雷声轰隆隆：数学和差化积公式

2020年11月20日发(作者：盛利)
sin α+sinβ=2sin[(α
+
β)2]·cos[(α
-
β)2]
sin α-sin β=2cos[(α
+
β)2]·sin[(α
-
β)2]
cos α+cos β=2cos[(α
+
β)2]·cos[(α
-
β)2]
cos α-cos β=-2sin[(α
+
β)2]·sin[(α
-
β)2] 【注意右式前的
负号】
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程
法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)2]·cos[(α-β)2]的证明过程
因为




















sin(α
+
β)=sin αcos β+cos αsin β，
sin(α
-
β)=sin αcos β
-
cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α
+
β)+sin(α
-
β)=2sin αcos β
，

设 α
+
β
=
θ，α
-
β
=
φ
那么
α
=(
θ
+
φ
)2,
β
=(
θ
-
φ
)2

把α，β的值代入，即得
sin θ
+
sin φ
=2
sin[
(
θ
+
φ
)2
]cos[(θ
-
φ
）2
]
法2
根据欧拉公式，e ^Ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e ^I（a+b）
=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinas inb+i(sinacosb
+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
正切的和差化积
















tanα±tanβ=sin(α±β)(cosα·cosβ)（附证明）
cotα±cotβ=sin(β±α)(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)(cosα·sinβ)
tanα- cotβ=-cos(α+β)(cosα·sinβ)
证明：左边=tanα±tanβ=sinαcosα±sinβcosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)(cosα·cosβ)
=sin(α±β)(cosα·cosβ)=右边
∴等式成立
注意事项
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，
必须用诱导公式化为同 名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
口诀
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
反之亦然
生动的口诀：（和差化积）
帅+帅=帅哥
帅-帅=哥帅




















哥+哥=哥哥
哥-哥=负嫂嫂
反之亦然
语文老师教的口诀：
口口之和仍口口 cos α+cos β=2cos[(α
+
β)2]·cos[(α
-
β)2]
赛赛之和赛口留 sin α+sinβ=2sin[(α
+
β)2]·cos[(α
-
β)2]
口口之差负赛赛 cos α-cos β=-2sin[(α
+
β)2]·sin[(α
-
β)2]
赛赛之差口赛收 sin α-sin β=2cos[(α
+
β)2]·sin[(α
-
β)2]
另一口诀：
正和正在先，sin α+sinβ=2sin[(α
+
β)2]·cos[(α
-
β)2]
正差正后迁，sin α-sin β=2cos[(α
+
β)2]·sin[(α
-
β)2]
余和一色余，cos α+cos β=2cos[(α
+
β)2]·cos[(α
-
β)2]
余差翻了天，cos α-cos β=-2sin[(α
+
β)2]·sin[(α
-
β)2]
记忆方法
和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指
出了各自的简单记忆方法。
如何只记两个公式甚至一个
我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。
而第二个公式中的-sin β
=
sin（β
+
π），也就是sin α-sin β=sin
α
+
sin（β
+
π），这就可以用第一个公式解决。
同理第四个公式中，cos α-cos β
=
cos α
+
cos（ β
+
π），这就可
以用第三个公式解决。
如果对诱导公式足够熟悉，可以在运算时把cos全部转化为sin，那样
就只记住第一个公式就行了。
用的时候想得起一两个就行了。
结果乘以2
这一点最简单的记忆方法是 通过三角函数的值域判断。sin和cos的值
域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1] ，而和差的值域却是[-2,2]，
因此乘以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项
相同而造成有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]
=2sinαsinβ
故最后需要乘以2。
只有同名三角函数能和差化积
无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为
乘积。这一点主要是根 据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和
差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消 和相同的项，也就
无法化简下去了。
乘积项中的角要除以2
在和差化积公式 的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，
才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和 β，这两个角应该是
(α+β)2和(α-β)2，也就是乘积项中角的形式。
注意和 差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；
而只有和差化积公式中有“乘以2”。
使用哪两种三角函数的积
这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半
差角”(α-β)2的三角函数名。
是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中，余弦的
展开中含有两对同名三 角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数
的乘积。所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积； 正弦的和差化作异
名三角函数的乘积。
(α-β)2的三角函数名规律为：和化为积时 ，以cos(α-β)2的形
式出现；反之，以sin(α-β)2的形式出现。
由函 数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积，那么α
和β调换位置对结果没有影响，也就是若 把(α-β)2替换为(β-α)2，
结果应当是一样的，从而(α-β)2的形式是cos(α-β) 2；另一种情况
可以类似说明。
余弦-余弦差公式中的顺序相反负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如(0 ,π]内余弦函数
的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以当α大于β时，
cos α小于cosβ。但是这时对应的(α+β)2和(α-β)2在(0,π)的范
围内，其正弦的乘积应 大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，
要么就在式子的最前面加上负号。