零和竞争：如何用代数法和几何法解析函数与几何综合题

2020年11月20日发(作者：熊黛林)
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如何用代数法和几何法解析函数与几何综合
题

作者：陆晓平

来源：《试题与研究·教学论坛》2017年第11期

函数与几何是初中数学中的重点，也是中考重点考查的内容之一。函数中的几何问题， 能
使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化。由于函数与几何结合的综合
题灵活多变，能较好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因此不难发现近几年上海数学中
考24题一 般都是二次函数与几何综合题，进一步研究可以发现其中大部分问题是求满足某一
条件的点的坐标。
本文特选一例来谈一谈二次函数与几何综合题中用代数法和几何法求点的坐标，期望能 达
到抛砖引玉的目的。
本小题有两个直角∠AOB=90°和∠ABC=9 0°，对“一线三等角”模型熟悉的同学会很容易想
到过点C作x轴的垂线，利用相似三角形或锐角三角 形来解决，相比前两种代数法，这种几何
法的计算量更小。
解得a=10，a=-6或a=0，a=4
∴P（0，1），（-6，4），（4，-1），（10，-4）
本小题已知ΔBC P与ΔOAB，并且很容易找到一对直角对应相等，于是分类讨论就只有两
类，很容易把BP的长度求出 来，因为点P在直线BC上，容易想到设未知数，用一个未知数
表示所求点的坐标，再利用两点之间距离 公式建立方程，解出方程的解即可。此代数法容易想
到并且不容易漏解，但是相对几何法计算量稍大。
解法二：几何法求点P坐标。
∴PH=4，BH=8 ∴P（10，-4）
∴综上所述：P（0，1），（-6，4），（4，-1），（10，-4）
本小题 还可以利用如上平行线成比例或相似三角形对应边成比例的几何法来解决，过点P
作x轴的垂线，构成相 似三角形或平行线基本图形，利用对应边或对应线段成比例直接解决过
点P的垂线段的长度，从而解决点 P坐标。相对于前面代数法，这里几何法的计算量非常小，
但可能容易漏解。