五年级数学图形安徽省中考数学二轮复习题型四：规律探索题(含答案)

2020年11月20日发(作者：聂华龄)
1
题型四 规律探索题
类型一 数式规律探索
1. (2018霍邱县一模)如下数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律
并完成各题的解答：

(1)第9行的最后一个数是________；
(2)第
n
行 的第一个数是________，第
n
行共有________个数；第
n
行 各数
之和为____________．
2. (2018安庆二模)观察下列等式：
11
(1)1－＋＝1；
21×2
1111
(2)－＋＝；
243×43
1111
(3)－＋＝；
365×65
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第(4)个等式：(________)－(___ _____)＋(________)＝
(________)；
(2)写出你猜想的第(
n
)个等式，并证明．
1
1







3. 观察下列等式：
1111
①＋－＝；
1221
1111
②＋－＝；
34122
1111
③＋－＝；
56303
1111
④＋－＝；
78564
…
(1)请根据以上规律写出第5个等式：__________________________；
(2)猜想并写出第
n
个等式，并验证其正确性．

4. 观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式：
第1层 1＋2＝3；
第2层 4＋5＋6＝7＋8；
第3层 9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；
1
1
第4层 16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；
… (1)填空：第6层等号右侧的第一个数是________，第
n
层等号右侧的第一个数是________(用含
n
的式子表示，
n
是正整数)，数字20 17排在第几层？请
简要说明理由；
(2)求第99层右侧最后三个数字的和．

5. (2018太和县模拟)观察下列等式：
①1＋2＝3；
②4＋5＋6＝7＋8；
③9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；
④16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；
…
(1)试写出第五个等式；
(2)根据你的发现，试说明145是第几行的第几个数？

6. 按如下方式排列正整数，第1行有1个数，第2行有3个数，第3，4
行分别 有7个、13个数．依此规律，解答下列问题：
1
2 3 4
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10…15 16
1
1
… < br>(1)第10行有________个数，第
n
行有________个数(结果用含< br>n
的式子表
示)；
(2)第2，3，4行都含有数4，其中第2行最先出现4，那么2019最先出现
在第几行？


7. 已知下列等式：
①3
2
－1
2
＝8，
②5
2
－3
2
＝16，
③7
2
－5
2
＝24，
…
(1)请仔细观察，写出第4个式子；
(2)根据以上式子的规律，写出第
n
个式子，并用所学知识说明第
n
个等式
成立；
(3)利用(2)中发现的规律计算：8＋16＋24＋…＋792＋800.




8. 【问题提出】观察下列图形，回答问题：
1
1

第8题图
由此可以得出第1个图形中所有线段的长度的和是1，第2个图形中所有 线
段的长度的和是4，第3个图形中所有线段的长度的和是10，第4个图形中共有
_____ ___条线段，所有线段的长度的和是________；
【规律探索】在计算第1，2，3个图形中所有线段的长度的和的时候，得出
了下列等式：
1×1＝
1×2×3
；
6
2×3×4
；
6
1×2＋2×1＝
3×4×5
1×3＋2×2＋3×1＝；
6
第4个等式为____________；
…
【问题解决】求第
n
个图形中所有线段的长度的和．





9. (2017安徽19题)我们知道，1＋2＋3＋…＋
n
＝
n
（
n
＋1）
2
，那么1
2
＋2
2
1
1
＋3
2
＋…＋
n
2
结果等于多少呢？
在图①所示 三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即1
2
；第2行两个圆圈
中数的和为2＋2， 即2
2
；……；第
n
行
n
个圆圈中数的和为
n＋
n
＋…＋
n
,
s

do
4(
n
2
个
n
))，即
n
.这样，该三角形数阵中共有
n
（
n
＋1）
2
个圆圈，所有圆圈中数的和为
1
2
＋2
2
＋3
3
＋…＋
n
2
.

第9题图①
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图②所示的三角形数阵， 观察这三个三角形
数阵各行同一位置圆圈中的数(如第
n
－1行的第一个圆圈中的数分 别为
n
－1，2，
n
)，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为______ __．由此可得，这三个三角形
数阵所有圆圈中数的总和为：3(1
2
＋2
2
＋3
2
＋…＋
n
2
)＝________，因此，1
2
＋2
2
＋3
2
＋…＋
n
2
＝____ ____．

1
1
第9题图②
【解决问题】
1< br>2
＋2
2
＋3
2
＋…＋2017
2
根据以上 发现，计算的结果为________．
1＋2＋3＋…＋2017
1
1
类型二 图形规律探索
1. 下列各图形中的“”的个数和“△”的个数是按照一定规律摆放的：

第1题图
(1)观察图形，填写下表：
第
n
个图形
“”的个数
“△”的个数
1
3
1
2
6
3
3
9
6
4
12
10
…
n

… ________
… ________
(2)当
n
＝________时，“△”的个数是“”的个数的2倍．
2. 用同样大小的“”按如图所示的规律摆放：

第2题图
(1)第5个图形有多少枚“”？
(2)第几个图形有2018枚“”？请说明理由．


3. 如图，图①中小黑点的个数记为
a
1
＝4，图② 中小黑点的个数记为
a
2
＝8，
图③中小黑点的个数记为
a
3
＝13，…
1
1

第3题图
根据以上图中的规律完成下列问题：
(1)图④中小黑点的个数记为
a
4< br>，则
a
4
＝________；
(2)图
n
中小黑 点的个数记为
a
n
，则
a
n
＝________(用含n
的式子表示)；
(3)第几个图形中的小黑点的个数为43个？


4. (1)观察下列图与等式的关系，并填空：
放置
方式①
放置
方式②
放置方式①
中圆圈的个数
1＋2＝
3×2
＝3
2
6×3
＝9
2
9×4

2


2＋3＋4＝
3＋4＋5＋6＝


＝18
4＋5＋6＋7＋8

… …

＝______＝______
…

1

n
＋(
n
＋1)＋…＋
1
______＝______
(2)一堆按“放置方式①”放置的圆圈，小明数 得共有165个圆圈，请你计
算最上面有几个圆圈？



5. (2018安徽名校大联考)如图，下列每个图案均是由若干边长为1的小正
方形按一定的规律堆叠而成 ，探究规律，解答问题．
第5题图


(1)请根据你的探究直接写出： 第10个图案中共有______个小正方形，第
n
个图案中共有______个小正方形；
(2)是否存在有37个小正方形的图案？若存在，请求出是第几个图案；若不
存在，请说明理 由．


6. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)认真观察图①，并填写出第4个点阵图相应的等式．
1
1

第6题图①
(2)结合(1)观察图②，并填写出第5个点阵图相应的等式．

第6题图②
(3)通过猜想，直接写出(2)中与第
n
个点阵图相对应的等式．

7. (2018怀远县模拟)如图，正方形
ABCD
内部有若干个点，用这些点以及
正方形
ABCD
的顶点
A
、
B
、
C
、
D
把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠)：

第7题图
(1)填写下表：
正方形
ABCD
1 2 3 4 …
n

1