然而的近义词：构造函数证明含有指数和对数的不等式

2020年11月20日发(作者：邹尔康)
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构造函数证明含有指数和对数的不等式

作者：龚世杰

来源：《课程教育研究·学法教法研究》2018年第36期

【摘 要】证明函数不等式的的方法有很多，通常可以构造函数，构造函数中，当含有 指
数函数或是对数函数时，由于求导数之后导函数的零点不好确定，导致分析原函数的单调性会
变得困难，本文主要研究了如何把函数不等式拆成两个函数，从而将问题转化为两个函数最值
之间的比较 ，这样表解决了部分函数求导之后导函数很复杂的问题。
【关键词】 证明不等式 构造函数 指数与对数 最值
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）36-0177-01
在选修的课本 中介绍了指数函数与对数函数及幂函数的增长速度的问题，这里便为我们研
究构造函数的问题提供了一种 思路，在利用函数证明不等式的时候，构造由幂函数与指数函数
及对数函数构成新的函数，将题目中给出 的不等式，经过合理的变换，使之变成的形式，然后
再利用导数得到在定义域上，从而得出不等式成立， 在思路上比较简洁，但是难点在于如何构
造函数，使得能得出及，而在构造函数当中，最难处理的是遇到 指数函数和对数函数的问题时.
本文从几个常见的函数类型出发，研究函数的构造方法。
1 构造成类型函数
若函数则对任意，在上单调递增，在上单调递减，.
例1 已知，求证：当时，
解析 要证，
即证，令，，.因为，所以恒成立，所以在上单调递减.故.
又因为，当时恒成立，故.所以恒成立，故当时，.
评注 若采用一般的方法构造函 数，即构造函数，再证时，对求导，，导数的零点不好
求，导致单调性无法判断，无法进行下一步的运算 。
2 构造成类型函数
若，则当在上单调递增，在上单调递减，.当时，在上单调递减，在上单调递增，，