] 由题意，得AB两地的路程为2v km，则乙车跑完AB两地的路程需要
v－5
2v
小时．
v－5
2 b8
22．解：根据题意得－2＋a＝0，4－b＝0，解得a＝2，b＝4，故
2
＝ ＝－2.
a－ab4－8
2x＋6
2
23．解：不同意.和
2不是同一分式．
x－3x－9
理由如下：
在分式
2
中，分母x－3≠0，即x≠3.
x－3
2x＋6
在分式
2
中，分母x
2
－9≠0，即x≠±3.
x－9
∵两个分式中的x的取值范围不同，
2x＋6
2
和
2
不是同一分式．
x－3x－9
∴
24．(1)真
3
(2)1－
x＋2< br>2x－12x＋2－3
3
＝＝2－.所以当x＋1的值为3或－3或
x＋1x＋ 1x＋1
(3)0，－2，2，－4 [解析]
1或－1时，分式的值为整数．解得x＝2或x＝－4或x＝0或x＝－2.
第2课时 分式的约分
知识点 1 分式的约分
a
3
1．(1)分式中，分子与分母的公因式是________，约去公因式得________；
a
a
2
－16
(2)
2
a＋8a＋16
＝______________(分子、分母分解因式)
＝________．(约去公因式的结果)
2．下列等式中，不成立的是( )
2xy
2
y
A.
2
＝
6xy3x
x
2
－y
2
B.＝x－y
x－y
x
2
－2xy＋y
2
C.＝x－y
x－y
xyy
D.
2
＝
x－xyx－y
y－x1 －4x
2
4x
2
y
3．约分：(1)
2
＝____ ____；(2)＝________；(3)＝________．
6xyz
（x－y）< br>3
2＋4x
4．若长方形的面积是x
2
－6x＋9，长方形的长是x< br>2
－9，则长方形的宽是________．
5．将下列分式约分：
－2a（a＋b）
10a
3
bc
(1)； (2)；
－5a
2
b
3
c
2
3b（a＋b）
（a－x）
2
x
2
－25
(3)； (4)
2
.
（x－a）
3
x－10x＋25
知识点 2 最简分式
6．2017·睢宁县期中下列分式是最简分式的是( )
1－xx－1
2x4
A. B.
2
C.
2
D.
2x
x－1x－1x＋1
4x－3x
2
－1x
2
＋xy＋y
2
a
2
＋3ab3 x－y
7．下列分式：
，
4
，，，，最简分式有________个． 4x
x－1x＋yab－3b
2
3x＋y
8．下列分式中，哪些是最简分 式，那些不是最简分式？如果不是最简分式，请你将其
化成最简分式．
x＋y2x－ym2
－2m＋1
1
(1)；(2)
22
；(3)
2
；(4).
2ab
x＋yy－4x
2
1－m
2
知识点 3 分式的化简求值
x
2
－1
9．若x＝2019，则的值是________．
x＋ 1
10．化简
m
2
－16
3m－12
得_________ _____；当m＝－1时，原式的值为__________．
11．若x
2
＋x －2＝0，则
5
x
2
＋x－1
的值为________．
．若a＝2b≠0，则
a
2
－b
2
12
a
2
－ab
的值为________．
13．先化简，再求值：
mn＋n
2
(1)
m
2
－n
2
，其中m＝3，n＝4；
(2)
x
2
－4
x
2
＋4x ＋4
，其中x＝3.
14．化简16a
2
－b
2
4a＋b
时，小明、小华两位同学的化简过程如 下：
小明：
16a
2
－b
2
（4a＋b）（4a－b）< br>4a＋b
＝
4a＋b
＝4a－b；
小华：
16a
2
－b
2
4a＋b
＝
（16a
2
－b
2）（4a－b）
（4a＋b）（4a－b）
＝4a－b.对于他俩的解法，你的看法是(
A．都正确
B．小明正确，小华不正确
)
C．小华正确，小明不正确
D．都不正确
15．已知x
2
－3x＋1＝0，则
x
的值是( )
x－x＋1
2
11
A. B．2 C. D．3
23
ax
2
－25ay
2
16．分式化为最简分式 为__________．
bx－5by
x－3y
17．若2x＋3y＝0，则＝________．
x＋3y
2x－5xy－2y
18．已知x－y＝xy，则分式的值是________． < br>y－2xy－x
19．指出下列解题过程是否存在错误，若存在，请加以改正并写出正确的答案．
x
2
－1
题目：当x为何值时，分式有意义？
（x＋1）（x－2 ）
x
2
－1（x－1）（x＋1）x－1
解：＝＝.
（x＋1）（x－2）（x＋1）（x－2）x－2
由x－2≠0，得x≠2.
x
2
－1
所以当x≠2时，分式有意义．
（x＋1）（x－2）
20．2017·东台市月考约分：
2a（a－1）（x＋y）
2
－10（x＋y）＋25
(1)
2
； (2).
8ab（1－a）（x＋y）
2
－25
2x
2
－2y
2
1
21． 已知x＋y＝2，x－y＝
，求
2
的值．
2
x＋2xy＋y
2
22．请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式．
x
2
－4xy＋4y
2
；x
2
－4y
2
； x－2y.
23．“约去”指数：
3
3
＋1
3
3＋15
3
＋2
3
5＋2
如
3
＝
，
＝
，…
3＋2
3
3＋25
3
＋3
3
5 ＋3
你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然
a3
＋b
3
a＋b
正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想 ：
3
＝
，
a＋（a－b）
3
a＋（a－b）
试说明 此猜想的正确性．[供参考：x
3
＋y
3
＝(x＋y)(x
2
－xy＋y
2
)]
教师详解详析
（a－4）（a＋4）a－4
1．(1)a a
2
(2)
（a ＋4）
2
a＋4
x
2
－y
2
（x＋y）（x－y）
2．B [解析] 因为＝＝x＋y，故知选项B不成立，因此选B.
x－yx－y
1－2x
2x1
3．(1) (2)－
2
(3)
3yz2
（x－y）
4x
2
y2x
[解析] (1)
2
＝；
6xyz3yz
y－x－（x－y）
1
(2)；
3
＝3
＝－
（x－y）（x－y）（x－y）
2
1－4x
2
（1＋2x）（1－2x）1－2x
(3)＝＝.
2
2＋4x2（1＋2x）
x－3x
2
－6x＋9（x－3）
2
x－3
4. [解析]
2
＝＝.
x＋3x－9（x＋3）（x－3）x＋3
10a
3bc2a
5．解：(1)
232
＝－
2
.
bc
－5abc
－2a（a＋b）
2a
(2)＝－.
3b
3b（a＋b）
（a－x）
2
（x－a）
2
1
(3 ).
3
＝
3
＝
（x－a）（x－a）x－a
x
2
－25（x＋5）（x－5）x＋5
(4)
2
＝＝.
x－10x＋25（x－5）
2
x－5
6．C
x
2
－1x
2
－1x
2
－14x－3
1
7．4 [解析] < br>4
＝＝
2
，故
4
不是最简分式；
，
224x
x－1（x－1）（x＋1）x＋1x－1
x
2
＋xy＋y
2
a
2
＋3ab3x－y
，，
是最简分式．
x＋yab－ 3b
2
3x＋y
8．解：(1)(2)是最简分式；(3)(4)不是最简分式．
2x－y2x－y
1
(3)
2
＝＝－；
2y－4x－（2x－y）（2x＋y）2x＋y
m
2
－2m＋1（m－1）
2
m－1
(4)＝＝－.
1－m
2
－（m＋1）（m－1）m＋ 1
x
2
－1（x＋1）（x－1）
9．2018 [解析] ＝＝x－1＝2019－1＝2018.
x＋1x＋1
m＋4m
2
－16（m＋4）（m－4）m＋4
10. 1 [解析] ＝＝.当m＝－1时，原式＝
33
3m－123（m－4）
－1＋4
＝1.
3
11．5 [解析] ∵x
2
＋x－2＝0，
5
∴x
2
＋x＝2，∴原式＝＝5.
2－1
a
2
－b
2
（a＋b）（a－b）a＋b2b＋b
33
12. [解析] ∵a＝2b≠0，∴
2
＝＝＝＝.
2a2b2
a－aba（a－b）
mn＋n
2
n（m＋n）
n
13．解：(1)
2
＝＝.
2
m－n（m＋n）（m－n）m－n
4
当m＝3，n＝4时，原式＝＝－4 .
3－4
x
2
－4（x＋2）（x－2）x－2
(2)
2
＝＝.
x＋4x＋4（x＋2）
2
x＋2
1
当x＝3时，原式＝.
5
14．B
15．A [解析] ∵x
2
－3x＋1＝0，∴x
2
＝3x－1，
x1
∴原式＝＝.
3x－1－x＋1
2
a（x＋5y）
16.
b
a（x2
－25y
2
）a（x－5y）（x＋5y）a（x＋5y）
[解析] 原式＝＝＝.
b
b（x－5y）b（x－5y）
17．－3 [解析] 由已知2x＋3y＝0，得3y＝－2x，则
x－3yx－（－2x）
3x
＝＝＝－3 .
x＋3yx－2x－x
2x－5xy－2y2（x－y）－5xy2xy－5xy
18．1 [解析] ＝＝＝1.
y－2xy－x－（x－y）－2xy－xy－2xy
19．[解析] 已知中没有明确指出x ＋1≠0，故x＋1仍有可能为0，所以原式的分子、
分母不能同时除以x＋1，这是产生错误的根源．
解：存在错误，分式的分子、分母同除以可能为零的代数式(x＋1)，扩大了x的取值
范围．
正解：由(x＋1)(x－2)≠0，
得x＋1≠0且x－2≠0，所以x≠－1且x≠2.
x
2
－1
即当x≠－1且x≠2时，分式有意义．
（x＋1）（x －2）
2a（a－1）
1
20．解：(1)
2
＝－
2
.
4b
8ab（1－a）
（x＋y）
2
－10（x＋y）＋25
(2)＝
（x＋y）
2
－25
[（x＋y）－5]
2x＋y－5
＝.
[（x＋y）＋5][（x＋y）－5]x＋y＋5
21．[解析] 先化简，再将已知条件整体代入即可．
2x
2
－2y
2
2（x＋y ）（x－y）2（x－y）
解：
2
＝
，
2
＝
x＋ 2xy＋y（x＋y）
2
x＋y
2（x－y）
1
将x＋y＝2，x－ y＝代入
，
2
x＋y
1
2×
2
1
得原式＝＝.
22
x
2
－4xy＋4y
2
（x－2y）
2
x－2y< br>22．解：答案不唯一，如＝＝.
22
x－4y（x＋2y）（x－2y）x＋2y< br>a
3
＋b
3
23．证明：∵
3
a＋（a－b）
3
（a＋b）（a
2
－ab＋b
2
）
＝
（a＋a－ b）（a
2
－a
2
＋ab＋a
2
－2ab＋b
2< br>）
（a＋b）（a
2
－ab＋b
2
）
＝
（a＋a－b）（a
2
－ab＋b
2
）
a＋b
，
a＋（a－b）
＝
a
3
＋b
3
a＋b
∴< br>3
正确．
3
＝
a＋（a－b）a＋（a－b）
12.2 第1课时 分式的乘法
知识点 分式的乘法
（ ）
x
2
y
（ ）·
1．(1)·＝＝________；
yx
（ ）·（ ）
（ ）
x
x－2（ ）·
(2)·
2
＝＝________．
x－2
x
（ ）·（ ）
a
2
2b
2
2．计算
3
·
2
的结果是( )
b3a
2a2b22
A. B. C. D.
33b3b
x
2
－y
2
2x－ 6
3．计算
2
·的结果是( )
x－6x＋9x＋y
x－y2x－2y2x－y
2
A. B. C. D.
x－3x－3x－3x－3
4．下列计算中错误的是( )
8y
2
3x2
A.
2
·
3
＝
3x4yxy
x
2
－4x＋3x－2
B.
2
·＝
x－6x＋9x＋2x＋3
x
2
－4xx＋3
C.·＝x
x＋3x－4
3x2y6xy
D.·＝
2
x－yx－yx －2xy＋y
2
2x＋2y
10ab
2
5．化简·
22的结果为________．
5a
2
b
x－y
22
2 a
a－b
1
6．计算：··＝________．
a＋b
2ab< br>a－b
2x＋2y
10ab
2
7．化简·
22
·a( x－y)的结果为________．
5a
2
b
x－y
－m
2
n－6xy
8．计算：(1)·；
3x5mn
2
x－2x
2
－9
(2)·.
x＋3x
2
－4x＋4
2
m
2
?
np
?
9．计算：
2
·
?
－
2m
?
＝________．
np
xy
2
x
2
10．计算：(1)(－)·(－)·；
yxy
x＋1
2x
2
(2)·().
x
x＋1
2x＋y
11．已知x－3y＝0，求
2
·(x－y)的值．
x－2xy＋y
2
12．请你先化简，再从－1，0，1，2中选取一个使原式有意义且你又喜欢的数代入求
m
3
－m
2
m＋1
值：
2
·.
m－m1－m
2
11
13．在学习了分式的乘法之后，老师给出了这样一道题，计算：( a＋)(a
2
＋
2
)(a
4
＋
aa
18
11
(a
2
－1)，同学们都感到无从下手，小明将a
2－1变形为a(a－)，然后用平方差
4
)(a＋
8
)·
aaa
公式很轻松地得出结论．知道他是怎么做得吗？请你写出解题过程．
教师详解详析
1．(1)x
2
y y x x
1
(2)x x－2 x－2 x
2
x
2．D
（x＋y）（x－y）2（x－3）2x－2y
3．C [解析] 原式＝·＝.故选C.
（x－3）
2
x＋yx－3
x
2
－4x＋3
4．B [解析]
2
·
x－6x＋9x＋2
（x－2）（x＋2）x＋3
·
（x－3）
2
x＋2
＝
（x－2）（x＋3）x
2
＋x－6
＝＝
2
.
（x－3）
2
x－6x＋9
5.
4b
ax－ay
12a
（a＋b）（a－b）
11
6. [解析] 原式＝··＝.
b2ab
a＋ba－b
b
2（x＋y）
10ab< br>2
7．4b [解析] 原式＝··a(x－y)＝4b.
5a
2
b
（x＋y）（x－y）
－m
2
n－6xy（－m
2
n）（－ 6xy）
6m
2
nxy2my
8．解：(1)·＝＝＝.
3x5m n
2
3x·5mn
2
15mn
2
x5n
x－2（x ＋3）（x－3）x－3
(2)原式＝·＝.
x＋3（x－2）
2
x－2
mp
9．－
2n
xy
2
x
2
x
3
y
2
10．解：(1)原式＝ －·
2
·＝－
22
＝－x.
yxyxy
x＋1
4x
2
4x
(2)原式＝·.
2
＝
x
（x＋1）x＋1
2x＋y2x＋y6y＋y11．解：原式＝·(x－y)＝.当x－3y＝0时，x＝3y，所以原式＝
（x－y）
2
x－y3y－y
7y7
＝＝.
2y2
12．[解析] 原式有意义时，m不等于－1，0，1.
m
3
－m
2
m＋1m2
（m－1）m＋1
m
解：
2
··＝
，要使原式有意义 ，只
2
＝
m－m1－mm（m－1）（1－m）（1＋m）1－m
能取m＝2 ，将m＝2代入
m
1－m
得其值为－2.
13．解：原式＝a(a－
1
a
)(a＋
1
a
)(a
2
＋
1
a
2
)(a
4
＋
11
a
4
)(a
8
＋
a
8
)
＝a(a
2
－
1
a
2
)(a
2
＋
1
a
2
)(a
4
＋
11
a
4
)(a
8
＋
a
8)
＝a(a
4
－
111
a
4
)(a
4
＋
a
4
)(a
8
＋
a
8
) < br>＝a(a
8
－
1
a
8
)(a
8
＋< br>1
a
8
)
＝a(a
16
－
1
a
16
)
＝a
17
－
1
a
15
.
第2课时 分式的除法
知识点 1 分式的除法
1．(1)
x
y
÷
1
x
＝
x
y
·________＝_ _______；
(2)
1
x－1
÷
x1
x
2< br>－1
＝
x－1
·________＝________．
2．2018·藁城模拟 若
3－2x
x－1
÷( )＝
1
x－1
，则( )中的式子为( )
1
A．－3 B．3－2x C．2x－3 D.
3－2x
3．计算：
3x－6x＋22x－x
2
(1)
2
÷
2
； (2)÷(x
2
－4)．
x
x－4x＋4x＋4
x
2
－2xy＋y
2
x
2
4．化简：( xy－x)÷÷.
xy
x－y
2
5．上海到北京的航线全程为s千米，乘飞机需要a小时．而上海到北京的铁路全长为
m千米，乘火车 需要b小时．那么飞机的平均速度是火车的平均速度的多少倍？
知识点 2 分式的乘除混合运算
ab
6．计算a÷·的结果是( )
ba
1b
2
A．a B．a C.
2
D.
aa
2
1
7．下列式子计算后的结果等于
3
的是( )
a
1
1
2
?
2
÷a
A．a·
2
÷a
2
B．a÷
?
?
a
?
a
1
1
2
?
2
·a
C．a÷
2
·a
2
D．a÷
?
?
a
?
a
3xx
2
y
8．计算：(1)8xy·(－
3
)÷(－)；
4y2
24
b
2
aa
2
(2)÷·.
a＋ba
2
－b
2
a－b
x＋3x＋5
9．使式子÷有意义的x的值是( )
x－3x－4
A．x≠3且x≠－5
B．x≠3且x≠4
C．x≠4且 x≠－5
D．x≠3，x≠4且x≠－5
x
3
x
5
x< br>7
x
9
10．2018·邢台期末 给定一列分式：
，－
2
，
3
，－
4
……(其中x≠0)，用任意一个
yyyy分式做除数，去除它后面一个分式得到的结果是________；根据你发现的规律，试写出第
9 个分式________．
11．许老师讲完了分式的乘除一节后，给同学们出了这样一道题：若x＝ －2019，求
x
2
－4x
2
－2x
1
代数式2
÷
32
·的值．一会儿，小明说：“老师，这道题目中的x＝－2019
x＋x＋1x＋x＋xx＋2
是多余的．”请你判断小明的说法是否正确．
?
－
8mn
?
”时，由 于不小心，12．小明在做习题“计算：16mn·()÷“”处的代数
3
??
223
式被污损看不清楚了，他翻开书，得知后面的答案为“
________．
5m
”，则“
n
2
”处的代数式为
教师详解详析
x
2
－1x＋1
x
2
1．(1)x (2)
yxx
3－2x
1
2．B [解析] ∵÷( )＝
，
x－1x－1
3－2x
1
3－2x
÷＝×(x－1)＝3－2x.
x－1x－1x－1
∴
∴( )中式子为3－2x.
3（x－2）（x＋2）
2
3．解：(1)原式＝·＝3.
（x－2）（x ＋2）x＋2
2x－x
2
x（2－x）
111
(2)原式＝·
2
＝·＝－.
xx
x－4（x＋2）（x－2）x＋2
x－y
x y
4．解：原式＝－x(x－y)··＝－y.
x
2
（x－y）
2
smsbbs
5．解：÷＝·＝.
abamam
bs
答：飞机的平均速度是火车的平均速度的倍．
am
bbb
2
6．D [解析] 原式＝a··＝.
aaa
111
4
?
1
2
·
1
2
?
＝a ÷
1
4
＝a·7．A [解析] A项，原式＝·
2
＝
3< br>，符合要求；B项，原式＝a÷a
?
aa
?
aaaa
＝a5
，不符合要求；C项，原式＝a·a
2
·a
2
＝a
5
，不符合要求；D项，原式＝a÷1＝a，不符
合要求．
3x2
8．解：( 1)原式＝8x
2
y
4
·(－
3
)·(－
2
)＝12x.
4yxy
b
2
（a＋b）（a－b）
a
2
(2)原式＝··＝ab
2
.
a
a＋ba－b
9．D [解析] 由题意，得x－3≠0，x－4≠0，x＋5≠
0，解得x≠3，x≠4，x≠－5.
x
2
x
19
10．－
9
yy
11．解：小明的说法正确．
x
2
－4x
2
－2x
1
因为
2
÷
3
·＝
2
x＋x＋1 x＋x＋xx＋2
（x＋2）（x－2）x（x
2
＋x＋1）
1
·· ＝1，
x
2
＋x＋1x（x－2）x＋2
即当x≠0且x≠±2时，分式的 值都是1，所以小明的说法是正确的．
5m
2
12．－
6n
23
8m
2
n
3
?
－8m
2
n
3·5m
5m
?
8mn
?
15m
2
2
5 m
?
[解析]
2
·
?
－
3
?
÷ 16mn＝
2
·
?
－
3
?
·＝＝－.
n n16mn
2
3×16mn
2
·n
2
6n
12.3 第1课时 分式的加减
知识点 1 同分母分式的加减
12
（ ）＋（ ）
1．(1)＋＝＝________；
aaa
a＋3a－1（ ）－（ ）
(2)－＝＝________；
a＋2a＋2a＋2
（ ）
a5a
(3)＋＝－________＝＝________．
a－55－aa－5a－5
3x3
2．2017·大连 计算的结果是( )
2
－
（x－1）（x－1）
2
x133
A. C. D.
2
B.
（x－1）x－1x－1x＋1
3．下列计算正确的是( )
111
A.＋＝
aa2a
11
B.＋＝0
（a－b）
2
（b－a）
2
m－nm＋n
C.－＝0
aa
11
D.＋＝0
a－bb－a
4．计算：
2a－1
1
(1)＋＝________；
aa
x
2
4
(2)＋＝________；
x－22－x
a＋b
ab
(3)－－＝________．
a－b b－aa－b
a－2
1
5．填空：
2
＋________＝
2
；
a－1a－1
________－
34
＝.
2xy 2xy
x
2
y
2
6．2018·宣化模拟若y＝－x＋3，且x≠y ，则＋的值为________．
x－yy－x
2x
3x－2
7．计算：(1)－；
x－2x－2
a
2
－14a－5
(2)
2
＋.
a－2a2a－a
2
知识点 2 分式的通分
8．将分式
1ab
a＋b< br>，
a
2
－b
2
，
b－a
通分时，应选的公分 母是(
A．(a
2
－b
2
)(a＋b)(a－b) B．(a
2
－b
2
)(a＋b)
C．(a
2
－b
2
)(b－a) D．a
2
－b
2
9．将
b
3a
，－ab
2c
通分可得__________．
10．通分：
(1)a
2b
，
2
－
5a
2
b
2
1
1
c
； (2)
x
2
－x
，
x
2
－2x＋1
.
知识点 3 异分母分式的加减
11．(1)
11
（ ）a＋b
a
＋
b
＝
ab
＋
a
（ ）
＝
（ ）
；
(2)
11
（ x－1
x－1
－
x
＝
）
x（x－1）
－
（ ）
＝
1
（ ）
.
12．分式
11
x
＋
x（x－1）
的化简结果为( )
)
11x
A．x B.
2
C. D.
x
x－1x－1
22
ab
a＋b
13．化简－－的结果是( )
baab
22b2b
A．0 B．－ C．－ D.
baa
a4
14．计算：－
2
＝________．
a＋2a＋2a
15．某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树m棵，实际每小 时
植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10棵，那么实际比原计划提前了________小时完< br>成任务．(用含m的代数式表示)
16．下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．
x－6
2
解：－
2
x＋2x－4
2（x－2）x－6
－…第一步
（x＋2）（x－2）（x＋2）（x－2）
＝
＝2(x－2)－x＋6…第二步
＝2x－4－x＋6…第三步
＝x＋2.…第四步
小明的解法从第__________步开始出现错误，正确的化简结果是__________．
a＋bb＋c
17．计算：(1)－；
abbc
28
(2)－
2
；
x－2x－4
x
2
－2x＋1
2
(3)
2
＋.
x－1x＋1
abc
18．计算：＋＋＝________．
a＋b－cb－c＋ac－a－b< br>1
19．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用
v的速
2
度到达中点，再用2v的速度到达B地，那么下列结论中正确的是( )
A．甲、乙同时到达B地
B．甲先到达B地
C．乙先到达B地
D．谁先到达B地与速度v有关
3x－5
ab
20．已知＝＋
，则 a
2
＋b
2
的值是________．
（x－3）（x＋1）x－ 3x＋1
21．某水果店原来苹果的进价为a元/千克(a＞2)，每千克加价2元售出，现在苹果的< br>进价上涨了b元/千克，该水果店打算在原零售价的基础上再上涨b元/千克，那么：
(1)原来苹果的利润率是多少？
(2)现在苹果的利润率是多少？
(3)苹果的利润率是提高了还是降低了？
11
22．(1)计算＋的值；
1－x1＋x
(2)通过以上计算请你用一 种你认为比较简便的方法计算m的值：m＝
24
.
2
＋
1＋x1＋x
4
11
＋＋
1－x1＋x
111
23．教材复习题B组第2 题变式我们把分子为1的分数叫做单位分数，如
，，，…，
234
11111111< br>任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如＝＋
，
＝＋
，
＝
236341245
1
＋
，…
20111
(1)根据对上述式子的观察，你会发现＝＋
，请写出□，○所表示的数(□＜○) ；
5
□○
111
(2)进一步思考，单位分数＝＋
，( n是不小于2的正整数)请写出△，☆所表示的
n
△☆
式子(△＜☆)，并对等式加以 验证．
教师详解详析
34
1．(1)1 2 (2)a＋3 a－1
a
a＋2
5
(3) a－5 1
a－5
2．C
112112
3．D [解析] ＋＝
，故A选项错误；，故B选
2
＋
2
＝
aaa
（a－b）（b－a）（a－b）
2
m－nm ＋n（m－n）－（m＋n）
2n111
项错误；－＝＝－
，故C选项错误；
＋＝
aaaa
a－bb－aa－b
－
1
＝0，故D选项正确．
a－b
2a
4．(1)2 (2)x＋2 (3)
a－b
a－3a－2a－2－1a－3
71437
[解析]
2
－
2
＝
2
＝
2
；＋＝.
2< br>a－1
2xy
a－1a－1a－1a－1
2xy2xy2xy
5.6．3 [解析] 由y＝－x＋3，得x＋y＝3，
x
2
－y
2（x＋y）（x－y）
x
2
y
2
原式＝－＝＝＝x＋y＝3.
x－yx－yx－yx－y
2x－（3x－2）－x＋2
7．解：(1)原式＝＝＝－ 1.
x－2x－2
a
2
－1－4a＋5（a－2）
2
a－ 2
(2)原式＝＝＝.
a
a
2
－2aa（a－2）
8．D
2bc3a
2
b
9.
，－
6ac6ac
[解析] ∵两个分式的分母分别为3a，2c，
∴各系数的最小公倍数为3×2＝6.
又∵a，c的最高次数为1，
∴最简公分母为6ac.
bab2bc3a
2
b
将
，－< br>通分可得
，－
.
3a2c6ac6ac
a5a
3
bc24
10．解：(1)＝.
22
，
22
＝
2b10abc5abc10a
2
b
2
c
x－1－1
1x
(2)
2
＝
，
＝－.
22
x－xx（x－1）x－2x＋1x（x－1）
2
11．(1)b ab ab
(2)x x(x－1) x(x－1)
x－1x－1＋1
1x1
12．C [解析] 原式＝＋＝＝＝.
x（x－ 1）x（x－1）x（x－1）x（x－1）x－1
a
2
－b
2
－a
2
－b
2
2b
13．C [解析] 原式＝＝－.
aba
a－2a
2
－4
a4a4a
2
4
14. [解析] －＝－＝－＝
a
a＋2a
2
＋2aa＋2a（a＋2）a（a＋2）a（a＋ 2）a（a＋2）
（a＋2）（a－2）a－2
＝＝.
a
a（a＋2）
240（m＋10）
24m
[解析] 根据题意， 得－＝－＝
m
m＋10m（m＋10）m（m＋10）m（m＋10）
15.
2400
.
m（m＋10）
x－6
12
[解析] －
2
x－2x＋2x－4
16．二
＝
2（x－2）x－6
－
（x＋2）（x－2）（x＋2）（x－2）2（x－2）－（x－6）2x－4－x＋6
＝
（x＋2）（x－2）（x＋2）（x－2）
x＋2
1
＝.
（x＋ 2）（x－2）x－2
＝
＝
1
于是可得，小明的解法从第二步开始出现错误， 正确的化简结果是.
x－2
c（a＋b）a（b＋c）（ac＋bc）－（ab＋ ac）bc－abc－a
17．解：(1)原式＝－＝＝＝.
abcabcabcabcac
2（x＋2）2（x＋2）－8
8
－＝＝
（x－2）（x＋2）（x－2）（ x＋2）（x－2）（x＋2）
(2)原式＝
2（x－2）
2
＝.
（x－2）（x＋2）x＋2
（x－1）
2
x－1x＋1
22
(3) 原式＝＋＝＋＝＝1.
（x＋1）（x－1）x＋1x＋1x＋1x＋1
a＋b－c
abcabc
＋＋＝＋－＝＝
a＋b－cb－c＋ac－a－ba＋b－ca＋b－ca＋b－ ca＋b－c
18．1 [解析]
1.
19．B [解析] 设从A地到B地的距 离为2s，因为甲的速度v保持不变，∴甲所用的
2s1
时间为.∵乙先用v的速度到达中点， 再用2v的速度
v2
ss2ss2s
到达B地，∴乙所用的时间为＋＝＋>
，∴甲先到达B地．故选B.
12vv2vv
v
2
（a＋b）x＋（a－3 b）3x－5
ab
＋＝＝
，所以
x－3x＋1（x－3）（x＋1）（x－3 ）（x＋1）
20．5 [解析]
?
a＋b＝3，
?
a＝1，解得
?
所以a
2
＋b
2
＝5.
?
?
a－3b＝－5，
?
b＝2，
2
21．解：(1)原来苹果的利润率 是.
a
2＋b
(2)现在苹果的利润率是.
a＋b
2＋b
2
ab－2bb（a－2）
(3)－＝＝＞0，
a＋b
a
a（a＋b）a（a＋b）
因此苹果的利润率提高了．
1＋x＋1－x
2
22．解：(1)原式＝＝.
2
1－x1－x
2
(2)原式＝
224448
.
2
＋
2
＋
4
＝
4
＋
4
＝
1－x1＋x1＋x1－x1＋x1－x
8
111
23．解：(1)＝＋
，
5630
所以□＝6，○＝30.
(2)△＝n＋1，☆＝n(n＋1)，
111
可得＝＋
，
n
n＋1n（n＋1）
n＋1
n11
＋＝＝＝左边，所以等式成立．
n（n＋1）n（n＋1）n（n＋1）
n
右边＝
12.3 第2课时 分式的混合运算
知识点 1 分式的加减运算
11
1．化简－的结果是( )
x＋1x－1
222x2x
A.
2
B．－
2
C.
2
D．－
2
x－1x－1x－1x－1
x－6
2x
2．化简
2
－
2
的结果为( )
x＋2xx－4
x－6
111
A.
2
B.
2
C. D.
x－4x＋2xx－2x－2
3．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地到乙地按每小时v千米的速度行驶，可按时到
达；若每 小时多行驶a千米，则可提前________小时到达(填写最简结果)．
x1
4．计算：(1)
2
－；
x－42x－4
9
(2)－x－3；
x－3
1x1
(3)－＋
2
.
x
x－1x－x
知识点 2 分式的混合运算
yx
5．(1)计算 －÷a时，应先算________法，得________，再算________法，结果为
ay< br>________．
b
2
a
(2)计算(a－)·时，应先算___ _____法，得________，再算________法，结果为
a
a－b
__ ______．
1
?
x－4
?
1－
6．化简
2< br>÷的结果是( )
x－9
?
x－3
?
11
A．x－4 B．x＋3 C. D.
x－3x＋3
5
2m－4< br>7．当m＝－5时，分式
?
m＋2－
m－2
?
·
??
3－m
的值是________．
a4
8．计算：÷(1＋
2
)＝________．
a－2a－4
x1
9．计算：(1)
?
x－1
－
x
2
－x
?
÷
??
(x＋1)；
a1
a－1
(2)
?
a ＋2
＋
a
2
－4
?
÷
??
a＋2
；
a－ba
2
－b
2
(3)÷－1.
a＋2ba
2
＋4ab＋4b
2
5
2a－4
10．计算：(1)(a＋2－)·；
a－23－a
4x
2
－4x＋1
x
2
(2)(－x＋1)÷.
x－11－x
5
2m－4
1
11．2017·南通 先化简，再求值：
?
m＋2－
m－2
?
·
，其中m＝－
.
2
??
3－m
ab
12．先化简，再求值：
?
a－b
－1
?
÷
22
，其中a＝1＋π，b＝1－π.
??
a－b
1
1
?
13．计算
?< br>1－
1－a
?
?
?
a
2
－1
?的结果为( )
??
a＋1a－1a＋1
a
A．－ B. C. D.
aa
1－a1－a
14．一项工作，甲单独完成需a小时，乙单独完成需b小时，则甲、乙两人合作完成
需要( )
11
?
1
＋
小时 B.小时 A.
?
?
ab
?
ab
1ab
C.小时 D.小时
a＋ba＋b
2x＋3xy－2y
11
15．教材复习题C组第1 题变式已知－＝5，则分式的值为( )
xy
x－2xy－y
1313
A．1 B．5 C. D.
73
a＋3
3a
16．(1)化简：(＋
2
)÷；
a＋1a－1a－1
(2)若(1)中a为正整数，分式的值也为正整数，请直接写出所有符合条件的 a的值．
1
x－4x＋4
17．教材习题A组第2题变式先化简
?
1－
x－1
?
÷< br>2
??
x－1
，再从不等式2x－1＜6的
正整数解中选一个适当的数 代入求值．
2
18．若
5x＋4
AB
＝＋
，求A，B.
x＋x－2x－1x＋2
2
2233
19．在数学运算中，同学们 发现一类特殊的等式．例如：2＋＝2×
，3＋
＝3×
，4
1122
4455
＋＝4×
，5＋
＝5×
，…
3344
(1)特例验证：请再写出一个具有上述特征的等式：________．
(2)猜想结论：用含n(n为正整数)的式子表示上述等式为：________．
(3)证明推广：(2)中的等式一定成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由．
教师详解详析
1．B [解析]
x－1x＋1
11
－ ＝－＝
x＋1x－1（x＋1）（x－1）（x＋1）（x－1）
x－1－x－1－2
2
＝＝－
2
.
（x＋1）（x－1）（x＋1）（x－1）x－1
x－62（x－2）－（x－6）
2
－＝＝
x＋2（x＋2）（x－2）（x＋2）（ x－2）
2．C [解析] 原式＝
x＋2
1
＝.
（x＋2）（x－2）x－2
3.
sv＋sa－sv
sasssa
[解析]
v
－＝＝.
v（v＋a）v＋av（v＋a）v（v＋a）
2x －（x＋2）
1
4．解：(1)原式＝＝.
2（x＋2）（x－2）2x＋4
9－（x＋3）（x－3）18－x
2
(2)原式＝＝.
x－3x－3
x－1
x
2
1
(3)原式＝－＋
x（x－1）x（x－1）x（x－1）
x－1－x
2
＋1
＝
x（x－1）
－x（x－1）
x（x－1）
＝
＝－1.
y
2
－x
yx
5．(1)除 － 减
aayay
a
2
－b
2
a
(2)减 · 乘 a＋b
a
a－b
1
?
x－4
?
x－4x－3－1 x－4x－3
1－
÷＝÷＝·
x－3
?
（x＋3）（x－3）x－3 x
2
－9
?
（x＋3）（x－3）x－4
6．D [解析]
＝
1
.
x＋3
m
2
－4－52（m－2）（m＋ 3）（m－3）2（m－2）
7．4 [解析] 原式＝·＝·＝－2(m
m－2－（m－3）（m－2）－（m－3）
＋3)．当m＝
－5时，原式＝－2×(－5＋3)＝－2×(－2)＝4.
2< br>a＋2
a
a－4＋4
a
（a＋2）（a－2）a＋2
8. [解析] 原式＝÷
2
＝·＝.
aa
2
a
a－2a－4a －2
2
x1
x－1
111
9．解：(1)原式＝
?
x（x－1）
－
x
2
－x
?
·＝·＝.
??x＋1x（x－1）x＋1
x
a－2a
1a＋2（a－1）a＋2
??< br>·
＋
(2)原式＝
?
＝·＝
?
?
（a＋2） （a－2）（a＋2）（a－2）
?
a－1（a＋2）（a－2）a－1
a－1
.
a－2
a－b（a＋2b）
2
a＋2ba＋2b－（a＋b）
b
(3)原式＝·－1＝－1＝＝.
a＋2b（a＋b）（a－b）a＋ba＋ba＋ba
2
－4－52a－4
(
a＋3
)(
a－3
)
2
(
a－2
)
10．解：(1)原式＝·＝·＝－2(a＋3)＝－ 2a－6.
a－23－aa－23－a
x
2
－（x
2
－2 x＋1）（2x－1）
2
2x－11－x
1
(2)原式＝÷＝·.
2
＝－
x－11－xx－1（2x－1）2x－1
5
?
2m－4m< br>2
－4－52（m－2）
?
11．解：
m＋2－
m－2
·＝·＝－
??
3－mm－23－m
（m＋3）（m－3）2（m－2）
· ＝－2(m＋3)．
m－2m－3
1
把m＝－代入，得
2
1
－＋3
?
＝－5. 原式＝－2×
?
?
2
?
a
b
12．解：
?
a－b
－1
?< br>÷
22
??
a－b
（a＋b）（a－b）
?
a
－
a－b
?
·
?
b
?
a－ba－b
?
b
（a＋b）（a－b）
·
b
a－b
2
2
2
＝
?
＝
＝a＋b.
当a＝1＋π，b＝1－π时，
原式＝1＋π＋1－π＝2.
1－a－11－a
2
－a（1－a）（1＋a）a＋1
13．A [解析] 原式＝·
2
＝·＝－.
2
aaa
1－a1－a
a＋bab
?
1
＋
1
?
＝1÷14．D [解析] 1÷＝(时)．
?
ab
?
ab
a＋b
y－x
＝5 ，即x－y＝－5xy，则原式＝
xy
15．A [解析] 将已知等式整理，得
2（x－y）＋3xy－10xy＋3xy
＝＝1.
x－y－2xy－5xy－2xy
4a
a－1
4
·＝.
a －1
a
a＋1
2
16．解：(1)原式＝
(2)由分式的值为正整数 可得：a＋1的值为1或2或4，解得a＝0或a＝1或a＝3.因为
a为正整数，所以a≠0；当a＝ 1时，分式无意义，所以a≠1，所以a的值为3.
1
x－4x＋4x－2（x＋ 1）（x－1）x＋1
17．解：
?
1－
x－1
?
÷
2
＝.
??
x－1
＝
x－1
·
（x－2）2
x－2
7
∵2x－1＜6，∴2x＜7，∴x＜.
2
由题意，知x≠±1且x≠2，所以正整数x只能取3.
3＋1
把x＝3代入上式，得原式＝＝4.
3－2
AB
18．解：∵＋＝
x－1x＋2
A（x＋2）＋B（x－1）Ax＋2A＋Bx－B
＝＝
（x－1）（x＋2）（x－1）（x＋2）
（A＋B）x＋（2A－B）
，
x
2
＋x－2
5x＋4（A＋B）x＋（2A－B）
＝
，
x＋x－2x
2
＋x－2
2
2
∴
比较得
?
?
A＋B＝5，
?
?
A＝3，
?
2A－B＝4，< br>解得
?
?
?
B＝2.
19．解：(1)6＋
66
5
＝6×
5
.
(2) n＋1＋
n＋1
n
＝(n＋1)·
n＋1
n
.
(3)等式成立，证明如下：
左边＝
n
2
＋nn＋1n
2
＋2n＋
n
＋
n
＝
1
n
，
右边 ＝
（n＋1）
2
n
2
＋2n＋1
n
＝
n< br>.
∴左边＝右边，等式成立．
12.4 分式方程
知识点 1 分式方程的有关概念
1．下列方程不是分式方程的是( )
A.
x－3
x
＝1 B.
x1
x＋1
＋
x－1
＝1
C.
3
x
＋
4
y
＝2 D.
1
2
－
x－2
3
＝x
2．已知x＝2是分式 方程
kx2k
x－1
－
x
＝2的解，那么k的值为( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
知识点 2 解分式方程
3．2018·衡水模拟 在解分式方程
3
x＋2
x－1
＋
1－x
＝2时，去分母后变形正确的是(
)
A．3－(x＋2)＝2(x－1)
B．3－x＋2＝2(x－1)
C．3－(x＋2)＝2
D．3＋(x＋2)＝2(x－1)
12
4．2018·哈尔滨 方程＝的解为( )
2x
x＋3
A．x＝－1 B．x＝0
3
C．x＝ D．x＝1
5
x＋5
6
5．2018·安国期末 分式方程＝有增根，则增根为( )
x－1x（x－1）
A．x＝0 B．x＝1
C．x＝1或x＝0 D．x＝－5
xa
6．2017·齐齐哈尔模拟 若关于x的分式方程＝2＋的解为正数，则a的取值
x－2x－2
范围是( )
A．a＞4 B．a＜4
C．a＜4且a≠2 D．a＜2且a≠0
x＋3
的值等于2.
x－1
7．当x＝______ __时，分式
23
8．若分式与的值相等，则x＝_______________.
x－1x＋3
x3
9．在解分式方程＝2＋时，雷希同学的解法如下：
x－3x－3
解：方程两边同时乘(x－3)，得x＝2＋3，……①
解得x＝5，……②
经检验，x＝5是原方程的解．……③
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