高二数学导数北师大版-数学-八年级上册--例题与讲解-第四章 4一次函数的应用

2020年11月20日发(作者：茹欲立)
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【例题与讲解】八年级数学上册 第四章 4一次函数的
应用

1．确定一次函数表达式
(1)借助图象确定函数的表达式
先观察直线 是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为
y
＝
kx
(< br>k
≠0)；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为
y
＝
kx＋
b
(
k
≠0)；然后再观察图
象上有没有明确几个点的坐标． 对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次
函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐 标分别代入
y
＝
kx
或
y
＝
kx
＋
b
中，求出其
中的
k
，
b
，即可确定出其关系式．
(2)确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件
①由于正比例函数
y
＝
kx
(
k
≠0)中只有一个未知系数
k
，故只要一个条件， 即一对
x
，
y
的值或一个点的坐标，就可以求出
k
的值，确 定正比例函数的表达式．
②一次函数
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)有两个未知系数
k
，
b
，需要两个独立的关于
k
，
b
的条件，
求得
k
，
b
的值 ，这两个条件通常是两个点的坐标或两对
x
，
y
的值．
【例1】 如图，直线
AB
对应的函数表达式是( )．

3
A．
y
＝－
x
＋3
2
2
C．
y
＝－
x
＋3
3








3
B．
y
＝
x
＋3
2
2
D．
y
＝
x
＋3
3
解析： 设直线
AB
对应的函数表达式是
y
＝
kx
＋
b(
k
≠0)，当
x
＝0时，
y
＝3，代入得
b
33
＝3，当
x
＝2时，
y
＝0，则2
k
＋3＝0，
k
＝－，故
y
＝－
x
＋3.
22
答案：A
点技巧 用待定系数法求直线解析式
由图象观察可知该函 数为一次函数，故应设成
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)的形式，再将
A
，
B
两点
坐标代入该关系式，即可求出k
，
b
，从而确定出具体的关系式．
2．待定系数法

(1)定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的
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方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数．
(2)用待定系数法求解析式的一般步骤：
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； < br>②将
x
，
y
的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到 以待定系数为未
知数的方程或方程组；
③解方程(组)，得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式．
【例2－1】 一次函数图象如图所示，求其解析式．

分析：利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的 坐标，再用待定系数法求出
k
，
b
的值，从而确定表达式．
解：设一次函数解析式为
y
＝
kx
＋
b
，
∵一次函数图象过点(0，－2)，
∴－2＝
k
×0＋
b
，∴
b
＝－2.
∵一次函数图象过点(1,0)，
∴0＝
k
×1＋
b
，
∴
k
＝2.∴一次函数解析式为
y
＝2
x
－2.
【例2－2】 在直角坐标系中，一次函数
y
＝
kx
＋
b< br>的图象经过三点
A
(2,0)，
B
(0,2)，
C
(
m,
3)，求这个函数的表达式，并求
m
的值．
解：根据题意，得
2
k
＋
b
＝0①，
b
＝2,
km
＋
b
＝3②，
把
b
＝2代入①，得2
k
＋2＝0，即
k
＝－1；
把
b
＝2，
k
＝－1代入②，得
m
＝－1.
故函数的表达式为
y
＝－
x
＋2.
3．一次函数的实际应用
(1)通过图象获取信息
通过观察一次函数的图象获取有 用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌
握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数 图象时，首先要看横轴、纵轴分别代
表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．
释疑点 函数图象中的特殊点
观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很
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大的帮助．
(2)一次函数图象的应用 一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活
中有着广泛的应 用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部
分内容在中考中占有重要的地位 ．
谈重点 函数
y
＝
kx
＋
b
图象的变化形式
在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)的图象
就不再是一条直线．要根据实际情况进行分 析，其图象可能是射线、线段或折线等等．
【例3－1】 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠， 所挖河渠的长度
y
(m)与挖掘时
间
x
(h)之间的关系如图所示， 请根据图象所提供的信息解答下列问题：

(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了__________ m.
(2)请你求出：
①甲队在0≤
x
≤6的时段内，
y
与< br>x
之间的函数关系式；
②乙队在2≤
x
≤6的时段内，
y< br>与
x
之间的函数关系式．
(3)当
x
为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队
多挖了10 m；(2)设甲队在0≤
x
≤6的时段内
y与
x
之间的函数关系式为
y
＝
k
1
x
(
k
1
≠0)，由
图可知，函数图象过点(6,60)，∴6
k1
＝60，解得
k
1
＝10，∴
y
＝10
x< br>.设乙队在2≤
x
≤6的时
段内
y
与
x
之间 的函数关系式为
y
＝
k
2
x
＋
b
(
k
2
≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，
(6,50)，代入
y
＝
k
2
x
＋
b
，求出
k
2＝5，
b
＝20，∴
y
＝5
x
＋20.(3)由题意， 得10
x
＝5
x
＋20，
解得
x
＝4(h)．
解：(1)2 10
(2)①
y
＝10
x
.②
y
＝5
x
＋20.
(3)由题意，得10
x
＝5
x
＋20，解得
x
＝4(h)．
故当
x
为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．
【例3－2】 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备 和一个体车主或一国有出租
车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶
x
km，应付给 个体车主的月费用为
y
1
元，应付给
国有出租车公司的月费用是
y< br>2
元，
y
1
，
y
2
分别与
x
之间的函数关系图象(两条射线)如图，观
察图象回答下列问题：
(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？
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(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？

分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例
函数；两条 直线交点的横坐标为1 500；表明当
x
＝1 500时，两个函数值相等；根据图象
可知：
x
＞1 500时，
y
2
＞
y
1
；0＜
x
＜1 500时，
y
2
＜
y
1
.
解：观察图象，得：
(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；
(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；
(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．
析规律 函数图象交点规律
两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值< br>小；交点处的函数值相等．
4．一次函数和一元一次方程的关系
当一次函数
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)中的函数值为0时，可得 0＝
kx
＋
b
即
kx
＋
b
＝0，这在形式
上变成了求关于
x
的一元一次方程，也就是说，当一次函数
y
＝kx
＋
b
的函数值为0时，相
应的自变量的值即为方程
kx＋
b
＝0的解；若从图象上来看，则可看做函数
y
＝
kx
＋
b
的图象
与
x
轴的交点的横坐标，即为方程
kx
＋
b
＝0的解．由此可见，方程与函数是密不可分的．
【例4】 某汽车生产厂对 其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行
驶．已知油箱中的余油量
y
(L)与行驶时间
t
(h)的关系如下表，与行驶路程
x
(km)的关系如< br>下图．请你根据这些信息求A型车在实验中的速度.
行驶时间
t
(h)

油箱余油量
0

1
00

4

1

8
8

2

6
2
3
5
y
(L)


分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．
解法一：∵余油量
y
与行驶路程
x
的关系图象是一条直线，
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