黄河流经几个省：《考试小抄必备》小学至初中数学所有公式

2020年11月20日发(作者：饶国模)

80 推论 2
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82
梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

L=（a+b）÷2
S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果
a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d

84 (2)合比性质 如果
a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
85
(3)等比性质 如果 a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)


／(b+d+…+n)=a／b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成


比例
87 推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得

的应线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线


段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的

三边与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，


所构成的三角形与原三角形相似


91 相似三角形判定定理 1
两角对应相等，两三角形相似（ASA）
92
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93
判定定理 2
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
94
判定定理 3
三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
95
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的


斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理 1
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的


比都等于相似比

97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比
98
性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的


余角的正弦值

100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的


余角的正切值
101
圆是定点的距离等于定长的点的集合
102
圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103
圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104
同圆或等圆的半径相等
105
到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107
到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108
到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等


的一条直线
109
定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111 推论
1

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114 定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，


所对的弦的弦心距相等
115
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦


心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117 推论
1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角

所对的弧也相等

118 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦



是直径
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129 推论
如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130 相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131
推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线

段的比例中项
132
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆

交点的两条线段长的比例中项
133
推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两


条线段长的积相等
134
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135 ①两圆外离
d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆内切
d=R-r(R＞r)
⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
136 定理
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137 定理
把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆


的外切正n边形

138 定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139
正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
140 定理

正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141
正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
142
正三角形面积 √3a／4 a表示边长
143
如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因


此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
144
弧长计算公式：L=n兀R／180
145
扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
146
内公切线长=d-(R-r) 外公切线长=
d-(R+r)


实用工具:常用数学公式


公式分类 公式表达式


乘法与因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)


a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|
-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解
-b+√(b2-4ac)2a
-b-√(b2-4ac)2a
根与系数的关系
X1+X2=-ba X1*X2=ca 注：韦达定理


判别式
b2-4ac=0

注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0
注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

三角函数公式


两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA)
ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB-ctgA)


倍角公式

tan2A=2tanA(1-tan2A)
ctg2A=(ctg2A-1)2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a


半角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)

cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))

ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)


2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2

cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)

tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB
tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB -
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB


某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)24


12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)6
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3


正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB
注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
注： （a,b）是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
注：
D2+E2-4F>0
抛物线标准方程
y2=2px y2=-2px
x2=2py
x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=12c*h'


正棱台侧面积 S=12(c+c')h' 圆台侧面积 S=12(c+c')l=pi(R+r)l

球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h


圆锥侧面积 S=12*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r
a是圆心角的弧度数r>0 扇形公式
s=12*l*r

锥体体积公式 V=13*S*H 圆锥体体积公式
V=13*pi*r2h
斜棱柱体积
V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，
L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h