2010浙江高考数学初中数学竞赛：根式及其运算

2020年11月20日发(作者：晏少翔)
初中数学竞赛：根式及其运算

二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基 础，在进行根式运算时，
往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等
有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知
识和方法的能力 ．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．

二次根式的性质：


二次根式的运算法则：


设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅


当两个 含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这
两个代数式互为有理化因式．
例1 化简：

法
是配方去掉根号，所以

因为x-2＜0，1-x＜0，所以
原式=2-x+x-1=1．

＝a-b-a+b-a+b=b-a．
说明 若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范 围内进行化简；若没
有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．
例2 化简：

分析 两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计
算化简较 繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．






解法1 配方法．

配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则

解法2 待定系数法．



例4 化简：



(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．



分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成

解 设

两边平方得


②×③×④得
(xyz)
2
=5×7×35=35
2
．
因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以
xyz=35．⑤
⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以


解 设原式=x，则




解法1 利用(a＋b)
3
＝a
3
＋b
3
＋3ab(a＋b)来解．

将方程左端因式分解有
(x-4)(x
2
＋4x＋10)＝0．
因为
x
2
＋4x＋10＝(x＋2)
2
＋6＞0，
所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．
解法2


说明 解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法
是一般常用的解法．
例8 化简：

解(1)

1