数学题分析2015届高考理科数学解答题的八个大题模板

2020年11月20日发(作者：姜时俊)
方达教育个性化一对一辅导 学海方舟，教以达人
方达教育学科教师辅导教案
学员姓名年级
高三
授课老师
翟 嘉
辅导科目
数 学
课时数
月 日 ：
2h
第
：
次课
授课日期及时段2015 年 —
解答题的八个答题模板
数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次
和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为 知识、方法和能力的综合型解答题 ．在高
考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内 ．容
“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按 一 照
定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定 解
决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．
模板 1 三角变换与三角函数的性质问题

已知函数 f (x)＝2cos x·sin x＋

π
3
(1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的最大值及最小值； (3)写出函数 f(x)的单调递增区间．
审题路线图不同角化同角 → 降幂扩角 →化 f(x)＝Asin(ωx＋ φ)＋ h→结合性质求解．
规范 解 答 示 例

解 f( x) 2cos x
1
3
＝
sin x
＋
2

cos
x
3si
n

－
2

2
2
x＋sin xcos x＋1.
－ 3sin
构 建 答 题 模 板
第一步

化简： 三角函数式的化简， 一
般化成
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
) ＋
h
的形式，
x)＋1＝sin 2x＋ 3cos 2x＋1
即化为“一角、 一次、一函数” 的形式．
2
＝2sin xcos x＋ 3(cos


π
＝2sin 2x＋ ＋ 1.
3
x－sin
第二步

整体代换： 将
ωx
＋
φ
看作一

2π
个整体，利用
y
＝sin
x
，
y
＝cos
x
的

(1)函数 f(x)的最小正周期为
＝π.
2
性质确定条件．
π π

第三步 求解： 利用
ωx
＋
φ
的范围求

(2)∵－1≤ sin 2x＋ ＋1≤ 3.
≤ 1，∴－1≤ 2sin 2x＋ 3
3

π

π π

条件解得函数
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
) ＋
h

∴当 2x＋
＝
＋2kπ， k∈Z，即 x＝ ＋ kπ，k∈ Z 时， f( x)取
12
3
2
的性质，写出结果．
得最大值 3；
第四步 反思：反思回顾，查看关键点，


π π
5π
当 2x＋ ＝－
＋2kπ， k∈Z，即 x＝－
＋kπ，k∈Z 时， f(x)
易错点，对结果进行估 检查规，算范性 .
3
2
12
方达教育辅导教案 第 1 页（共16 页）
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取得最小值－ 1.

(3)由－

π π

π π
5π

＋
＋2kπ≤ 2x＋
≤
＋2kπ，k∈Z，得－
＋ kπ≤ x≤
3
2
12
2
12
kπ，k∈Z.

∴函数 f (x)的单调递增区间为 －

5π
π
＋kπ， ＋ kπ (k∈Z ).
12 12



1
(2014 ·福建 )已知函数 f(x)＝cos x(sin x＋ cos x)
2.

－
π

2
，且 sin α＝
，求 f(α)的值； (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间．
(1)若 0<α<
2
2
π
1 1

2

2

2

2

2

解 方法一 (1) 因为 0<α< ， sin α＝
＋
)－
＝
，所以 cos α＝ .所以 f(α)＝ ×(
2
2 .
2 2 2 2
2 2


1＋cos 2x

2 π
(2)因为 f(x)＝sin xcos x＋cos1 1 1 1

2

－
＝2sin 2x＋ 2cos 2x＝
2 sin(2 x＋4)，
x－1 2sin 2x＋
2
x－1
2
2
＝
2


2π
＝π.
2
所以 T＝
π 3π π

π

由 2kπ－
π
≤ 2x＋ ≤ 2kπ＋ ，k∈Z，得 kπ－ ≤ x≤ kπ＋ ，k∈Z.
2 4 2 8 8
π

3π

所以 f (x)的单调递增区间为 [kπ－
，kπ＋
]，k∈Z.
8 8
π
1＋cos 2x 1

1

1

2
1 1

2
x－
－ ＝
2
sin(2 x＋
)．
2
2 2 4
方法二 f(x)＝sin xcos x＋cos
sin 2x＋ cos 2x＝
2
＝ sin 2x＋
2 2
π π

π

2 3π

1

2

2
，sin α＝ ，从而 f(α)＝
2 sin(2α
，所以 α＝
2.
＋
4)＝
2 sin
(1)因为 0<α< 4
2
4
＝
2
2π
(2)T＝
＝π.
2
π π 3π π

π

由 2kπ－
≤ 2x＋ ≤ 2kπ＋ ，k∈Z，得 kπ－ ≤ x≤ kπ＋ ，k∈Z.
2 4 2 8 8

所以 f (x)的单调递增区间为 [kπ－

3π
，kπ＋
8
]，k∈Z.
8
π
模板 2 解三角形问题

3

在△ ABC 中，若 acos ＋ccos ＝
2 2
2
b.
2
C
2
A
(1)求证：a，b，c 成等差数列； (2) 求角 B 的取值范围．
审题路线图 (1) 化简变形 ―→ 用余弦定理转化为边的关系 ―→ 变形证明
(2) 用余弦定理表示角 ―→ 用基本不等式求范围―→ 确定角的取值范围
方达教育辅导教案第 2 页（共16 页）
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规范 解 答 示 例

2
C
构 建 答题模 板
(1) 证明因为 acos
1＋cos A

3
c· ＝ b，
2 2
1＋cos C
＋
＋ccos ＝a·
2 2 2
2
A
第一步

定条件：即确定三角形中的已知和


所求， 在图形中标注出来， 然后确定转化的
方向．
所以 a＋ c＋( acos C＋ccos A)＝3b，

2
＋b
2
－c
2 2
＋c
2
－a
2

a
故 a＋c＋ a·
2ab
b
＋c·
2bc

第二步

＝3b，
定工具： 即根据条件和所求， 合理
选择转化的工具，实施边角之间的互化．
整理，得 a＋c＝2b，故 a，b，c 成等差数列．
第三步

(2) 解 cos B＝

2
＋c
2
－b
2

2
＋c
2
－
求结果．
再反思：在实施边角互化的时应候
a
＝
2ac
2
a＋c


第四步
a 2
2ac

1
2
，
注意转化的方向， 一般有两种思路： 一是全

2
＋c
2
－2ac
3 a
6ac－ 2ac
＝
8ac
π
.
3


＝
8ac
因为 0< B<π，所以 0≥

部转化为边之间的关系；二是全部转化为角
之间的关系，然后进行恒等变形 .

(2014 辽)在△ ABC 中，内角 A，B，C 的对边分宁· 为别a，b，c，且 a>c，已知 BA·BC
→ →

＝2，cos B

＝

1
3
，b＝3.求： (1) a 和 c 的值；(2)cos( B－C)的值．
→ →
1


解 (1)由BA ＝2 得 c·acos B＝2.又 cos B＝
3
·BC
，所以 ac＝ 6.由余弦定理，得 a

2
＋c
2
＝b
2
＋2accos B.又 b＝3，
2
＋c
2
＝b
2
＋2accos B.又 b＝
3，
ac＝ 6，

所以 a ＝13.解



a＝2，


a＝3，
得 或
2
＋c
2
＝9＋2×6×1
2
＋c
2
＝13，
c＝3 c＝2.
2
＋c
2
＝9＋2×6×1
a
3
因为 a>c，所以 a＝3，c＝2.

(2)在△ABC 中， sin B＝ 1－cos

2
B＝ 1－
2
＝2

1

3
2
1－
，
2
B＝
，
3
c 4 2

2 2 2

× ＝
9 .因为 a＝b> c，所以 C 为锐角， 由正弦定理，得 sin C＝
3 3
bsin B＝

2
因此 cos C＝ 1－sin
C＝
2
＝7 2 2

4 2

4 2


1 7

9.于是 cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝
× ＋
3 9 9
3 9
1－
× ＝
23
.
27
模板 3 数列的通项、求和问题
*
)满足a
n
b
n
已知首项都是 1 的两个数列 { a
n
} ， {b
n
}( b
n
≠0，n∈ N
＋
1
－a
n
1
b
n
＋2b
n
1< br>b
n
＝0.
＋＋
n
} 的通项公式；
＝3
方达教育辅导教案第 3 页（共16 页）
a
n
(1)令 c
n
＝ ，求数列 { a
b
n
－
n
1
，求数列 { a (2)若 b
n
方达教育个性化一对一辅导

学海方舟，教以达人
＋＋
审题路 图线(1) a
n
b
n
1
－a
n
1
b
n
＋2b
n
1
b
n
＝0 →
＋

a
n

a
＋
1
－
b
n

＝2 → c
n1
－c
n
＝2 → c
n
＝2n－1
b
n

＋
1

n
＋
＋

n
(2) c
n
＝2n－1 → a
n
＝ 2n－1 ·3
错位相减法
－
1
1
――→
得S
n


规 范 解 答 示 例
(1)因为a
n
b
n
1
－a
n

1
b
n
＋2b
n
1
b
n
＝0(b
n
≠0，

*
n∈N
)，
＋＋＋
构 建 答 题 模 板

第一步
解

找递推：根据已知条件确定数列相


所以

a
n

＋
b
n
＋
a
n

1
＝2，即 c
n1
－ c
n
＝2，
－
＋
b
n

＋

邻两项之间的关系，即找数列的递推公式．
第二步 求通项：根据数列递推公式转化为
1
1
所以数列 {c
n
} 是以首项 c
1
＝1，公差 d＝2 的等差数
等差或等比数列求通项公式， 或利用累加法
列，故 c
n
＝2n－1.






－
n
1
知 a
－
n

1
，
(2)由 b
n
＝3
n
＝ c
n
b
n
＝(2n－1)3

于是数列 {a
n
} 的前 n 项和 S
征确定求和方法 (如公式法、裂项相消法、
n
＝1·3

0
＋3·3
1
＋5·3
2
＋,
0
＋3·3
1
＋5·3
2
＋,
n

1
，
错位相减法、分组法等 )．

＋(2n－1) ·3
1
＋3·3
2
＋, ＋(2n－3) ·
第四步 写步骤： 规范写出求和步骤．
3
n1
＋(2n－1) ·3
n
，

3S
n
＝ 1·3
1
＋3
2
＋ ,

第五步 再反思： 反思回顾，查看关键点、
相减得－ 2S
n
＝1＋2·(3

－
＋3
n1
)－(2n－
1
＋3
2
＋ , ＋3
n
－
1
)－(2n－
nn
易错点及解题规范 .
1) ·3
＝－ 2－(2n－2)3，

n
＋1. 所以 S
n
＝(n－1)3

n
＋1.
－
－
或累乘法求通项公式．
第三步 定方法：根据数列表达式的结构特



1

x
已知点 1，
是函数 f( x)＝a(a>0，且 a≠1)的图象上的一点．等比数列
3
－
－

{a
n
} 的前 n 项和为f (n)
－c.数列 { b
n
} ( b
n
>0) 的首项为c，且前 n 项和 S
n
满足S
n
－S
n1
＝ S
n
＋ S
n

1
(n≥ 2)．
(1)求数列 { a
n
} 和 {b
n
} 的通项公式；

1
(2)若数列
b
n
b
n


的前 n 项和为T
n
，问满足T
n
>
1
＋
1 001
的最小正整数 n 是多少？
2 012
1

x
.

解 (1)∵f(1)＝a＝

1

， ∴f( x)＝
3
3
1 2

2

由题意知， a
1
＝f(1)－c＝ －c，a
2
＝[ f(2)－ c]－ [f(1) －c] ＝－
9
3.
3
，a
3
＝[f (3)－c]－[f(2)－c]＝－
4 2

1 a
2
1

－c，∴c＝1.又公比 q＝ ＝ ，
2
3
3 a
1
3
2
＝
a 81
又数列 { a
n
}是等比数列， ∴a
1
＝
＝ ＝－
a
3
2
－
27
n

1
＝－ 2· 1
n *

∴a
n
＝－

2

1

3
(n∈N )．
3
3
·
－
∵S
n
－S
n1
＝( S
n
－ S
n
1
)( S
n
＋ S
n
1
)＝ S
n
＋ S
n
－－－

－

1
(n≥ 2)．
方达教育辅导教案第 4 页（共16 页）
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－
又 b
n
>0， S
n
>0，∴ S
n
－ S
n1
＝ 1.
2
. ∴数列 { S
n
} 构成一个首项为 1、公差为 1 的等差数列，
－
S
n
＝1＋(n－1)×1＝n，即 S
n
＝n
1
＝1 也适合此通项公式． 当 n≥ 2 时， b
n
＝S
n
－S
n

1
＝n
2
－(n－1)
2
＝2n－1，当 n＝1 时， b
*
∴b
n
＝2n－1 (n∈N


1

1
)．

1 1

(2)T
n
＝
＋ ＋
＋, ＋
b
n
b
n

b
1
b
2
b
2
b
3

b
3
b
4

1

1 1

1

1

＝
＋ ＋
＋, ＋
2n－1 × 2n＋1
1× 3 3×5
5×7
1

1

1


1

1

1

1

1 1


1

1 1

n

＝

1
＋
＋ ×
－
－
－
＋, ＋
2 2 3
2
2 2
2n＋1
＝
3 5 .
×
5 7
×
2n－1 2n＋1
＝
× 1－
2n＋1
× 1－
＋

由 T
n
＝

n 1 001 1 001
10
，
，得 n>
2n＋ 1 2 012
>
1 001
∴满足T
n
>
的最小正整数 n 的值为 101.
2 012
模板 4 利用空间向量求角问题
(2014·山)如图， 在四棱柱 ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中， 底面 ABCD 是等腰梯形， 东
∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M 是线段AB 的中点．
(1)求证： C
1
M∥平面 A
1
ADD
1
；
(2)若 CD
1
垂直于平面 ABCD 且 CD
1
＝ 3，求平面 C
1
D
1
M 和平面 ABCD 所成的角 (锐
角)的余弦值．

AB＝ 2CD
审题路 线 图 (1) M是AB中点，四边形 ABCD是等腰梯形 ――→

CD∥AM CD＝AM ? ?AMC
1
D
1

→ C
1
M∥平面 A
1
ADD
1

(2) CA，CB， CD
1
两两垂直 → 建立空间直角坐标系，写各点坐标
→ 求平面 ABCD的法向量 → 将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角
规范 解 答 示 例 构 建 答题模 板
第一步 找垂直：找出 (或
(1)证明因为四边形 ABCD 是等腰梯形，
作出 )具有公共交点的三
条两两垂直的直线．
且 AB＝2CD，所以 AB∥DC.
又由 M 是 AB 的中点，因此 CD∥MA 且 CD＝MA.
连接AD
1
，如图 (1)．
第二步

在四棱柱 ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，
CD＝C
1
D
1
，可得 C
1
D< br>1
∥MA，C
1
D
1
＝MA，所以四边形 AMC
1
D
1

因为 CD∥C
1
D
1
，
写坐标： 建立空
征

间直角坐标系，写出特

点坐标．

为平行四边形，因为 C
1
M∥D
1
A.
第三步

求向量： 求直线
方达教育辅导教案第 5 页（共 16 页）
方达教育个性化一对一辅导

又 C
1
M? 平面 A
1
ADD
1
，D
1
A? 平面 A
1
ADD
1
，所以 C
1
M∥平面 A
1
ADD
1
.
学海方舟，教以达人
的方向向量或平面的法

向量．
第四步 求夹角： 计算向
量的夹角．
(2)解 方法一 如图(2)，连接 AC，MC .由(1)知
CD∥AM 且 CD＝AM，
所以四边形 AMCD 为平行四边形，可得 BC＝AD＝
MC，
由题意得 ∠ABC＝∠DAB＝60°，所以 △MBC 为正三
第五步 得结论： 得到所
求两个平面所成的角或
角形，因此 AB＝2BC＝2，CA＝ 3，因此 CA⊥CB.

以 C 为坐标原点，建立如图 (2)所示的空间直角坐标系
0,0)，B (0,1,0)，D
1
(0,0， 3)，
3

1 1

3

因此 M
＝
，
2
，－
2
2 2
→ → →
，0 ，所以 MD
1
， 3 ，D
1
C
1
＝MB
＝ －

3 1
－
，
，0 .
2 2

设平面 C
1
D
1
M 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，

由

→

＝0，
得
3x－y＝0，

3x＋y－2 3z＝0，

可得平面 C
1
D
1
M 的一个法向量 n
C－xyz，所以 A( 3，
直线和平面所成的角 .
n·D
1
C
1
→
＝0，
n·MD
1

→ →
＝(1， 3，1)．又CD
1
＝(0,0， 3)为平面 ABCD 的一个法向量， 因此 cos〈CD
1

，

n〉＝
→
CD
1
·n
＝
→
|CD
1
||n|
5
.
5
方法二 由(1)知平面 D
1
C
1
M ∩平面 ABCD＝AB，

5
5 .所以平面 C
1
D
1
M 和平面 ABCD 所成的角 (锐角)的余弦值为
过点 C 向 AB 引垂线交 AB 于点 N，
连接 D
1
N，如图 (3)．由 CD
1
⊥平面 ABCD，
可得 D
1
N⊥AB，
因此∠D
1
NC 为二面角 C
1
－AB－C 的平面角．
在 Rt△BNC 中，BC＝1，
∠NBC＝60°，可得 CN＝ 3

2
.所以 ND
1
＝

2
＝ 15

CD
2
1
＋CN
.
2
CN

所以 Rt△D
1
CN 中，cos∠D
1
NC＝


5
＝
， ＝
15
5 D
1
N
2
3
2

方达教育辅导教案 第 6 页（共 16 页）
方达教育个性化一对一辅导

学海方舟，教以达人
所以平面 C
1
D
1
M 和平面 ABCD 所成的角 (锐角)的余弦值为

5
.
5
如图所示，在直三棱柱 A
1
B
1
C
1
－ABC 中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A
1
A＝4，点 D 是 BC 的中点．
(1)求异面直线 A
1
B 与 C
1
D 所成角的余弦值；
(2)求平面 ADC
1
与平面 ABA
1
所成二面角的正弦值．
→ → →
解 (1)以 A 为坐标原点，分别以 AB，AC，AA
1
为 x 轴，y 轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系
则 A(0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A
1
(0,0,4)，D (1,1,0)，C
1
(0,2,4)．
→ →
所以A
1
B＝(2,0，－4)，C
1
D
＝(1，－1，－4)．
3 10
→ →
＝
所以 cos〈A
1
B，C
1
D
＝
.
〉＝
→ →
10
|A
1
B|× |C
1
D|
20× 18
3 10

所以异面直线 A
1
B 与 C
1
D 所成角的余弦值为

.
10

→
＝(0,2,0)是平面 ABA
1
的一个法向量．
(2)由题意，知 AC
→

→

设平面 ADC
1
的法向量为 m＝(x，y，z)，因为 AD ＝(1,1,0)，AC
1
＝(0,2,4)，
x＋y＝0，

→

→
由 m⊥AD ，m⊥AC
1

，得
2y＋4z＝0.
取 z＝1，得 y＝－2，x＝2，所以平面 ADC
1
的一个法向量为 m＝(2，－2,1)．
设平面 ADC
1
与平面 ABA
1
所成二面角为 θ，

→
AC·m
所以|cos θ|＝|cos〈AC，m〉|＝|
|＝|
→
2× 3
|AC |× |m|

所以平面 ADC
1
与平面 ABA
1
所成二面角的正弦值为

5
.
3
3
2
，得 sin θ＝
|＝
→
－4

5
.
3
→ →
A
1
B·C
1
D

18
A－xyz，
模板 5 圆锥曲线中的范围问题
方达教育辅导教案 第 7 页（共 16 页）
方达教育个性化一对一辅导

学海方舟，教以达人
椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，短轴长为

2
2，离心率为
，直线 l 与 y 轴交于点
2
→ →
＝3PB P(0，m)，与椭圆 C 交于相异两点 A，B，且
AP .
(1)求椭圆 C 的方程； (2)求 m 的取值范围．
审题路线图

(2) 设l：y＝kx＋m → l，c相交 Δ>0得m，k的不等式
(1) 设方程 → 解系数 → 得结论
→ →
＝3PB
→ AP
→

式
得m，k关系
→ 代入m，k的不等式消 k → 得m范围
规 范 解 答 示 例

2

2
解 (1) 设椭圆 C 的方程为
y x
2
＋
2
＝1(a>b>0)，
a
b
2
＝a
2
－b
2
，由题意，知 2b2 设 c>0，c


，
＝ 2，c
2
＝a
2
－b
2
，由题意，知 2b＝ 2，c
2
＝
a
2

x
所以 a＝1，b＝c＝
2
2
构 建 答 题 模 板


第一步

2 2
提关系：
＝1，即 y ＋2x ＝1.
2 .故椭圆 C 的方程为 y ＋
1
2
(2)设直线 l 的方程为 y＝kx＋m( k≠0)，l 与椭圆 C 的交点坐标为 A(x
1
，y
1
)，
从题设条件中提取
不等关系式．



y＝kx＋m，


2
＋2) x
2
＋2kmx＋(m
2
－1)＝0， 得(k

B(x
2
，y
2
)，由
2
2
＋2) x
2
＋2kmx＋(m
2
－1)＝0，
＋y
2
＝1，
2x
2
－4( k
2
＋ 2)(m
2
－1)＝4(k
2
－2m
2
＋2)>0，(*)
Δ＝(2 km)

－2km
2
－ 1
x
1
＋x
2
＝
m
→ →
2
＋2 ，x
＝3PB，所以－ x
1
＝3x
2
，
1
x
2
＝
2
＋2 .因为AP
k k
2
＋4x
1
x
2
＝0.
x
1
＋x
2
＝－2x
2
，

所以 3(x
1
＋x
2
)


2
＋4x
1
x
2
＝0.
所以
x
1
x
2
＝－3x22.
第二步

找函数：
用一个变量表示目
标变量，代入不等

关系式．



第三步 得范围：
通过求解含目标变

量的不等式，得所

求参数的范围．



2
－ 1
－2km

所以 3·
2
＋2
m
2
＋4·
k
2
＋2 ＝0.
k
2
m
2
＋2m
2
－k
2
－2＝0，即 k
2
(4m
2
－1)＋(2m
2
－2)＝0.
整理得 4k
2
＝1 当 m

2
＝1
时，上式不成立；
4
第四步

再回顾：
注意目标变量的范