柳暗花明是什么意思：过圆外一点的切线方程的几种求法

2020年11月20日发(作者：成无己)

过圆外一点的切线方程的几种求法
摘 要 过圆x-a■+y-b■=r■外一点 px■，y■作圆的切线有两条，求切线方程可
从五个方面入手：相切的定义；相切的几何意义；转化与 化归；三角参数；坐标
平移转化。

关键词 圆；切线；转化；化归；参数；平移

众所周知过已知圆圆上一点有且只有一条切线，而且可以利用公式直接写切
线方程。 那么，过圆x-a■+y-b■=r■ 外一点 px■，y■作圆的切线有两条，如何求
切线方程呢？下面以一道习题来分析：

例：从点 p-2，-1向圆x■+y■-4x+2y+1=0引切线，求切点坐标与切线方程。

解法一：判别式法。不妨设切线的斜率存在，记作k ，

那么过点 p-2，-1 的直线方程为：y+1=kx+2，

由y+1=kx+2 x■-4x+y+1■=0，得1+k■x■+4k■-1x+4k■=0

由直线与圆相切有，△=16k■-1-16k■1+k■=0，解得k=±■

此时切点的横坐标为x=-■=1，将x=1代入圆的方程，解得y=-1+■，

即切点坐标为1，-1+■，1，-1-■ 。

将k=±■代入，得两条切线方程为：x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。
< br>点评：此法从相切的定义得到（有且只有一个公共点）。但要注意，若求得
的k值只有一个，再验 证斜率不存在且过点p-2，-1的直线是否为切线。

解法二：几何法。圆的方程化为x- 2■+y+1■=4，圆心C（2，-1）。设切线的
斜率为k （存在时），则过点p-2，-1的直线方程为y+1=kx+2，即y- kx-2k+1=0。
由平面几何知识，圆心 C（2，-1）到切线的距离等于圆半径，所以d=■= 2。解
得k=±■。将k=±■代入切线方程，得两条切线方程为 x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。
将切线方程y+1=±■（x+2） 代入圆的方程，得x-2■+■x+2■=4，解得x=1，再代
入切线方程，得y=-1±■ ，所以切点坐标为-1，-1+■，1，-1-■。

点评：利用相切的几何意义（圆心到直线距离等于半径）。若求得的 值只有
一个，再验证斜率不存在且过点 p-2，-1的直线是否为切线。就求切线方程而言，
较解法一可减少运算量，值得重视。当然法一，法二都是我们最容易想到的方法。

解法三：转化与化归法。设切点坐标为A（x1，y1），为圆上一点那么利用