乘法分配律用字母表示：专题训练(二) 有关多边形的边数或角的计算

2020年11月20日发(作者：费穆)


专题训练(二) 有关多边形的边数或角的计算

一、利用“内角和”求多边形的边数
由多边形的内角和公式可知：正确的内角和应该能被18 0°整除，而错误的内角和除以
180°时会有余数，根据这个余数即可分析出多加或少加的那个角的度 数，从而也可确定多
边形的边数．
1．若n边形的所有内角与某一个外角的总和为1297°，则n等于( )
A
．6
B
．7
C
．8
D
．9
2．小明在求一个多边形的内角和时，由于疏忽，把一个内角加了两遍，而求出结果是
2017 °，则这个内角是________°，这个多边形是________边形．
3．某同学计算多边形 的内角和时，得到的答案是1125°，老师指出他少加了一个内
角．这个同学计算的是几边形的内角和 ？他少加的那个内角是多少度？








二、“8”字的性质及应用
我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8 ”字．如图2－
ZT
－1，AD，BC
相交于点O，连接AB，CD得到一个“8字” ABCD.容易证明“8”字具有以下性质：∠A＋∠B
＝∠C＋∠D.利用“8”字的这一性质，可把 两个角的和转化为与之相等的另外两个角的和，
从而可把分散的多个角的和转化为多边形的内角和．




图2－
ZT
－1
4．如图2－
ZT
－2，∠α＝________°.

图2－
ZT
－2
5.如图2－
ZT
－3，∠A，∠B，∠ C，∠D，∠E的度数的和为________．

图2－
ZT
－3 6．(1)图2－
ZT
－4①中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝_______ _°；
(2)图2－
ZT
－4②中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝___ _____°.

图2－
ZT
－4

7．如图2 －
ZT
－5，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝________°.




图2－
ZT
－5
8．如图2－
ZT
－6，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠F－∠G的度数．

图2－
ZT
－6






9．如图2－
ZT
－7，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋ ∠H的度数．

图2－
ZT
－7

1．[解析] D 因为1297÷180＝7……37，所以被加上去的这个外角是37°.由内角和
公式得(
n
－2)×180＝1297－37，解得
n
＝9.故选D.
2．[答案] 37 十三
[解析] 因为2017÷180＝11……37，即2017被180除时有余数37， 所以被加了两遍的
这个内角的度数是37°，于是可知正确的内角和是2017°－37°＝1980° .由内角和公式得
(
n
－2)·180＝1980，解得
n
＝13. 所以这个多边形是十三边形．
3．解：因为1125除以180时商是6，余数是45，而多边形的内 角和是180的倍数，所
以少加的那个角是45°的补角，为135°.



1125＋135
于是边数＝＋2＝9.
180
答：这个同学计算的是九边形的内角和，他少加的那个内角是135°.
4．15 5.180°
6．[答案] (1)360 (2)360
[解析] (1)连接
AD
.由三角形的内角和定理和对顶角相等，得∠
E
＋∠
F
＝∠
FAD
＋∠
EDA
.
于是题中六个角的和转化为四边 形
ABCD
的内角和，即为360°.
7．[答案] 360
[解析] 连接
BG
，
CF
，则将所求8个角的和转化为四边形
BCFG
的内角和，即360°.
8．解：方法一：连接
BE
，
AE
，则 ∠
GAB
＋∠
ABC
＋∠
C
＋∠
D
＋∠< br>FED
－∠
F
－∠
G
＝(∠
GAB
＋∠FED
－∠
F
－∠
G
)＋∠
ABC
＋∠
CBE
＋∠
DEB
＝∠
EAB
＋∠
AED
＋∠< br>DEB
＋∠
CBE
＋∠
ABC
＝
△
ABE< br>的内角和＝180°.
方法二：连接
BE
，设
EF
与
AG
相交于点
O
，则∠
A
＋∠
ABC
＋∠
C
＋∠
D
＋∠
FED
－∠
F
－∠
G＝四边形
ABEO
的内角和－∠
EOA
－∠
F
－∠G
＝360°－△
OFG
的内角和＝360°－180°＝
180°.
9．解：连接
AE
，
FH
，则所求八个角的和转化为五边形
ABCDE
的内角和加△
FGH
的内角
和，所以∠
BAH
＋ ∠
B
＋∠
C
＋∠
D
＋∠
DEF
＋∠
GFE
＋∠
G
＋∠
GHA
＝(5－2)×180°＋180°＝< br>720°.