c64：定积分中极坐标方程表示图形的困惑-精选资料

2020年11月20日发(作者：宣伟军)
定积分中极坐标方程表示图形的困惑

大部分刚刚迈出高中校门开始接触高等数学 的学生对极坐
标都不熟悉，而我们在学习定积分的过程中，计算由曲线围成的
面积和曲线的弧长 时都需要作出曲线的图形来辅助我们更直观
地解题.因此对于不熟悉极坐标的学生来说这就是解题路上一 个
极大的障碍.
一般情况下，接触过极坐标系的学生只知道极坐标和直角坐
标的互化公式为x=ρcosθ
y=ρsinθ①或ρ2=x2+y2
tanθ=y[]x（x≠0）②，通常他们也会利用公 式把不熟悉的
极坐标方程化为直角坐标方程，再把图形画出来.但是这个方法
不是万能的，可能 一个很简单的极坐标方程表示成直角坐标方程
会很麻烦，有时候甚至不能表示.例如：在学习定积分的几 何应
用时我们会要求计算曲线围成的面积或曲线的弧长，而后面学习
多元函数积分学时也需要知 道曲线所表示的图形.
一名学生提出一道困惑很久的问题：ρ=asin2θ，它叫四叶
玫瑰线，说明它有四个花瓣，可是他怎么画也只有两个瓣.他是
这样做的：方程ρ=asin2θ两边 同时乘以ρ2，得到
ρ3=aρ2sin2θ，而sin2θ=2sinθcosθ，利用ρ=x2+y 2和
x=ρcosθ，y=ρsinθ，即得到直角坐标系下的方程：
x2+y232=2xy .观察发现，这个方程左边是非负的，因此右边xy
也应是非负的，说明x和y必须同号，即方程所对应 的图形只能
在一、三象限和原点有图像，这不是说明了四叶玫瑰线其实只有
两个花瓣吗？
这样的想法乍一看没什么错误，其实不然，两步都出错的原
因在于忽略了ρ的符号.第一步 在极坐标系下画图形的时候，当
θ从0变化到π2，ρ从0变化到a再变化到0，这个图形拿到
直角坐标中确实是第一个花瓣，但是当θ从π2变化到π时，
ρ从0变化到-a再变化到0，就不是第三 象限的花瓣了，出错
的原因是首先这时他把极坐标和直角坐标混为一体，把图形放在
第三象限， 其次他不知当ρ为负数时怎样在极坐标系下作出图
形.
为了解决问题，我们先来简单介 绍极坐标系.在平面内取一
个定点O，叫做极点.引一条射线OX，叫做极轴.再选定一个长度
单位和角度正方向（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个极
坐标系.对于平面上任意一点M，用ρ表 示线段OM的长度，用
θ表示从OX到OM 的角度，ρ叫做M的极径，θ叫做点M的极
角，有 序数对ρ，θ就叫做M的极坐标.一般情况下，极径都是
正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值. 对于点Mρ，θ
是负极径时的规定为：
[1]作射线OP，使
SymbolPC XOP=θ.
[2]在OP的反向延长线上取一点M，使|OM|=ρ.
有了这些规定，我们再返回来看当θ从π2变化到π时，
在极坐标系下的图形是什么样的， 这个时候ρ要取到负值，按
照规定-ρ，θ=ρ，θ+π，此时θ+π从
3π2变化到 2π，这个图形放在直角坐标系下位于第四象
限，因此是第四象限的花瓣.当θ从π变化到3π2时，ρ 从0
变化到a再变化到0，这是直角坐标系下第三象限的花瓣，当θ
从3π2变化到2π时，ρ 从0变化到-a再变化到0，此时ρ仍
要取到负值，按照规定-ρ，θ=ρ，θ+π，θ+π从5π2变 化
到3π，也就是从π2变化到π，这正好就是直角坐标系下第二
象限的花瓣.因此当θ从0变 化到2π的过程中，四个花瓣就是
按照一四三二象限的顺序生成的.
现在我们就很容易 看出第二步化为直角坐标方程时的错误，
只利用了ρ=x2+y2，而忽略了ρ=-x2+y2，所以正 确的四叶玫瑰
线的直角坐标方程应为±x2+y23=2xy.
注意到这些，当我们再作极坐标方程在极坐标系下的图形时
就会清晰有条理地完成了.
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