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一次函数复习课
知识点1 一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x，y间的关系 式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，
k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量）， 特别地，当b=0
时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次 函
数，y=x，y=-x都是正比例函数.
【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一 切实数，但在实
际问题中要根据函数的实际意义来确定.
（2）一次函数y=kx+b（k，b 为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次
方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的 次数为1，一
次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.
（3）当b=0，k≠0时， y= kx仍是一次函数.
（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.
知识点2 函数的图 象
把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐
标在直角坐标系内描出它 的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数
的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．< br>知识点 3一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直 线，所
以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．
由于两点确定一条直线，因此 在今后作一次函数图象时，只要描出
适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与 y
轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.但也不必一定选取这两
个特殊点.画正 比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，
k）即可.
知识点4 一次函数 y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质
（1）k的正负决定直线的倾斜方向；
①k＞0 时，y的值随x值的增大而增大；
②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．
（2）|k|大小 决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐
角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与 x轴相交的锐角度数越小（直
线缓）；
（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；
①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；
③当b= 0时，直线经过原点，是正比例函数．
（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；
①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、
三象限（直线不经过第四象 限）；
②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、
四象限（直线 不经过第二象限）；
③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、
四象限（直线不经过第三象限）；
④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、 三、
四象限（直线不经过第一象限）．
（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两
个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从
平移的角 度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x
向上平移一个单位得到的．
知识点5 正比例函数y=kx（k≠0）的性质
（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；
（3）当k＜0时，图象经过第 二、四象限,y随x的增大而减小．
知识点6 点P（x
0
，y
0
） 与直线y=kx+b的图象的关系
（1）如果点P（x
0
，y
0
）在 直线y=kx+b的图象上，那么x
0
,y
0
的值必
满足解析式y= kx+b；
（2）如果x
0
，y
0
是满足函数解析式的一对对应值， 那么以x
0
，y
0
为
坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，
2）在直线y=x +l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当
x=2时，y=3，所以点P′（2 ，1）不在直线y=x+l的图象上．
知识点7 确定正比例函数及一次函数表达式的条件
（ 1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需
一个条件（如一对x，y的值或 一个点）就可求得k的值．
（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要 两
个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通
常是两个点或两对 x，y的值．
知识点8 待定系数法
先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条 件列出
方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待
定系数法．其中未 知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就
是待定系数．
知识点9 用待定系 数法确定一次函数表达式的一般步骤
（1）设函数表达式为y=kx+b；
（2）将已知点的坐 标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k与b的值，得到函数表达式．
例如：已知一次 函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次
函数的关系式．
解：设一次函数的关系 式为y＝kx+b（k≠0），
由题意可知，
解
∴此函数的关系式为y=．
【 说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如
下：第一步，设（根据题中要求的函数“ 设”关系式y=kx+b，其中k，b是
未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件 ，列出方
程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第
三步，求（把 求得的k，b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）；第四
步，写（写出函数关系式）.
思想方法小结
（1）函数方法．
函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系， 抽象、
升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个
变量之间的对应关 系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．
（2）数形结合法．
数形结合法是指将数与形结 合，分析、研究、解决问题的一种思想
方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的 作
用．
知识规律小结 （1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．
①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；
当b=0时，直线经过原点；
当b﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．
②当k，b异号时，即-＞0时，直线与x轴正半轴相交；
当b=0时，即- =0时，直线经过原点；
当k，b同号时，即-﹤0时，直线与x轴负半轴相交．
③当k＞O， b＞O时，图象经过第一、二、三象限；
当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；
当b＞ O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；
当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；
当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；
当b＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．< br>（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系．
直线y=kx+b( k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)
当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y= kx+b；
当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b．
（3 ）直线b
1
=k
1
x+b
1
与直线y
2
= k
2
x+b
2
（k
1
≠0 ，k
2
≠0） 的位置关系．
①k
1
≠k
2
y
1
与y
2< br>相交；
②y
1
与y
2
相交于y轴上同一点（0，b
1
）或（0，b
2
）；
③y
1
与y
2
平行；
④y
1
与y
2
重合.
典例讲解
基本题
本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概 念及它
们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．
例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x；
（4）y=-5x
2
； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x
2
.
基础应用题
本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求 函数
值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信
息；（3）利用一次 函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系
数法求函数的表达式．
例3 一根弹簧长 15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每
挂1kg的物体，弹簧就伸长0．5cm，写出 挂上物体后，弹簧的长度
y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取
值范围，并判断y是否是x的一次函数．
学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出
发，其平均速度为5 8千米／时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行
驶时间t（时）之间的函数关系式是 .
例4 某物体从上午7时至下午4 时的温度M（℃）是时间t（时）的函
数：M=t
2
-5t+100（其中t=0表示 中午12时，t=1表示下午1时），则上午
10时此物体的温度为 ℃．
例5 已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.< br>（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x=4时，求y的值；
（3）当y=4时 ，求x的值．
例6 若正比例函数 y=（1-2m）x的图象经过点A（x
1
，y
1
）和点
B（x2
，y
2
），当x
1
﹤x
2
时，y
1
＞y
2
，则m的取值范围是（ ）
A．m﹤O B．m＞0
C．m﹤ D．m＞M
学生做一做 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增
加2万元．
（1）写出年产值y（万元） 与年数x（年）之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）求5年后的产值．
例7 已知一次函数y=kx+b的图象如图11－22所示，求函数表达式．
例8 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的
表达式．
综合应用题
本节知识的综合应用包括： （1）与方程知识的综合应用；（2）与
不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解 决生活
中的实际问题．
例8 已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．
（ 1）y是x的一次函数吗？请说明理由；
（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？
例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50
元月租费， 然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交
月租费，每通话1分，付话费0．6元（ 均指市内通话）若1个月内通话x
分，两种通讯方式的费用分别为y
1
元和y
2
元．
（1）写出y
1
，y
2
与x之间的关系；
（ 2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？
（3）某人预计一个月内使用话费200元，则 选择哪种通讯方式较合
算？
例10 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y= 0．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当 x取何值时，y≥0？
（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；
（5）设点P在y 轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于
A，B两点，且S
△ABP
=4， 求P点的坐标．
例11 已知一次函数y=（3-k）x-2k
2
+18 .
（1）k为何值时，它的图象经过原点？
（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?
（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？
（4）k为何值时，y随x的增大而减小？
例12 判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，
直线上．
探索与创新题
2）是否在同一条
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